Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

44Proporcionalidade e dados

Se três cadernos custam $6$ reais, seis cadernos custam $12$ : o dobro de cadernos, o dobro do preço. Grandezas que se comportam assim são proporcionais — uma das ideias mais úteis de toda a matemática, desenvolvida mais a fundo no Capítulo 49. O capítulo termina lendo e traçando gráficos de dados simples.

44.1 Grandezas proporcionais

Definição 44.1 (Proporcionalidade)

Duas grandezas são proporcionais quando os valores de uma são obtidos a partir dos valores da outra multiplicando sempre pelo mesmo número, chamado de coeficiente de proporcionalidade.

Exemplo 44.2

Cadernos a $2$ reais cada um:

cadernos	$3$	$5$	$8$	$12$
preço (reais)	$6$	$10$	$16$	$24$

Cada preço é o número de cadernos $\times 2$ : o coeficiente é $2$ (o preço unitário). Uma conferência rápida de que uma tabela é proporcional: todos os “quocientes de coluna” $\frac{6}{3}, \frac{10}{5}, \frac{16}{8}, \frac{24}{12}$ têm de ser iguais — aqui todos valem $2$ .

Exemplo 44.3 (Um contraexemplo)

Idade e altura não são proporcionais: quem tem $12$ anos não é duas vezes mais alto que quem tem $6$ . Confira nos números: $1.50$ m aos $12$ anos e $1.15$ m aos $6$ anos dão quocientes $\frac{1.50}{12} = 0.125$ e $\frac{1.15}{6} \approx 0.19$ — não são iguais.

Método 44.4 (Completar uma tabela de proporcionalidade)

Três caminhos, à escolha:

coeficiente: descubra o multiplicador a partir de uma coluna completa e aplique-o às outras;
colunas: uma coluna pode ser multiplicada por um número, ou duas colunas podem ser somadas, para produzir uma coluna nova;
voltar à unidade: descubra primeiro o valor de um item e depois multiplique.

Exemplo 44.5

Cinco canecas iguais custam $15$ reais; quanto custam oito canecas?

Voltando à unidade: uma caneca custa $15 \div 5 = 3$ reais, então oito canecas custam $8 \times 3 = 24$ reais.

Pelas colunas: $8 = 5 + 3$ ; três canecas custam $\frac{3}{5}$ de $15$ , ou seja, $9$ ; então oito canecas custam $15 + 9 = 24$ reais. A mesma resposta, como tinha de ser.

44.2 Porcentagens

Definição 44.6 (Porcentagem)

“ $t\,\%$ de uma quantidade” quer dizer a fração $\frac{t}{100}$ dela: $25\,\%$ de $60$ é $\frac{25}{100} \times 60 = 15$ . Uma porcentagem é uma proporcionalidade de coeficiente $\frac{t}{100}$ .

Exemplo 44.7

Uma turma de $30$ alunos tem $40\,\%$ de meninas. Número de meninas, passo a passo: $40\,\%$ quer dizer $\frac{40}{100} = 0.4$ , e $0.4 \times 30 = 12$ meninas. Referências úteis: $50\,\%$ é a metade, $25\,\%$ é um quarto, $10\,\%$ é um décimo — então $10\,\%$ de $30$ é $3$ , e $40\,\% = 4 \times 10\,\%$ é $4 \times 3 = 12$ : a mesma resposta, calculada de cabeça.

44.3 Ler e traçar gráficos

Método 44.8 (Ler uma tabela ou um gráfico)

Seja qual for a imagem — tabela, gráfico de barras, gráfico de linhas:

leia primeiro o título e as unidades dos dois eixos;
para responder a uma pergunta, localize a barra ou a coluna certa e depois leia o valor com cuidado na graduação;
para comparar, compare as barras pela altura — mas confira se o eixo começa em $0$ , senão a imagem pode enganar.

Exemplo 44.9

O gráfico de barras abaixo mostra o número de livros emprestados na biblioteca da escola durante uma semana.

Um gráfico de barras: uma barra por dia, com altura igual à contagem.

Leituras: o dia mais movimentado é quarta-feira ( $17$ livros). Terça e quinta juntas somam $8 + 6 = 14$ livros — menos que sexta sozinha ( $15$ ). Total da semana: $12 + 8 + 17 + 6 + 15 = 58$ livros.

As grandezas proporcionais têm um gráfico bem reconhecível: os pontos se alinham numa reta que passa pela origem (aqui, cadernos a 3 reais cada um; o tracejado lê o preço de 6 cadernos: 18 reais). — As grandezas proporcionais têm um gráfico bem reconhecível: os pontos se alinham numa reta que passa pela origem (aqui, cadernos a $3$ reais cada um; o tracejado lê o preço de $6$ cadernos: $18$ reais).

44.4 Exercícios

Exercício 44.1 ★

A tabela é proporcional? Justifique calculando os quocientes.

kg de maçãs	$2$	$3$	$5$
preço (reais)	$5$	$7.5$	$12.5$

idade (anos)	$2$	$4$	$8$
altura (cm)	$85$	$103$	$130$

Solução

Solução de Exercício 44.1.

Maçãs: quocientes $\frac52 = 2.5$ , $\frac{7.5}{3} = 2.5$ , $\frac{12.5}{5} = 2.5$ — todos iguais: proporcional (preço de $2.50$ por quilo).

Idade/altura: $\frac{85}{2} = 42.5$ , mas $\frac{103}{4} = 25.75$ — não são iguais: não é proporcional.

Exercício 44.2 ★

Quatro croissants custam $4.80$ reais. Descubra o preço de um croissant e depois o de sete croissants.

Solução

Solução de Exercício 44.2.

Um croissant: $4.80 \div 4 = 1.20$ reais. Sete: $7 \times 1.20 = 8.40$ reais.

Exercício 44.3 ★

Complete a tabela de proporcionalidade (comece pelo coeficiente!):

litros de combustível	$10$	$25$	$?$	$60$
preço (reais)	$18$	$?$	$72$	$?$

Solução

Solução de Exercício 44.3.

Coeficiente: $18 \div 10 = 1.8$ reais por litro. Então $25$ L custam $25 \times 1.8 = 45$ reais; $72$ reais compram $72 \div 1.8 = 40$ L; $60$ L custam $60 \times 1.8 = 108$ reais.

Exercício 44.4 ★

Um carro usa $6$ L de combustível a cada $100$ km. Quanto combustível para $250$ km? E para $350$ km? Que distância ele percorre com $27$ L?

Solução

Solução de Exercício 44.4.

Para $250$ km: $2.5$ vezes o combustível de $100$ km, ou seja, $2.5 \times 6 = 15$ L. Para $350$ km: $3.5 \times 6 = 21$ L. Com $27$ L: $27 \div 6 = 4.5$ centenas de km, isto é, $450$ km.

Exercício 44.5 ★

Calcule de cabeça, usando as referências do Exemplo 44.7: $50\,\%$ de $84$ ; $25\,\%$ de $200$ ; $10\,\%$ de $63$ ; $30\,\%$ de $70$ .

Solução

Solução de Exercício 44.5.

$50\,\%$ de $84$ : a metade, $42$ . $25\,\%$ de $200$ : um quarto, $50$ . $10\,\%$ de $63$ : um décimo, $6.3$ . $30\,\%$ de $70$ : $3 \times 7 = 21$ .

Exercício 44.6 ★

Numa escola de $450$ alunos, $60\,\%$ almoçam no refeitório. Quantos alunos são? E quantos não almoçam?

Solução

Solução de Exercício 44.6.

$60\,\%$ de $450$ : $\frac{60}{100} \times 450 = 270$ alunos almoçam no refeitório; $450 - 270 = 180$ não almoçam.

Exercício 44.7 ★

Usando o gráfico de barras do Exemplo 44.9: em que dias foram emprestados menos de $10$ livros? Quantos livros a mais foram emprestados na quarta do que na quinta?

Solução

Solução de Exercício 44.7.

Menos de $10$ livros: terça ( $8$ ) e quinta ( $6$ ). Quarta menos quinta: $17 - 6 = 11$ livros a mais.

Exercício 44.8 ★

As temperaturas do meio-dia de segunda a sexta foram $14$ , $16$ , $13$ , $17$ , $20$ graus. Trace um gráfico de barras desses dados (escolha uma graduação sensata) e diga qual foi o dia mais quente.

Solução

Solução de Exercício 44.8.

Gráfico de barras com cinco barras de alturas $14$ , $16$ , $13$ , $17$ , $20$ (graduação de $2$ em $2$ ou de $5$ em $5$ graus funciona bem). Dia mais quente: sexta ( $20$ graus).

Exercício 44.9 ★★

Uma receita para $6$ pessoas pede $450$ g de farinha e $3$ ovos. Adapte-a para $10$ pessoas. (Para os ovos, pense antes de escrever um número decimal de ovos!)

Solução

Solução de Exercício 44.9.

Para $10$ pessoas, multiplique por $\frac{10}{6} = \frac53$ : farinha, $450 \times \frac{10}{6} = 750$ g. Ovos: $3 \times \frac{10}{6} = 5$ — felizmente um número inteiro. (Se não fosse, arredondaríamos para cima, para ter o suficiente.)

Exercício 44.10 ★★

A velocidade constante, uma ciclista percorre $24$ km em $1$ hora.

Que distância ela percorre em $2$ h? E em meia hora? E em $1$ h $30$ min?
De quanto tempo ela precisa para $60$ km?

Solução

Solução de Exercício 44.10.

1. Em $2$ h: $48$ km. Em meia hora: $12$ km. Em $1$ h $30$ : $24 + 12 = 36$ km.

2. $60 \div 24 = 2.5$ horas, isto é, $2$ h $30$ min.

Exercício 44.11 ★★

Uma loja anuncia “ $20\,\%$ de desconto em tudo”. Calcule o desconto e o preço novo para: uma bola de $15$ reais; uma raquete de $40$ reais. O preço novo é proporcional ao preço antigo? Qual é o coeficiente?

Solução

Solução de Exercício 44.11.

Bola: desconto de $20\,\%$ de $15 = 3$ reais, preço novo $12$ reais. Raquete: desconto de $8$ reais, preço novo $32$ reais. O preço novo é $80\,\%$ do antigo em todos os casos: proporcional, com coeficiente $0.8$ .

Exercício 44.12 ★★★

Duas velas da mesma altura são acesas ao mesmo tempo. A grossa se consome inteira em $6$ horas e a fina em $4$ horas, cada uma a um ritmo constante próprio. Depois de quanto tempo a vela fina tem exatamente a metade da altura da grossa? (Escreva as alturas restantes depois de $t$ horas como frações da altura inicial.)

Solução

Solução de Exercício 44.12.

Depois de $t$ horas, a vela grossa queimou $\frac t6$ da altura dela: ela está em $1 - \frac t6$ da altura inicial; a fina está em $1 - \frac t4$ . Queremos

1 - \frac t4 = \frac12 \left(1 - \frac t6\right) \quad\text{isto é}\quad 1 - \frac t4 = \frac12 - \frac t{12}.

Então $\frac12 = \frac t4 - \frac t{12} = \frac{3t - t}{12} = \frac{t}{6}$ , logo $t = 3$ horas. Confere: depois de $3$ h a vela grossa está em $1 - \frac36 = \frac12$ e a fina em $1 - \frac34 = \frac14$ — de fato a metade.

44.5 Problema: mapas, plantas e como mentir com um gráfico

Problema 44.1

Problema de fim de semana — a escala de um mapa é uma proporcionalidade: os comprimentos seguem o coeficiente, as áreas seguem o quadrado dele, e gráficos mal traçados enganam o olho

Todo mapa, planta e maquete obedece a uma regra: os comprimentos reais e os comprimentos desenhados são proporcionais (Definição 44.1). O coeficiente tem um nome famoso — a escala — e esconde duas armadilhas que este problema arma de propósito: as áreas não seguem a escala, e as porcentagens, como os gráficos, dependem inteiramente daquilo em relação a que são medidas.

Parte I — Ler um mapa. Um mapa de caminhada está na escala $1:100\,000$ : cada centímetro no mapa representa $100\,000$ centímetros no terreno.

Converta $100\,000$ cm em quilômetros. O que $1$ cm desse mapa representa, em km?
Dois vilarejos estão a $7.5$ cm um do outro no mapa; a margem de um lago é uma curva de $12$ cm. Dê as distâncias reais.
Uma estrada romana perfeitamente reta tem $20$ km. Que comprimento ela tem no mapa?
Um segundo mapa anuncia “ $1$ cm para $5$ km”. Escreva a escala dele na forma $1: \,?$ . Qual dos dois mapas mostra mais detalhes para a mesma região?
Monte uma tabelinha (distância no mapa $1$ , $2$ , $7.5$ cm contra distância real) para o mapa de caminhada e explique por que uma escala é exatamente uma proporcionalidade no sentido da Definição 44.1. Qual é o coeficiente que transforma centímetros-no-mapa em quilômetros?

Parte II — A planta do quarto de Zoe. Zoe desenha a planta do quarto dela — um retângulo de $4$ m por $3$ m — na escala $1:50$ .

Que dimensões o quarto tem na planta?
A cama dela mede $2$ m por $0.9$ m, e o vão da porta tem $80$ cm de largura. Dê as três medidas na planta.
Agora a armadilha. Calcule a área real do quarto em m $^2$ e depois a área da planta dele em cm $^2$ . Converta a área real em cm $^2$ (Definição 43.5) e divida pela área da planta: o quociente é $50$ ?
Explique o número que você encontrou: numa planta $1:50$ , cada centímetro quadrado de papel representa um quadrado real de $50$ cm por $50$ cm. Quantos cm $^2$ reais são? Enuncie a regra: quando os comprimentos são divididos por $50$ , as áreas são divididas por …
Um tapete redondo cobre $6$ cm $^2$ na planta. Que área real ele cobre, em cm $^2$ e depois em m $^2$ ?

Parte III — Como mentir com um gráfico (e com uma porcentagem).

Uma loja vendeu $105$ reais no sábado e $110$ no domingo. O gerente traça um gráfico de barras cujo eixo vertical começa em $100$ : a barra de sábado sobe $5$ unidadezinhas e a de domingo, $10$ . O que a imagem sugere sobre o domingo, e qual é a verdade? (Calcule o aumento de domingo como porcentagem do sábado, arredondado ao por cento.) Que alerta do Método 44.8 o gerente ignorou?
Refaça (ou descreva) o gráfico honesto, com o eixo começando em $0$ : como as duas barras se comparam agora?
Uma coleção cresce de $40$ para $60$ selos: calcule o aumento como porcentagem do valor inicial. Depois ela encolhe de volta de $60$ para $40$ : calcule a queda como porcentagem do valor inicial dela. Por que as duas respostas são diferentes, para os mesmos $20$ selos?
Época de liquidação: um casaco de $100$ reais recebe “ $20\,\%$ de desconto” e, no caixa, mais “ $10\,\%$ sobre o preço já reduzido”. Calcule o preço final passo a passo. O desconto total é de $30\,\%$ ? Explique ao cliente quanto ele é de verdade.
Final, de volta ao mapa da questão 4 ( $1$ cm para $5$ km): uma floresta ocupa $3$ cm $^2$ nesse mapa. Qual é a área real dela, em km $^2$ ? Conclua com a regra deste problema inteiro: os comprimentos seguem a escala, as áreas seguem o …

Solução

Solução de Problema 44.1.

1. $100\,000$ cm $= 1\,000$ m $= 1$ km: um centímetro no mapa é um quilômetro no terreno.

2. $7.5$ cm $\rightarrow 7.5$ km entre os vilarejos; $12$ cm $\rightarrow 12$ km de margem do lago.

3. $20$ km $\rightarrow 20$ cm no mapa.

4. $5$ km $= 500\,000$ cm, então a escala é $1:500\,000$ . O mapa de caminhada ( $1:100\,000$ ) é o mais detalhado: ele usa $5$ cm de papel onde o outro gasta apenas $1$ cm.

mapa (cm)	$1$	$2$	$7.5$
real (km)	$1$	$2$	$7.5$

Distância real $=$ distância no mapa $\times 1$ (nessas unidades): sempre o mesmo multiplicador, que é exatamente a definição de proporcionalidade (Definição 44.1). O coeficiente aqui é $1$ quilômetro por centímetro.

6. $4$ m $= 400$ cm e $400 \div 50 = 8$ ; $3$ m $= 300$ cm e $300 \div 50 = 6$ : a planta mostra um retângulo de $8$ cm $\times$ $6$ cm.

7. Cama: $200 \div 50 = 4$ cm por $90 \div 50 = 1.8$ cm. Vão da porta: $80 \div 50 = 1.6$ cm.

8. Área real: $4 \times 3 = 12$ m $^2$ . Área da planta: $8 \times 6 = 48$ cm $^2$ . Convertendo: $12$ m $^2 = 12 \times 10\,000 = 120\,000$ cm $^2$ , e

120\,000 \div 48 = 2\,500 .

O quociente não é $50$ , e sim $2\,500 = 50 \times 50$ .

9. Um cm $^2$ de papel representa um quadrado real de $50$ cm por $50$ cm, que contém $50 \times 50 = 2\,500$ cm $^2$ . Então, quando os comprimentos são divididos por $50$ , as áreas são divididas por $50 \times 50 = 2\,500$ : as áreas seguem o quadrado da escala.

10. $6 \times 2\,500 = 15\,000$ cm $^2$ , e $15\,000 \div 10\,000 = 1.5$ m $^2$ .

11. A imagem sugere que o domingo vendeu o dobro (uma barra duas vezes mais alta). Verdade: o aumento é de $5$ reais sobre $105$ , e $5 \div 105 \approx 0.048$ : cerca de $5\,\%$ a mais, e não $100\,\%$ a mais. O gerente ignorou o alerta de conferir se o eixo começa em $0$ (Método 44.8).

12. Com o eixo a partir de $0$ , as barras sobem até $105$ e $110$ unidadezinhas: duas barras de altura quase igual, a imagem honesta de uma diferença de $5\,\%$ .

13. Para cima: o aumento é de $20$ selos a partir de $40$ : $\frac{20}{40} = 50\,\%$ . Para baixo: a queda é de $20$ selos a partir de $60$ : $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$ . Os mesmos $20$ selos, valores iniciais diferentes — uma porcentagem é sempre uma fração de alguma coisa, e essa “alguma coisa” mudou.

14. Depois dos $20\,\%$ de desconto: $100 - 20 = 80$ reais. Os $10\,\%$ extras incidem sobre $80$ : desconto de $8$ reais, preço final $72$ reais. Desconto total: $28$ reais em $100$ , ou seja, $28\,\%$ — e não $30\,\%$ . O segundo desconto agiu sobre o preço já reduzido, então os reais dele são menores: porcentagens de quantidades diferentes não se somam.

15. Nesse mapa, $1$ cm representa $5$ km, então $1$ cm $^2$ representa $5 \times 5 = 25$ km $^2$ (a regra da questão 9). A floresta: $3 \times 25 = 75$ km $^2$ . Os comprimentos seguem a escala; as áreas seguem o quadrado dela.