57Cálculo literal e equações

Solução de Problema 57.1.

1. Distributividade dupla (Teorema 57.1) com $c = a$ e $d = b$:

já que $ab$ e $ba$ são o mesmo produto.

2. O mesmo desenvolvimento, com atenção aos sinais:

desta vez os termos cruzados $-ab$ e $+ba$ se cancelam em vez de dobrar.

3. O quadrado de lado $a + b$ se corta em quatro peças: um quadrado $a \times a$ (o $a^2$), um quadrado $b \times b$ (o $b^2$) e dois retângulos $a \times b$ (juntos, o $2ab$). A identidade $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ é a afirmação de que as quatro áreas preenchem o quadrado grande — é o desenho da distributividade dupla com os dois lados divididos do mesmo jeito.

4. Com os produtos notáveis:

5. Para $a = 3$ e $b = 4$: $(3 + 4)^2 = 49$, mas $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. A fórmula de Zoe esquece os dois retângulos $a \times b$ do desenho — os $2ab = 24$ que faltam, e de fato $25 + 24 = 49$.

6. $1$; $1 + 3 = 4$; $1 + 3 + 5 = 9$; $1 + 3 + 5 + 7 = 16$; $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$. Os resultados são os quadrados perfeitos $1^2, 2^2, 3^2, 4^2, 5^2$.

7. Os números ímpares começam em $1$ e sobem de $2$ em $2$: o $n$-ésimo é alcançado depois de $n - 1$ passos de $2$ a partir de $1$, então vale $1 + 2(n - 1) = 2n - 1$. Confere: $n = 1, 2, 3$ dão $1, 3, 5$.

8. Pelo primeiro produto notável,

a diferença entre dois quadrados consecutivos é exatamente o $(n+1)$-ésimo número ímpar (questão 7 com $n + 1$ no lugar de $n$: $2(n+1) - 1 = 2n + 1$).

9. Construa os quadrados um depois do outro. Comece com uma única casinha: $1 = 1^2$. Para passar do quadrado de lado $1$ ao de lado $2$, acrescente $2 \times 1 + 1 = 3$ casinhas (questão 8): $1 + 3 = 2^2$. Para passar ao de lado $3$, acrescente $2 \times 2 + 1 = 5$ casinhas: $1 + 3 + 5 = 3^2$. Cada número ímpar novo é exatamente a camada em L que completa o próximo quadrado, então, depois de somar os $n$ primeiros ímpares, o quadrado de lado $n$ está completo: $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = n^2$.

10. Os números ímpares de $1$ a $99$ são os $50$ primeiros ($2n - 1 = 99$ dá $n = 50$), então

E $1 + 3 + \dots + (2n - 1) = 400 = 20^2$ exige $n = 20$: os vinte primeiros números ímpares ($1$ até $39$) somam $400$.

11. $x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x + 3)^2$: o primeiro produto notável com $a = x$ e $b = 3$. Então a equação fica $(x + 3)^2 = 0$. Um quadrado só é zero quando o próprio número é zero (Teorema 54.1: um número não nulo tem distância não nula, então o quadrado dele também tem distância não nula). Logo $x + 3 = 0$: a única solução é $x = -3$.

12. Pelo Teorema 54.1, a distância de um produto é o produto das distâncias. Se os dois fatores forem não nulos, as duas distâncias são não nulas, então a distância do produto é não nula: o produto não pode ser $0$. Um produto nulo, portanto, obriga pelo menos um fator nulo. Para $(x - 2)(x + 5) = 0$: ou $x - 2 = 0$, ou $x + 5 = 0$, o que dá as duas soluções $x = 2$ e $x = -5$.

13. $x^2 = 49$ vira $x^2 - 49 = 0$, e o terceiro produto notável o fatora:

Pela questão 12, $x = 7$ ou $x = -7$: duas soluções. Toda equação resolvida até aqui neste capítulo era do primeiro grau e tinha exatamente uma solução; um quadrado na equação pode produzir duas.

14. Passe tudo para o lado esquerdo: $x^2 - 6x + 9 = 0$, e reconheça o segundo produto notável: $x^2 - 2 \times 3 \times x + 3^2 = (x - 3)^2$. Então a equação é $(x - 3)^2 = 0$, o que obriga $x - 3 = 0$ (como na questão 11): $x = 3$ é a única solução — a conferência do Exercício 57.3 a encontrou, e a fatoração demonstra que não há outras.

15. Pelo terceiro produto notável,

Em geral, $(n+1)^2 - n^2 = (n + 1 - n)(n + 1 + n) = 2n + 1$: a diferença de dois quadrados consecutivos é a soma dos dois números — o mesmo $2n + 1$ da questão 8, obtido agora pelo terceiro produto notável em vez do primeiro.