Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

36Problemas e gráficos

O último capítulo do ano põe tudo para funcionar: problemas de várias etapas com dinheiro, quantidades e durações, e os gráficos que apresentam a informação num relance. A ideia-estrela é “por unidade” — descobrir o preço de um só item — que vai crescer e virar proporcionalidade no Capítulo 44.

36.1 Problemas de várias etapas

Método 36.1 (Domar um problema comprido)

Leia até o fim; diga qual é a pergunta final;
planeje de trás para frente: para responder a ela, do que preciso primeiro?
resolva as etapas em ordem, escrevendo uma operação e uma frase curta por etapa;
confira a resposta final com o bom senso e com uma estimativa.

Exemplo 36.2

“Uma escola encomenda $4$ caixas de $25$ livros a $6$ cada um e paga $180$ de entrega por cima. Qual é o custo total?”

Livros: $4 \times 25 = 100$ livros.
Custo dos livros: $100 \times 6 = 600$ .
Total: $600 + 180 = 780$ .

Conferência por estimativa: uns cem livros a $6$ dão uns $600$ , mais uns $200$ : uns $800$ — a resposta $780$ é plausível.

Exemplo 36.3 (Por unidade)

“ $5$ canecas iguais custam $12.50$ ; quanto custam $8$ canecas?” Descubra primeiro o preço de uma caneca:

12.50 \div 5 = 2.50, \qquad\text{e depois}\qquad 8 \times 2.50 = 20 .

Pela unidade, tudo fica ao alcance — esse padrão de duas etapas resolve toda uma família de problemas (receitas, velocidades, preços) e é a semente do Capítulo 44.

Exemplo 36.4 (Troco e orçamento)

Zoe tem $30$ . Ela compra um livro a $12.40$ e duas canetas a $2.30$ cada. Ela ainda consegue comprar um jogo de tabuleiro de $13$ ?

Canetas: $2 \times 2.30 = 4.60$ .
Gasto até aqui: $12.40 + 4.60 = 17$ .
Sobra: $30 - 17 = 13$ — exatamente o suficiente para o jogo, sem sobrar nada.

36.2 Ler gráficos

Método 36.5 (Ler qualquer gráfico)

Leia o título: o que está sendo contado?
Leia os eixos ou a legenda: o que vale uma graduação, uma barra, um símbolo?
Só então responda às perguntas — apontar o gráfico com uma régua ajuda a ler as alturas com exatidão.

Exemplo 36.6

Chuva numa cidade, mês a mês:

Um gráfico de barras da chuva. Uma graduação = 20 mm. — Um gráfico de barras da chuva. Uma graduação $= 20$ mm.

Leituras: o mês mais chuvoso é maio ( $80$ mm); em junho choveu a metade do que em abril ( $30$ contra $70$ )? Não — a metade de $70$ é $35$ , então não chega à metade: ler com precisão importa! Total dos seis meses: $60 + 45 + 55 + 70 + 80 + 30 = 340$ mm.

Exemplo 36.7 (Uma grandeza que muda)

A altura de uma planta, medida toda semana:

Unir os pontos de medida mostra o crescimento: quanto mais inclinado o segmento, mais depressa a planta cresceu naquela semana. — Unir os pontos de medida mostra o *crescimento*: quanto mais inclinado o segmento, mais depressa a planta cresceu naquela semana.

A planta cresceu mais depressa entre as semanas $3$ e $4$ ( $+5$ cm) e desacelerou no fim ( $+2$ cm na semana $6$ ).

36.3 Exercícios

Exercício 36.1 ★

Resolva por etapas: “Um clube aluga um ônibus por $240$ e compra $32$ ingressos de museu a $7$ cada. Qual é o custo total do passeio?”

Solução

Solução de Exercício 36.1.

Ingressos: $32 \times 7 = 224$ . Total: $240 + 224 = 464$ .

Exercício 36.2 ★

Resolva com o “por unidade”: “ $3$ kg de maçãs custam $7.50$ . Quanto custam $5$ kg?”

Solução

Solução de Exercício 36.2.

Por quilo: $7.50 \div 3 = 2.50$ . Cinco quilos: $5 \times 2.50 = 12.50$ .

Exercício 36.3 ★

Resolva: “Seis amigos dividem igualmente o custo de $87$ de um piquenique. Quanto cada um paga?”

Solução

Solução de Exercício 36.3.

$87 \div 6 = 14.5$ : cada um paga $14.50$ .

Exercício 36.4 ★

Samuel tem $25$ . Ele compra uma camiseta a $13.90$ e um boné a $8.50$ . Quanto dinheiro sobra para ele?

Solução

Solução de Exercício 36.4.

Gastou: $13.90 + 8.50 = 22.40$ . Sobra: $25 - 22.40 = 2.60$ .

Exercício 36.5 ★

Usando o gráfico de chuva do Exemplo 36.6: em que meses choveu mais de $50$ mm? Quanta chuva a mais caiu em maio do que em junho?

Solução

Solução de Exercício 36.5.

Mais de $50$ mm: janeiro ( $60$ ), março ( $55$ ), abril ( $70$ ), maio ( $80$ ). Maio menos junho: $80 - 30 = 50$ mm.

Exercício 36.6 ★

Usando o gráfico da planta do Exemplo 36.7: que altura a planta tinha na semana $2$ ? Entre que semanas ela cresceu exatamente $4$ cm?

Solução

Solução de Exercício 36.6.

Semana $2$ : $6$ cm. Crescimento de $4$ cm: entre as semanas $2$ e $3$ ( $6 \to 10$ ) e entre as semanas $4$ e $5$ ( $15 \to 19$ ).

Exercício 36.7 ★

Faça um gráfico de barras para o número de gols de um time: setembro $4$ , outubro $7$ , novembro $3$ , dezembro $6$ . Escolha a graduação e dê o total.

Solução

Solução de Exercício 36.7.

Quatro barras de alturas $4$ , $7$ , $3$ e $6$ (graduação de $1$ em $1$ ou de $2$ em $2$ gols). Total: $4 + 7 + 3 + 6 = 20$ gols.

Exercício 36.8 ★

Um pacote de $8$ iogurtes custa $3.20$ ; vendido sozinho, um iogurte custa $0.50$ . Calcule o preço “por unidade” no pacote e quanto se economiza por iogurte comprando o pacote.

Solução

Solução de Exercício 36.8.

Por unidade no pacote: $3.20 \div 8 = 0.40$ . Economia por iogurte: $0.50 - 0.40 = 0.10$ (dez centavos).

Exercício 36.9 ★★

“Um cinema vendeu $148$ ingressos a $9.50$ no sábado e $95$ ingressos ao mesmo preço no domingo. Quanto dinheiro a mais o sábado rendeu em relação ao domingo?” Resolva de duas maneiras: calculando a arrecadação dos dois dias, ou calculando com a diferença de ingressos — e confira que as respostas coincidem.

Solução

Solução de Exercício 36.9.

Maneira 1: sábado $148 \times 9.50 = 1\,406$ ; domingo $95 \times 9.50 = 902.50$ ; diferença $503.50$ .

Maneira 2: $148 - 95 = 53$ ingressos a mais, cada um valendo $9.50$ : $53 \times 9.50 = 503.50$ . A mesma resposta — a diferença das arrecadações é a arrecadação da diferença.

Exercício 36.10 ★★

Uma receita para $4$ pessoas pede $300$ g de arroz. Aline cozinha para $10$ pessoas. De quanto arroz ela precisa? (Primeiro por pessoa — decimais são permitidos.)

Solução

Solução de Exercício 36.10.

Por pessoa: $300 \div 4 = 75$ g. Para dez: $10 \times 75 = 750$ g de arroz.

Exercício 36.11 ★★

Invente um problema de três etapas com dinheiro cuja resposta final seja $5.50$ , escreva a solução completa no estilo do Método 36.1 e teste-o com um colega.

Solução

Solução de Exercício 36.11.

Há muitos problemas corretos — por exemplo: “Milo compra $3$ sucos a $1.20$ cada um e um sanduíche a $3.40$ . Ele paga com um vale de $12.50$ . Quanto sobra do vale?” Solução: sucos $3 \times 1.20 = 3.60$ ; total gasto $3.60 + 3.40 = 7$ ; sobra $12.50 - 7 = 5.50$ .