Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

48Expressões literais

Uma letra num cálculo representa um número que ainda não conhecemos, ou todos os números de uma vez: escrever $P = 4c$ dá o perímetro de todo quadrado numa fórmula só. Este capítulo ensina as convenções de escrita, como substituir valores e como simplificar expressões simples — o começo da álgebra, que continua no Capítulo 57.

48.1 Escrever com letras

Definição 48.1 (Expressão literal)

Uma expressão literal é um cálculo que contém uma ou mais letras, cada uma representando um número. Convenções de escrita:

o sinal $\times$ é omitido antes de uma letra ou de um parêntese: $3 \times a = 3a$ , $a \times b = ab$ , $2 \times (x + 5) = 2(x + 5)$ ;
mas ele fica entre dois números: $3 \times 5$ não pode ser escrito $35$ !
$a \times a$ escreve-se $a^2$ (“ $a$ ao quadrado”) e $a \times a \times a = a^3$ ;
$1a$ escreve-se $a$ , e $0a$ é $0$ .

Exemplo 48.2

Simplifique a escrita:

5 \times x + 3 \times y = 5x + 3y, \qquad a \times 7 = 7a \ \text{(o número na frente)}, \qquad x \times x \times 4 = 4x^2 .

Exemplo 48.3 (As fórmulas são expressões literais)

Para um retângulo de comprimento $L$ e largura $w$ : perímetro $P = 2(L + w)$ , área $A = Lw$ . Uma fórmula só resume de uma vez os infinitos retângulos — é para isso que servem as letras.

Duas fórmulas, válidas para todo retângulo: substitua os valores de L e w para obter números. — Duas fórmulas, válidas para todo retângulo: substitua os valores de $L$ e $w$ para obter números.

48.2 Substituir

Método 48.4 (Calcular o valor de uma expressão)

Para calcular o valor de uma expressão com valores dados das letras:

reescreva a expressão devolvendo os sinais $\times$ escondidos: $3a + a^2$ é $3 \times a + a \times a$ ;
substitua cada letra pelo valor dela, mantendo parênteses em volta se for preciso;
calcule, respeitando as prioridades do Capítulo 45.

Exemplo 48.5

Calcule $E = 3x + x^2$ para $x = 5$ :

E = 3 \times 5 + 5 \times 5 = 15 + 25 = 40 .

Calcule $F = 2(a + 3b)$ para $a = 4$ e $b = 0.5$ :

F = 2 \times (4 + 3 \times 0.5) = 2 \times (4 + 1.5) = 2 \times 5.5 = 11 .

48.3 Reduzir expressões

Proposição 48.6 (Juntar termos semelhantes)

Os termos que têm a mesma parte literal podem ser juntados somando as partes numéricas deles (isso é a distributividade, Teorema 45.6, lida ao contrário):

5x + 3x = (5 + 3)x = 8x, \qquad 7a - 2a = 5a .

Termos com partes literais diferentes (como $3x$ e $5y$ , ou $x$ e $x^2$ ) não podem ser juntados.

Exemplo 48.7

Reduza $E = 4x + 7 + 3x + 2$ , separando os termos:

E = (4x + 3x) + (7 + 2) = 7x + 9 .

Cuidado: $7x + 9$ não é $16x$ ! Teste com $x = 1$ : $4 + 7 + 3 + 2 = 16$ e $7 \times 1 + 9 = 16$ coincidem, mas $16x$ também daria $16$ — teste com $x = 2$ : a expressão original dá $8 + 7 + 6 + 2 = 23$ , e $7 \times 2 + 9 = 23$ , enquanto $16 \times 2 = 32$ . A redução $7x + 9$ está certa; $16x$ está errada.

Método 48.8 (Testar uma igualdade)

Para verificar se duas expressões podem ser iguais para todo valor:

substitua o mesmo valor nas duas, ao menos duas vezes (por exemplo, $x = 2$ e $x = 10$ ; evite $0$ e $1$ , que escondem diferenças demais);
se os resultados diferirem uma única vez, as expressões não são iguais — um contraexemplo derruba uma afirmação geral;
se os resultados coincidirem, a igualdade é apenas plausível: a demonstração exige álgebra (desenvolver, reduzir).

Exemplo 48.9

$2(x + 3)$ é igual a $2x + 6$ para todo $x$ ? Desenvolver demonstra isso: $2(x+3) = 2x + 2 \times 3 = 2x + 6$ . E $(x + 1)^2$ é igual a $x^2 + 1$ ? Teste $x = 2$ : $(2+1)^2 = 9$ , mas $2^2 + 1 = 5$ . Não — e um contraexemplo é uma demonstração completa do “não”.

48.4 Produzir expressões

Exemplo 48.10 (Da situação à expressão)

Um táxi cobra $4$ reais mais $2$ reais por quilômetro. Para uma corrida de $k$ quilômetros, o preço é

p = 4 + 2k \quad\text{reais}.

Para $k = 7$ : $p = 4 + 14 = 18$ reais. A expressão é a resposta geral; substituir produz cada resposta particular.

Exemplo 48.11 (Truques com números)

“Pense num número, dobre-o, some $10$ , divida por $2$ , subtraia o seu número.” Chame o número de $n$ e siga os passos:

n \ \to\ 2n \ \to\ 2n + 10 \ \to\ \frac{2n + 10}{2} = n + 5 \ \to\ n + 5 - n = 5 .

Todo mundo obtém $5$ , qualquer que tenha sido $n$ — as letras explicam a mágica.

48.5 Exercícios

Exercício 48.1 ★

Simplifique a escrita:

7 \times x, \qquad y \times 3, \qquad a \times b \times 5, \qquad x \times x, \qquad 2 \times (a + 4).

Solução

Solução de Exercício 48.1.

$7x$ ; $3y$ ; $5ab$ ; $x^2$ ; $2(a + 4)$ .

Exercício 48.2 ★

Devolva os sinais $\times$ :

5ab, \qquad 3(x + 2), \qquad x^2 + 4x, \qquad 2a^3 .

Solução

Solução de Exercício 48.2.

$5ab = 5 \times a \times b$ ; $3(x+2) = 3 \times (x + 2)$ ; $x^2 + 4x = x \times x + 4 \times x$ ; $2a^3 = 2 \times a \times a \times a$ .

Exercício 48.3 ★

Calcule o valor para $x = 3$ : $5x + 1$ ; $x^2$ ; $2x^2 - x$ ; $10 - 2x$ .

Solução

Solução de Exercício 48.3.

Para $x = 3$ : $5 \times 3 + 1 = 16$ ; $3 \times 3 = 9$ ; $2 \times 9 - 3 = 15$ ; $10 - 6 = 4$ .

Exercício 48.4 ★

Calcule $3a + 2b$ e $a b + 5$ para $a = 4$ e $b = 1.5$ .

Solução

Solução de Exercício 48.4.

$3a + 2b = 12 + 3 = 15$ ; $ab + 5 = 4 \times 1.5 + 5 = 6 + 5 = 11$ .

Exercício 48.5 ★

Reduza:

8x + 5x, \qquad 9a - 4a + a, \qquad 6y + 2 + 3y + 7, \qquad 5t + 3 - 2t - 3 .

Solução

Solução de Exercício 48.5.

$8x + 5x = 13x$ ; $9a - 4a + a = 6a$ ; $6y + 2 + 3y + 7 = 9y + 9$ ; $5t + 3 - 2t - 3 = 3t$ .

Exercício 48.6 ★

Dê uma fórmula para: o perímetro de um quadrado de lado $c$ ; o perímetro de um triângulo isósceles de base $b$ e lados iguais $s$ ; o preço de $n$ pães a $1.20$ reais cada um.

Solução

Solução de Exercício 48.6.

Quadrado: $P = 4c$ . Triângulo isósceles: $P = b + 2s$ . Pães: $p = 1.20\,n$ reais.

Exercício 48.7 ★

Ligue cada expressão a uma descrição: $2n$ ; $n + 2$ ; $n^2$ ; $\frac n2$ . Descrições: “a metade de $n$ ”; “o dobro de $n$ ”; “o quadrado de $n$ ”; “duas unidades a mais que $n$ ”.

Solução

Solução de Exercício 48.7.

$2n$ : o dobro; $n + 2$ : duas unidades a mais que $n$ ; $n^2$ : o quadrado; $\frac n2$ : a metade.

Exercício 48.8 ★★

Usando o Método 48.8, decida (com demonstração ou contraexemplo) se estas igualdades valem para todo $x$ :

3(x + 4) = 3x + 12; \qquad 2x + 5 = 7x; \qquad x + x = x^2 .

Solução

Solução de Exercício 48.8.

$3(x+4) = 3x + 12$ : verdadeiro para todo $x$ (distributividade — isso é uma demonstração, sem precisar de teste).

$2x + 5 = 7x$ : teste $x = 2$ : à esquerda $9$ , à direita $14$ — falso em geral (só vale para $x = 1$ ).

$x + x = x^2$ : teste $x = 3$ : à esquerda $6$ , à direita $9$ — falso em geral ( $x + x = 2x$ ).

Exercício 48.9 ★★

Um retângulo tem largura $w$ e comprimento $3$ cm maior que a largura.

Expresse o comprimento e depois o perímetro em função de $w$ , e reduza.
Calcule o perímetro para $w = 5$ cm, diretamente e com a sua fórmula reduzida. A resposta é a mesma?

Solução

Solução de Exercício 48.9.

1. Comprimento: $w + 3$ . Perímetro:

P = 2\bigl(w + (w + 3)\bigr) = 2(2w + 3) = 4w + 6 .

2. Para $w = 5$ : diretamente, os lados são $5$ e $8$ , então $P = 2 \times 13 = 26$ cm; pela fórmula, $4 \times 5 + 6 = 26$ cm. Coincidem.

Exercício 48.10 ★★

Refaça o truque do Exemplo 48.11 com letras: “pense num número, some $6$ , multiplique por $3$ , subtraia $18$ , divida pelo seu número de partida” (supondo que ele não seja zero). O que todo mundo obtém?

Solução

Solução de Exercício 48.10.

Seguindo os passos com a letra $n$ :

n \ \to\ n + 6 \ \to\ 3(n + 6) = 3n + 18 \ \to\ 3n + 18 - 18 = 3n \ \to\ \frac{3n}{n} = 3 .

Todo mundo obtém $3$ .

Exercício 48.11 ★★★

A figura abaixo é um quadrado de lado $a$ com um canto quadrado de lado $b$ retirado ( $b$ menor que $a$ ). Escreva duas expressões diferentes para a área dela (uma como diferença e outra cortando o L em dois retângulos) e confira que coincidem para $a = 5$ e $b = 2$ .

Solução

Solução de Exercício 48.11.

Como diferença: $A = a^2 - b^2$ . Cortando o L em dois retângulos: uma faixa de largura inteira e altura $a - b$ e, em cima dela, um retângulo mais estreito:

A = a(a - b) + b(a - b)

(o retângulo de baixo com $a$ de largura e $a - b$ de altura, e o de cima com $a - b$ de largura e $b$ de altura, dá a variante $a(a-b) + (a-b)b$ — a mesma coisa). Para $a = 5$ e $b = 2$ : $a^2 - b^2 = 25 - 4 = 21$ , e $5 \times 3 + 2 \times 3 = 15 + 6 = 21$ . As duas expressões coincidem — e coincidem sempre: é a identidade $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ do Capítulo 66, disfarçada.

48.6 Problema: o oráculo dos palitos de fósforo

Problema 48.1

Problema de fim de semana — padrões que crescem e o termo geral deles: três fórmulas para um mesmo padrão, e o padrão famoso que quebra no sexto passo

Monte palitos de fósforo numa fileira de quadrados: um quadrado, depois dois, depois três … De quantos palitos a centésima figura vai precisar? Contar um a um levaria o fim de semana inteiro; uma fórmula em $n$ responde na hora para todas as figuras de uma vez — é exatamente para isso que servem as letras (Exemplo 48.3). Mas atenção: este problema termina com um padrão célebre que joga limpo por cinco passos e depois trai todos os que confiaram nele.

Parte I — Uma fileira de quadrados. A figura $1$ é um quadrado de palitos ( $4$ palitos); cada figura seguinte acrescenta mais um quadrado que compartilha um lado com o anterior.

Desenhe as figuras $1$ a $4$ e conte os palitos delas.
Explique por que cada quadrado novo custa exatamente $3$ palitos a mais e use isso para prever a contagem da figura $10$ sem nenhuma fórmula.
Justifique a fórmula: a figura $n$ precisa de $3n + 1$ palitos. (De onde vem o “ $+1$ ” solitário?) Confira-a com a questão 1.
Amir raciocina de outro jeito: “ $4$ palitos para o primeiro quadrado e depois $3$ para cada um dos outros $n - 1$ ”, o que dá $4 + 3(n - 1)$ . Desenvolva e reduza a expressão dele (Proposição 48.6): ele concorda com a questão 3?
Lena conta de uma terceira maneira: “ $2n$ palitos horizontais e $n + 1$ verticais”. Escreva a fórmula dela, reduza-a e conclua. Depois responda à pergunta de abertura: quantos palitos para a figura $100$ ?

Parte II — Triângulos, mesas e o caminho de volta.

Uma fileira de triângulos de palitos (cada triângulo novo se apoia no anterior): conte os palitos para $1$ , $2$ , $3$ triângulos e depois justifique a fórmula $2n + 1$ para $n$ triângulos.
De trás para a frente: com exatamente $49$ palitos, quantos triângulos a fileira pode ter? (Desfaça a fórmula passo a passo.)
Mesas quadradas de banquete acomodam um convidado por lado livre. Quando $n$ mesas são encostadas numa fileira comprida, explique por que a fórmula de lugares é $2n + 2$ e confira-a para $1$ , $2$ , $3$ mesas.
Uma festa espera $30$ convidados. De quantas mesas uma fileira precisa? O bufê, em vez disso, divide as mesmas mesas em duas fileiras de sete: quantos convidados cabem agora? Explique o ganho com a fórmula.
Padrão de pontos: a figura $n$ é um L de pontos, com $n$ pontos de altura e $n$ pontos de largura (o canto contado uma vez só). Conte os pontos das figuras $1$ , $2$ , $3$ , encontre a fórmula e dê o nome dos números que ela produz. (Encaixados uns nos outros, esses Ls ladrilham um quadrado — história continuada no Problema 57.1.)

Parte III — Confiar, testar, demonstrar.

Um colega afirma que a figura $n$ da Parte I precisa de $3(n + 2) - 5$ palitos. Resolva a questão desenvolvendo e reduzindo — sem precisar testar.
“Elevar ao quadrado deixa os números maiores, então $n^2 \geq n$ para todo número $n$ .” Teste a afirmação para $n = 2$ , $3$ , $10$ ; depois encontre um número em que ela falha. O que os três testes bem-sucedidos demonstraram, e o que a única falha demonstra (Método 48.8)?
Marque pontos sobre um círculo e trace todos os segmentos entre eles; depois conte as regiões dentro do círculo. Faça isso para $2$ , $3$ , $4$ e $5$ pontos (ponha os pontos de modo desigual, para que três segmentos nunca se cruzem num mesmo ponto interior). Anote as contagens. Que fórmula o padrão sussurra?
Agora $6$ pontos, desenhados grandes e desigualmente, contando com muito cuidado (há muitas regiõezinhas). Quantas regiões você encontra — e o que aconteceu com a conjectura?
A moral, em duas frases: o que teria sido preciso para demonstrar a conjectura da duplicação, e por que as fórmulas dos palitos das Partes I e II nunca correram esse perigo? Comemore com uma previsão demonstrada: quantos palitos para a fileira de $2\,026$ quadrados?

Solução

Solução de Problema 48.1.

1. As figuras $1$ a $4$ precisam de $4$ , $7$ , $10$ , $13$ palitos.

2. Um quadrado novo compartilha um lado com a figura anterior, então apenas $3$ dos $4$ lados dele são palitos novos. A partir da figura $4$ ( $13$ palitos), mais seis quadrados custam $6 \times 3 = 18$ : a figura $10$ precisa de $13 + 18 = 31$ palitos.

3. Lendo a fileira da esquerda para a direita: ela começa com um palito vertical, e cada um dos $n$ quadrados contribui então com um topo, uma base e um lado direito — $3$ palitos por quadrado. Total: $3n + 1$ ; o “ $+1$ ” é o primeiro palito vertical de todos. Confere: $n = 1, 2, 3, 4$ dão $4, 7, 10, 13$ .

4. $4 + 3(n - 1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$ : a fórmula de Amir se desenvolve exatamente na mesma expressão reduzida. Acordo total.

5. Lena: $2n + (n + 1) = 3n + 1$ — de novo a mesma. Três maneiras de enxergar, uma forma reduzida. Figura $100$ : $3 \times 100 + 1 = 301$ palitos.

6. Contagens: $3$ , $5$ , $7$ palitos. Cada triângulo novo se apoia num lado já existente e acrescenta apenas $2$ palitos, partindo de $3$ : a figura $n$ precisa de $3 + 2(n - 1) = 2n + 1$ palitos.

7. Desfaça $2n + 1 = 49$ : tirando o primeiro palito sobram $48$ , e cada triângulo responde por $2$ : $48 \div 2 = 24$ triângulos.

8. Numa fileira de $n$ mesas, cada mesa oferece o lado de cima e o de baixo ( $2n$ lugares), e as duas mesas das pontas oferecem mais um lado cada ( $+2$ ): $2n + 2$ lugares. Confere: $4$ , $6$ , $8$ para $n = 1, 2, 3$ .

9. Uma fileira: $2n + 2 \geq 30$ exige $2n \geq 28$ , ou seja, $14$ mesas. Dividindo as mesmas $14$ mesas em duas fileiras de $7$ : cada fileira acomoda $2 \times 7 + 2 = 16$ , e juntas $32$ — duas a mais que a fileira única, porque cada fileira nova traz duas pontas novas. (Cada divisão ganha $2$ lugares; os bufês sabem disso.)

10. O L de tamanho $n$ tem $n$ pontos subindo e $n$ atravessando, com o ponto do canto compartilhado: $n + n - 1 = 2n - 1$ pontos. Figuras $1$ , $2$ , $3$ : $1$ , $3$ , $5$ pontos — os números ímpares. Encaixados um em volta do outro, os Ls preenchem um quadrado $n \times n$ de pontos: a história do Problema 57.1.

11. $3(n + 2) - 5 = 3n + 6 - 5 = 3n + 1$ : a afirmação se reduz à fórmula já demonstrada, então está certa para todo $n$ — estabelecida pela álgebra, e não por exemplos.

12. Testes: $4 \geq 2$ , $9 \geq 3$ , $100 \geq 10$ : todos passam. Mas $n = 0.5$ dá $n^2 = 0.25 < 0.5$ : a afirmação falha. Os três testes não demonstraram nada sobre todos os números (só não acharam problema); o único contraexemplo demonstra que a afirmação geral é falsa (Método 48.8). Uma letra representa todo número — decimais incluídos.

13. Regiões: $2$ pontos $\to 2$ ; $3$ pontos $\to 4$ ; $4$ pontos $\to 8$ ; $5$ pontos $\to 16$ . O padrão sussurra “cada ponto dobra a contagem”: esperam-se $32$ regiões para $6$ pontos.

14. Uma contagem cuidadosa dá $31$ regiões — e não $32$ . A conjectura da duplicação morreu: sobreviveu a quatro conferências e falhou na quinta. (Esse contraexemplo é famoso o bastante para ter nome, “a armadilha das regiões do círculo”; nada de atalhos com pontos igualmente espaçados — três cordas passando por um mesmo ponto fundiriam regiões e estragariam a contagem.)

15. Uma demonstração teria exigido uma razão estrutural para que acrescentar um ponto dobrasse as regiões — e não existe nenhuma: a duplicação foi uma coincidência dos casos pequenos. As fórmulas dos palitos estavam a salvo porque cada uma foi lida da própria construção (cada quadrado custa visivelmente $3$ palitos, cada mesa oferece visivelmente $2$ lugares): estrutura, e não teste. Previsão demonstrada: $3 \times 2\,026 + 1 = 6\,079$ palitos.