Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

55Frações: as quatro operações

Este capítulo completa a aritmética das frações: adição e subtração com denominadores quaisquer, multiplicação e — a novidade — a divisão, que se revela uma multiplicação disfarçada. Os sinais do Capítulo 54 vêm junto na carona.

55.1 Somar com denominadores quaisquer

Método 55.1 (Denominador comum)

Para somar ou subtrair $\frac ab$ e $\frac cd$ :

encontre um múltiplo comum de $b$ e $d$ (o produto $b \times d$ sempre serve; um menor poupa trabalho);
reescreva as duas frações com esse denominador;
some ou subtraia os numeradores; simplifique.

Exemplo 55.2

Calcule $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$ . Um múltiplo comum de $6$ e $4$ é $12$ :

\frac{5}{6} = \frac{10}{12}, \qquad \frac{3}{4} = \frac{9}{12}, \qquad \frac{5}{6} + \frac{3}{4} = \frac{10 + 9}{12} = \frac{19}{12}.

Com sinais: $\dfrac{2}{3} - \dfrac{7}{5} = \dfrac{10}{15} - \dfrac{21}{15} = -\dfrac{11}{15}$ .

55.2 Multiplicar frações

Teorema 55.3 (Produto de frações)

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d} .

Por quê, num desenho. Tome $\frac34$ de $\frac25$ de um quadrado: corte o quadrado em $5$ faixas verticais e fique com $2$ ; corte na horizontal em $4$ e fique com $3$ fileiras do que sobrou. A parte guardada é uma malha de $3 \times 2$ casinhas em $4 \times 5$ : fração $\frac{6}{20}$ . ∎

3/4 × 2/5: a região pintada duas vezes tem 3 × 2 = 6 casinhas em 4 × 5 = 20, isto é, 6/20 = 3/10 — numeradores multiplicados, denominadores multiplicados. — $\frac34 \times \frac25$ : a região pintada duas vezes tem $3 \times 2 = 6$ casinhas em $4 \times 5 = 20$ , isto é, $\frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ — numeradores multiplicados, denominadores multiplicados.

Exemplo 55.4

Simplifique antes de multiplicar, cortando os fatores comuns:

\frac{7}{12} \times \frac{9}{14} = \frac{7 \times 9}{12 \times 14} = \frac{7 \times 3 \times 3}{3 \times 4 \times 2 \times 7} = \frac{3}{8}

(o fator $7$ e um fator $3$ se cancelam entre o de cima e o de baixo). Com sinais, as regras do Teorema 54.1 valem primeiro: $\left(-\frac23\right) \times \left(-\frac{5}{4}\right) = +\frac{10}{12} = \frac56$ .

55.3 Dividir frações

Definição 55.5 (Inverso)

O inverso de um número não nulo $x$ é o número que, multiplicado por $x$ , dá $1$ . O inverso de $\frac ab$ é $\frac ba$ , pois $\frac ab \times \frac ba = \frac{ab}{ab} = 1$ ; o inverso de um número inteiro $n$ é $\frac1n$ .

Teorema 55.6 (Dividir é multiplicar pelo inverso)

Para $c \neq 0$ :

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} .

Demonstração. Por definição, o quociente $q$ de $\frac ab$ por $\frac cd$ é o número com $q \times \frac cd = \frac ab$ . Confira o candidato $q = \frac ab \times \frac dc$ :

\left(\frac ab \times \frac dc\right) \times \frac cd = \frac ab \times \left(\frac dc \times \frac cd\right) = \frac ab \times 1 = \frac ab . \qedhere

∎

Exemplo 55.7

\frac{3}{5} \div \frac{7}{10} = \frac{3}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{3 \times 10}{5 \times 7} = \frac{30}{35} = \frac{6}{7}.

Uma conferência de bom senso: dividir por $\frac{7}{10}$ , um número menor que $1$ , tem de dar um resultado maior que $\frac35$ — e $\frac67 > \frac35$ de fato ( $\frac{30}{35} > \frac{21}{35}$ ).

Exemplo 55.8 (Barras de fração dentro de barras de fração)

Uma fração “de dois andares” é apenas uma divisão escrita na vertical:

\frac{\ \frac{2}{3}\ }{\ \frac{5}{6}\ } = \frac{2}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}.

Localize primeiro a barra principal (a mais comprida) e depois aplique o Teorema 55.6.

Método 55.9 (Cálculos mistos)

Numa expressão que mistura frações e as quatro operações:

aplique as prioridades de sempre (Capítulo 45);
converta toda divisão numa multiplicação pelo inverso;
decida os sinais primeiro (Método 54.6) e depois multiplique ou procure denominadores comuns;
simplifique na primeira oportunidade.

Exemplo 55.10

\begin{align*} \frac12 + \frac{2}{3} \times \frac{9}{4} &= \frac12 + \frac{2 \times 9}{3 \times 4} && \text{(o produto primeiro!)} \\ &= \frac12 + \frac{18}{12} = \frac12 + \frac32 = \frac{4}{2} = 2 . \end{align*}

55.4 Exercícios

Exercício 55.1 ★

Calcule e simplifique:

\frac{3}{4} + \frac{2}{5}, \qquad \frac{5}{6} - \frac{3}{8}, \qquad \frac{7}{10} + \frac{8}{15} .

Solução

Solução de Exercício 55.1.

$\dfrac34 + \dfrac25 = \dfrac{15}{20} + \dfrac{8}{20} = \dfrac{23}{20}$ .

$\dfrac56 - \dfrac38 = \dfrac{20}{24} - \dfrac{9}{24} = \dfrac{11}{24}$ .

$\dfrac{7}{10} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{21}{30} + \dfrac{16}{30} = \dfrac{37}{30}$ .

Exercício 55.2 ★

Calcule (os sinais primeiro):

-\frac{2}{7} + \frac{3}{14}, \qquad \frac{1}{6} - \frac{5}{4}, \qquad -\frac{3}{5} - \frac{1}{2} .

Solução

Solução de Exercício 55.2.

$-\dfrac27 + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{4}{14} + \dfrac{3}{14} = -\dfrac{1}{14}$ .

$\dfrac16 - \dfrac54 = \dfrac{2}{12} - \dfrac{15}{12} = -\dfrac{13}{12}$ .

$-\dfrac35 - \dfrac12 = -\dfrac{6}{10} - \dfrac{5}{10} = -\dfrac{11}{10}$ .

Exercício 55.3 ★

Calcule, simplificando antes de multiplicar:

\frac{5}{8} \times \frac{4}{15}, \qquad \frac{9}{14} \times \frac{7}{3}, \qquad \left(-\frac{6}{5}\right) \times \frac{10}{9} .

Solução

Solução de Exercício 55.3.

$\dfrac58 \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{5 \times 4}{8 \times 15} = \dfrac{1}{2 \times 3} = \dfrac16$ (simplifique por $5$ e por $4$ ).

$\dfrac{9}{14} \times \dfrac73 = \dfrac{9 \times 7}{14 \times 3} = \dfrac{3}{2}$ (simplifique por $7$ e por $3$ ).

$\left(-\dfrac65\right) \times \dfrac{10}{9} = -\dfrac{60}{45} = -\dfrac43$ (sinais opostos: negativo).

Exercício 55.4 ★

Dê o inverso de: $\dfrac{3}{7}$ ; $5$ ; $\dfrac{1}{4}$ ; $-\dfrac{2}{9}$ .

Solução

Solução de Exercício 55.4.

Inversos: $\dfrac73$ ; $\dfrac15$ ; $4$ ; $-\dfrac92$ (o inverso mantém o sinal).

Exercício 55.5 ★

Calcule:

\frac{4}{9} \div \frac{2}{3}, \qquad \frac{7}{5} \div 14, \qquad 6 \div \frac{3}{4} .

Solução

Solução de Exercício 55.5.

$\dfrac49 \div \dfrac23 = \dfrac49 \times \dfrac32 = \dfrac{12}{18} = \dfrac23$ .

$\dfrac75 \div 14 = \dfrac75 \times \dfrac{1}{14} = \dfrac{7}{70} = \dfrac{1}{10}$ .

$6 \div \dfrac34 = 6 \times \dfrac43 = 8$ .

Exercício 55.6 ★

Calcule as frações de dois andares:

\frac{\ \frac{3}{4}\ }{\ \frac{9}{8}\ }, \qquad \frac{\ \frac{5}{6}\ }{\ 10\ }, \qquad \frac{\ 2\ }{\ \frac{4}{7}\ } .

Solução

Solução de Exercício 55.6.

$\dfrac{3/4}{9/8} = \dfrac34 \times \dfrac89 = \dfrac{24}{36} = \dfrac23$ .

$\dfrac{5/6}{10} = \dfrac56 \times \dfrac{1}{10} = \dfrac{5}{60} = \dfrac{1}{12}$ .

$\dfrac{2}{4/7} = 2 \times \dfrac74 = \dfrac72$ .

Exercício 55.7 ★

Calcule, respeitando as prioridades:

\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{4}{5}, \qquad \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right) \times \frac{4}{5} .

Solução

Solução de Exercício 55.7.

O produto primeiro: $\dfrac13 + \dfrac12 \times \dfrac45 = \dfrac13 + \dfrac{4}{10} = \dfrac{10}{30} + \dfrac{12}{30} = \dfrac{22}{30} = \dfrac{11}{15}$ .

Os parênteses primeiro: $\left(\dfrac13 + \dfrac12\right) \times \dfrac45 = \dfrac56 \times \dfrac45 = \dfrac{20}{30} = \dfrac23$ .

Exercício 55.8 ★★

Um tanque está com $\frac{2}{5}$ da capacidade. Acrescenta-se $\frac{1}{3}$ da capacidade do tanque. Que fração do tanque está cheia agora? E que fração continua vazia?

Solução

Solução de Exercício 55.8.

Cheio: $\dfrac25 + \dfrac13 = \dfrac{6}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{11}{15}$ do tanque. Vazio: $1 - \dfrac{11}{15} = \dfrac{4}{15}$ .

Exercício 55.9 ★★

Três quartos dos alunos de uma turma passaram numa prova; entre eles, dois terços tiraram mais de $14$ em $20$ . Que fração da turma tirou mais de $14$ ? Se isso representa $12$ alunos, qual é o tamanho da turma?

Solução

Solução de Exercício 55.9.

Fração que tirou mais de $14$ : $\dfrac23 \times \dfrac34 = \dfrac{6}{12} = \dfrac12$ da turma. Se isso são $12$ alunos, a turma tem $24$ alunos.

Exercício 55.10 ★★

Uma corda de $\frac{15}{2}$ m tem de ser cortada em pedaços de $\frac{3}{4}$ m cada. Quantos pedaços se obtêm? (Uma divisão de frações — confira que a resposta é um número inteiro.)

Solução

Solução de Exercício 55.10.

$\dfrac{15}{2} \div \dfrac34 = \dfrac{15}{2} \times \dfrac43 = \dfrac{60}{6} = 10$ pedaços — um número inteiro, sem desperdício de corda.

Exercício 55.11 ★★

Calcule

E = \frac{2}{3} - \frac{5}{6} \div \frac{10}{9}, \qquad F = \left(-\frac{1}{2}\right)^2 \times \frac{8}{3} .

Solução

Solução de Exercício 55.11.

$E$ : a divisão primeiro: $\dfrac56 \div \dfrac{10}{9} = \dfrac56 \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{45}{60} = \dfrac34$ ; depois $E = \dfrac23 - \dfrac34 = \dfrac{8}{12} - \dfrac{9}{12} = -\dfrac{1}{12}$ .

$F = \left(-\dfrac12\right)^2 \times \dfrac83 = \dfrac14 \times \dfrac83 = \dfrac{8}{12} = \dfrac23$ (o quadrado é positivo).

Exercício 55.12 ★★★

Simplifique a expressão

1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + 1}}

(comece pela fração mais interna e vá saindo, uma barra de cada vez).

Solução

Solução de Exercício 55.12.

De dentro para fora: $1 + 1 = 2$ ; depois $1 + \dfrac12 = \dfrac32$ ; depois

1 + \frac{1}{3/2} = 1 + \frac23 = \frac53 .

55.5 Problema: frações egípcias

Problema 55.1

Problema de fim de semana — toda fração é uma soma de frações unitárias distintas

Uma fração unitária é uma fração de numerador $1$ . Os escribas do Egito antigo — o papiro de Rhind foi copiado por volta de $1550$ a.C. — escreviam toda fração como soma de frações unitárias distintas: nunca $\frac27 = \frac17 + \frac17$ , e sim $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$ . Uma soma dessas chama-se escrita egípcia da fração. Este problema desenvolve as técnicas de adição e comparação deste capítulo (Método 55.1) num método — publicado por Fibonacci em $1202$ — que produz uma escrita egípcia de qualquer fração entre $0$ e $1$ , e termina com um célebre quebra-cabeça de herança.

Parte I — Frações unitárias e a identidade de divisão.

Calcule $\frac12 + \frac13$ e $\frac12 + \frac14$ e deduza escritas egípcias de $\frac56$ e de $\frac34$ .
Verifique a entrada dos escribas para $\frac27$ : mostre que $\frac14 + \frac{1}{28} = \frac27$ .
Confira que $\frac13 + \frac16 = \frac12$ e que $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac13$ . Depois demonstre a identidade de divisão: para todo número inteiro $n \geq 1$ ,

$\frac{1}{n} = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} .$
Deduza uma escrita egípcia do próprio $1$ , como soma de três frações unitárias distintas.
Divida o último termo de $\frac56 = \frac12 + \frac13$ para obter uma segunda escrita egípcia de $\frac56$ , com três frações unitárias. Explique por que nenhuma fração tem escrita egípcia única.

Parte II — O método guloso de Fibonacci. O método é: subtrair a maior fração unitária que couber e repetir com o que sobrar.

Usando denominadores comuns, mostre que $\frac14 < \frac27 < \frac13$ . Por que isso demonstra que $\frac14$ é a maior fração unitária menor que $\frac27$ ?
Calcule $\frac27 - \frac14$ . Que escrita de $\frac27$ o método guloso produz?
Agora tome $\frac57$ . Mostre que a maior fração unitária menor que $\frac57$ é $\frac12$ e calcule $\frac57 - \frac12$ .
Mostre que a maior fração unitária menor que $\frac{3}{14}$ é $\frac15$ (compare $\frac{3}{14}$ com $\frac14$ e com $\frac15$ ), calcule $\frac{3}{14} - \frac15$ e conclua:

$\frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .$

Verifique essa escrita diretamente com o denominador comum $70$ .
Rode o método guloso em $\frac45$ , conferindo a cada passo que a sua fração unitária é a maior que cabe, e verifique a escrita final.

Parte III — Por que o método sempre para, e o décimo oitavo camelo.

Nas questões 7 a 10, o método foi aplicado a $\frac27$ , $\frac57$ e $\frac45$ . Para cada uma, liste os numeradores dos restos sucessivos (antes de qualquer simplificação). O que você observa?
Para uma fração $\frac ab$ e um número inteiro $n$ , mostre que

$\frac{a}{b} - \frac{1}{n} = \frac{a \times n - b}{b \times n} .$
Suponha que o método guloso subtraia $\frac1n$ de $\frac ab$ : então $\frac1n$ cabe, mas $\frac{1}{n-1}$ já é grande demais, $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ . Pondo os dois sobre o denominador comum $b \times (n - 1)$ , deduza que $b > a \times n - a$ e, portanto, que o novo numerador satisfaz

$a \times n - b < a .$

Explique por que isso demonstra que o método sempre para.
Uma velha história: um pai morre deixando $17$ camelos e lega $\frac12$ do rebanho ao filho mais velho, $\frac13$ ao segundo e $\frac19$ ao terceiro — e nenhuma das partes é um número inteiro de camelos. Um vizinho empresta à família um décimo oitavo camelo; os filhos levam $9$ , $6$ e $2$ camelos, e o camelo emprestado é devolvido. Calcule $\frac12 + \frac13 + \frac19$ e explique o truque: por que o rebanho pôde ser repartido em camelos inteiros, e por que nenhum filho recebeu menos do que o testamento prometia?
Conserte o testamento: proponha três frações unitárias distintas que somem exatamente $1$ e dê o menor tamanho de rebanho para o qual as três partes sejam números inteiros de camelos.

Solução

Solução de Problema 55.1.

1. $\frac12 + \frac13 = \frac36 + \frac26 = \frac56$ e $\frac12 + \frac14 = \frac24 + \frac14 = \frac34$ . Então $\frac56 = \frac12 + \frac13$ e $\frac34 = \frac12 + \frac14$ são escritas egípcias (frações unitárias distintas em cada uma).

2. Com o denominador comum $28$ :

\frac14 + \frac{1}{28} = \frac{7}{28} + \frac{1}{28} = \frac{8}{28} = \frac{2}{7} .

3. $\frac13 + \frac16 = \frac26 + \frac16 = \frac36 = \frac12$ , e $\frac14 + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac13$ . Em geral, o denominador comum de $\frac{1}{n+1}$ e $\frac{1}{n(n+1)}$ é $n(n+1)$ :

\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n(n+1)} + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n+1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} .

4. Parta de $1 = \frac12 + \frac12$ e divida a segunda metade pela questão 3:

1 = \frac12 + \frac13 + \frac16 ,

três frações unitárias distintas.

5. Dividindo o $\frac13$ em $\frac56 = \frac12 + \frac13$ dá

\frac56 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{12} .

Nenhuma escrita egípcia é única: a identidade de divisão sempre pode trocar a fração unitária de maior denominador por duas frações unitárias novas, ainda menores — então, de qualquer escrita, se fabrica outra.

6. Com denominador $21$ : $\frac27 = \frac{6}{21} < \frac{7}{21} = \frac13$ . Com denominador $28$ : $\frac14 = \frac{7}{28} < \frac{8}{28} = \frac27$ . As frações unitárias encolhem à medida que os denominadores crescem, $1 > \frac12 > \frac13 > \frac14 > \dots$ ; como $\frac13$ (e tudo acima dele) é grande demais e $\frac14$ cabe, $\frac14$ é a maior fração unitária menor que $\frac27$ .

7. $\frac27 - \frac14 = \frac{8}{28} - \frac{7}{28} = \frac{1}{28}$ : o método guloso produz $\frac27 = \frac14 + \frac{1}{28}$ , exatamente a entrada dos escribas da questão 2.

8. Com denominador $14$ : $\frac12 = \frac{7}{14} < \frac{10}{14} = \frac57$ , enquanto a única fração unitária maior, $1$ , ultrapassa $\frac57$ . Então $\frac12$ é a maior que cabe, e

\frac57 - \frac12 = \frac{10}{14} - \frac{7}{14} = \frac{3}{14} .

9. Com denominador $28$ : $\frac{3}{14} = \frac{6}{28} < \frac{7}{28} = \frac14$ , então $\frac14$ é grande demais. Com denominador $70$ : $\frac15 = \frac{14}{70} < \frac{15}{70} = \frac{3}{14}$ , então $\frac15$ cabe: é a maior fração unitária menor que $\frac{3}{14}$ . Então

\frac{3}{14} - \frac15 = \frac{15}{70} - \frac{14}{70} = \frac{1}{70}, \qquad\text{logo}\qquad \frac57 = \frac12 + \frac15 + \frac{1}{70} .

Confere: $\frac{35}{70} + \frac{14}{70} + \frac{1}{70} = \frac{50}{70} = \frac57$ .

10. Primeiro passo: $\frac12 = \frac{5}{10} < \frac{8}{10} = \frac45$ e $1 > \frac45$ , então subtraia $\frac12$ : $\frac45 - \frac12 = \frac{8}{10} - \frac{5}{10} = \frac{3}{10}$ . Segundo passo: $\frac13 = \frac{10}{30} > \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$ é grande demais, e $\frac14 = \frac{5}{20} < \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$ cabe, então subtraia $\frac14$ : $\frac{3}{10} - \frac14 = \frac{6}{20} - \frac{5}{20} = \frac{1}{20}$ . Conclusão:

\frac45 = \frac12 + \frac14 + \frac{1}{20}, \qquad \frac{10}{20} + \frac{5}{20} + \frac{1}{20} = \frac{16}{20} = \frac45 . \checkmark

11. Os numeradores dos restos sucessivos são: para $\frac27$ : $2$ e depois $1$ ; para $\frac57$ : $5$ , depois $3$ , depois $1$ ; para $\frac45$ : $4$ , depois $3$ , depois $1$ . Cada lista é estritamente decrescente.

12. O denominador comum de $\frac ab$ e $\frac1n$ é $b \times n$ :

\frac{a}{b} - \frac{1}{n} = \frac{a \times n}{b \times n} - \frac{b}{b \times n} = \frac{a \times n - b}{b \times n} .

13. Sobre o denominador comum $b \times (n-1)$ , a desigualdade $\frac{1}{n-1} > \frac ab$ compara os numeradores $b$ e $a \times (n - 1)$ :

b > a \times (n - 1) = a \times n - a ,

e somando $a - b$ aos dois lados vem $a > a \times n - b$ . Assim, depois de cada passo guloso, o numerador do resto (questão 12) é um número inteiro estritamente menor que o anterior. Números inteiros não podem decrescer estritamente para sempre: depois de no máximo $a$ passos, o resto tem numerador $1$ — uma fração unitária — ou é $0$ , e o método para.

14. Com o denominador comum $18$ :

\frac12 + \frac13 + \frac19 = \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18} = \frac{17}{18} ,

que é menor que $1$ : o testamento esqueceu $\frac{1}{18}$ do rebanho. Essa falha é todo o truque. De $18$ camelos, as partes $\frac12$ , $\frac13$ e $\frac19$ são os números inteiros $9$ , $6$ e $2$ , que somam $9 + 6 + 2 = 17$ : exatamente o rebanho, e o décimo oitavo camelo volta para casa. E ninguém pode reclamar: o testamento prometia, de $17$ camelos, $\frac{17}{2} = 8.5$ , depois $\frac{17}{3} \approx 5.67$ e depois $\frac{17}{9} \approx 1.89$ camelos, e cada filho recebeu estritamente mais ( $9$ , $6$ e $2$ ). O $\frac{1}{18}$ esquecido é o que o camelo do vizinho preencheu temporariamente.

15. A questão 4 fornece o testamento consertado:

\frac12 + \frac13 + \frac16 = 1 .

As partes são números inteiros quando o tamanho do rebanho é divisível por $2$ , por $3$ e por $6$ — isto é, divisível por $6$ . O menor rebanho assim é o de $6$ camelos: partes $3$ , $2$ e $1$ , sem sobra nenhuma.