Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

39Frações: primeiros passos

Repartir três pizzas igualmente entre quatro pessoas dá a cada uma … um número não inteiro de pizzas. As frações são os números inventados para repartir. Este capítulo monta o quadro: a fração como parte de um inteiro, como ponto da reta numérica e como resultado exato de uma divisão.

39.1 O que significa uma fração

Definição 39.1 (Fração)

Corte uma unidade em $b$ partes iguais e tome $a$ delas: a quantidade obtida é a fração

\frac{a}{b} \qquad \begin{array}{l} a \text{: o \emph{numerador} --- quantas partes tomamos;}\\ b \text{: o \emph{denominador} --- em quantas partes a unidade é cortada.} \end{array}

Duas frações da mesma barra. O denominador diz quão fino é o corte; o numerador, quanto se toma.

Exemplo 39.2

Uma fração pode ser maior que $1$ : $\frac74$ quer dizer sete quartos — uma unidade inteira (quatro quartos) e mais três quartos:

\frac74 = 1 + \frac34 .

Proposição 39.3 (Frações na reta numérica)

Para marcar $\frac ab$ na reta numérica, corte cada intervalo unitário em $b$ partes iguais e conte $a$ partes a partir do $0$ .

A reta graduada em quartos: 3/4 fica antes do 1, 7/4 fica entre 1 e 2, e 22/4 = 5 + 2/4 fica bem no meio, entre 5 e 6. — A reta graduada em quartos: $\frac34$ fica antes do $1$ , $\frac74$ fica entre $1$ e $2$ , e $\frac{22}{4} = 5 + \frac24$ fica bem no meio, entre $5$ e $6$ .

Teorema 39.4 (Uma fração é uma divisão)

A fração $\frac ab$ é o número que, multiplicado por $b$ , dá $a$ :

\frac ab \times b = a .

Em outras palavras, $\frac ab$ é o quociente exato de $a$ por $b$ — mesmo quando a divisão “não é exata”.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 39.5

Três pizzas para quatro pessoas: cada pessoa recebe $\frac34$ de pizza. Confira com o teorema: $4$ partes de $\frac34$ dão $\frac34 \times 4 = 3$ pizzas. Algumas frações são números decimais ( $\frac34 = 0.75$ ), outras não: $\frac13 = 0.333\dots$ nunca para. A fração é o valor exato; $0.33$ é apenas uma aproximação.

39.2 Frações iguais

Proposição 39.6 (Frações equivalentes)

Uma fração não muda quando o numerador e o denominador dela são ambos multiplicados (ou divididos) pelo mesmo número não nulo:

\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .

Ideia da demonstração. Cortar cada parte da partilha em $k$ pedacinhos multiplica por $k$ tanto o número de pedaços tomados quanto o número total de pedaços, mas a quantidade tomada é a mesma. Um desenho diz isso melhor: ∎

2/3 = 4/6: cortar cada terço em dois dobra as contagens em cima e embaixo, sem mudar a quantidade pintada. — $\frac23 = \frac46$ : cortar cada terço em dois dobra as contagens em cima e embaixo, sem mudar a quantidade pintada.

Método 39.7 (Simplificar uma fração)

Procure um número que divida o numerador e o denominador, e divida os dois. Repita até não sobrar nenhum divisor comum:

\frac{12}{18} = \frac{12 \div 2}{18 \div 2} = \frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}.

39.3 Tomar uma fração de uma quantidade

Método 39.8 (Fração de uma quantidade)

Para calcular $\frac ab$ de uma quantidade, divida a quantidade por $b$ (uma parte) e depois multiplique por $a$ (o número de partes):

\frac ab \text{ de } Q = (Q \div b) \times a .

(Multiplicar primeiro por $a$ e depois dividir por $b$ dá o mesmo resultado — escolha a ordem que deixa os números mais simpáticos.)

Exemplo 39.9

Vamos calcular $\frac35$ de $40$ reais, passo a passo:

um quinto de $40$ : $40 \div 5 = 8$ ;
três quintos: $8 \times 3 = 24$ .

Logo $\frac35$ de $40$ reais são $24$ reais. Confere: os $\frac25$ que sobram são $16$ reais, e $24 + 16 = 40$ .

39.4 Exercícios

Exercício 39.1 ★

Para cada descrição, escreva a fração: um bolo cortado em $8$ fatias, $3$ comidas; uma barra de chocolate de $12$ quadradinhos, $7$ comidos; uma torta cortada em $6$ , todas as $6$ fatias comidas.

Solução

Solução de Exercício 39.1.

Bolo: $\frac38$ comido. Chocolate: $\frac{7}{12}$ . Torta: $\frac66 = 1$ (a torta inteira).

Exercício 39.2 ★

Desenhe uma barra cortada em $5$ partes iguais e pinte $\frac45$ dela. $\frac45$ é menor ou maior que $1$ ? E $\frac65$ ?

Solução

Solução de Exercício 39.2.

Quatro partes em cinco ficam pintadas. $\frac45 < 1$ (quatro partes de cinco é menos que a barra inteira); $\frac65 > 1$ (seis quintos são uma barra inteira e mais um quinto).

Exercício 39.3 ★

Marque numa reta numérica graduada em terços: $\frac13$ ; $\frac53$ ; $2$ ; $\frac73$ . Quais dois desses números estão à mesma distância do $2$ ?

Solução

Solução de Exercício 39.3.

Na reta graduada em terços: $\frac13$ fica um traço depois do $0$ ; $\frac53$ fica um traço antes do $2$ (pois $2 = \frac63$ ); $\frac73$ fica um traço depois do $2$ . Logo $\frac53$ e $\frac73$ estão os dois à distância $\frac13$ do $2$ .

Exercício 39.4 ★

Escreva cada fração como um número inteiro mais uma fração menor que $1$ (como em $\frac74 = 1 + \frac34$ ):

\frac{9}{4}, \qquad \frac{13}{5}, \qquad \frac{12}{6}, \qquad \frac{25}{8} .

Solução

Solução de Exercício 39.4.

$\frac94 = 2 + \frac14$ ; $\frac{13}{5} = 2 + \frac35$ ; $\frac{12}{6} = 2$ (exatamente); $\frac{25}{8} = 3 + \frac18$ .

Exercício 39.5 ★

Complete de modo que as frações fiquem iguais:

\frac{2}{3} = \frac{?}{12}, \qquad \frac{15}{20} = \frac{3}{?}, \qquad \frac{7}{10} = \frac{21}{?}, \qquad \frac{?}{6} = \frac{10}{12}.

Solução

Solução de Exercício 39.5.

$\frac23 = \frac{8}{12}$ (multiplique por $4$ ); $\frac{15}{20} = \frac34$ (divida por $5$ ); $\frac{7}{10} = \frac{21}{30}$ (multiplique por $3$ ); $\frac56 = \frac{10}{12}$ (divida por $2$ ).

Exercício 39.6 ★

Simplifique o máximo possível: $\dfrac{6}{8}$ ; $\dfrac{15}{25}$ ; $\dfrac{18}{24}$ ; $\dfrac{35}{7}$ .

Solução

Solução de Exercício 39.6.

$\frac68 = \frac34$ ; $\frac{15}{25} = \frac35$ ; $\frac{18}{24} = \frac{9}{12} = \frac34$ ; $\frac{35}{7} = 5$ (um número inteiro).

Exercício 39.7 ★

Calcule: $\frac12$ de $86$ ; $\frac34$ de $60$ ; $\frac25$ de $35$ ; $\frac{7}{10}$ de $250$ .

Solução

Solução de Exercício 39.7.

$\frac12$ de $86$ : $86 \div 2 = 43$ .

$\frac34$ de $60$ : $60 \div 4 = 15$ , depois $15 \times 3 = 45$ .

$\frac25$ de $35$ : $35 \div 5 = 7$ , depois $7 \times 2 = 14$ .

$\frac{7}{10}$ de $250$ : $250 \div 10 = 25$ , depois $25 \times 7 = 175$ .

Exercício 39.8 ★

Qual é maior: $\frac12$ ou $\frac13$ (do mesmo bolo)? $\frac25$ ou $\frac35$ ? $\frac34$ ou $\frac78$ (escreva as duas com denominador $8$ )?

Solução

Solução de Exercício 39.8.

$\frac12 > \frac13$ : as metades são partes maiores que os terços. $\frac35 > \frac25$ : as mesmas partes, em maior número. $\frac34 = \frac68 < \frac78$ : sete oitavos vencem seis oitavos.

Exercício 39.9 ★★

Dê o valor decimal das frações que têm um, e diga qual fração não tem: $\frac12$ ; $\frac34$ ; $\frac13$ ; $\frac{7}{10}$ ; $\frac{9}{4}$ .

Solução

Solução de Exercício 39.9.

$\frac12 = 0.5$ ; $\frac34 = 0.75$ ; $\frac{7}{10} = 0.7$ ; $\frac94 = 2.25$ . A exceção é $\frac13 = 0.333\dots$ , cuja escrita decimal nunca acaba: ela não é um número decimal.

Exercício 39.10 ★★

Uma turma tem $28$ alunos. Três quartos deles vêm para a escola de ônibus e o restante vem a pé. Quantos alunos vêm a pé? Resolva passo a passo e confira que os tamanhos dos dois grupos somam $28$ .

Solução

Solução de Exercício 39.10.

Quem usa ônibus: $\frac34$ de $28$ : $28 \div 4 = 7$ , depois $7 \times 3 = 21$ alunos. A pé: $28 - 21 = 7$ alunos (é o quarto que sobra: $28 \div 4 = 7$ ). Confere: $21 + 7 = 28$ .

Exercício 39.11 ★★

Léo gastou $\frac23$ das economias dele num jogo que custou $18$ reais. Quanto dinheiro Léo tinha antes? (Um terço das economias é a metade de $18$ … pense por quê, ou descubra primeiro o tamanho de uma parte.)

Solução

Solução de Exercício 39.11.

Dois terços das economias são $18$ reais, então um terço é $18 \div 2 = 9$ reais, e as economias inteiras (três terços) eram $9 \times 3 = 27$ reais. Confere: $\frac23$ de $27$ é $18$ .

Exercício 39.12 ★★★

Um tanque está cheio até $\frac58$ da capacidade dele. Depois de usar $10$ litros, ele fica pela metade. Qual é a capacidade do tanque? (Que fração do tanque os $10$ litros representam?)

Solução

Solução de Exercício 39.12.

A água usada levou o tanque de $\frac58$ para $\frac48$ (a metade são quatro oitavos): os $10$ litros representam $\frac58 - \frac48 = \frac18$ da capacidade. Logo o tanque cheio leva $10 \times 8 = 80$ litros. Confere: $\frac58$ de $80$ é $50$ ; menos $10$ ficam $40$ , que é de fato a metade de $80$ .

39.5 Problema: a barra de chocolate que nunca acaba

Problema 39.1

Problema de fim de semana — metades de metades: a soma $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots$ se aproxima de $1$ sem nunca tocá-lo

Pegue uma barra de chocolate. Coma metade dela. Depois coma metade do que sobrou. Depois de novo metade do que sobrou, e assim por diante. Duas coisas parecem ser verdade ao mesmo tempo: você nunca termina a barra (sempre sobra algo) e, ainda assim, come quase tudo. Este problema transforma as duas sensações em afirmações exatas sobre frações — e encontra, pelo caminho, um corredor da Grécia antiga e um quebra-cabeça de partilha resolvido só com uma faca que corta ao meio.

Parte I — Metades de metades. A barra é um retângulo de $16$ quadradinhos iguais.

Primeira mordida: você come metade da barra. Quantos quadradinhos são? Escreva a mordida como fração da barra de duas maneiras, com denominador $2$ e com denominador $16$ (Proposição 39.6).
Segunda mordida: metade do que sobrou. Quantos quadradinhos? Mostre, com o desenho ou com frações equivalentes, que essa mordida é $\frac14$ da barra inteira: metade de uma metade é um quarto.
Terceira e quarta mordidas, com a mesma regra: dê cada uma em quadradinhos e como fração da barra. O que acontece com o denominador de uma mordida para a seguinte?
Depois das quatro mordidas, quantos quadradinhos foram comidos ao todo? Que fração da barra é isso, e que fração sobrou?
A questão 4 diz, escrita em dezesseis avos:

$\frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}, \qquad\text{ou seja}\qquad \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} = \frac{15}{16} .$

Confira cada uma das quatro reescritas ( $\frac12 = \frac{8}{16}$ , e assim por diante).

Parte II — A escada rumo a $1$ . Para continuar mordendo, imagine uma barra mais fina, de $64$ quadradinhos.

Liste os tamanhos das seis primeiras mordidas, em quadradinhos ( $32$ , depois …), e confira que, depois da sexta mordida, sobra exatamente um quadradinho. Que fração da barra sobra?
Depois de cada mordida, que fração da barra sobra? Escreva a lista ( $\frac12$ , $\frac14$ , …) até a sexta mordida e descreva o padrão. Se uma faca imaginária pudesse cortar ao meio até o último quadradinho, o que sobraria depois de uma sétima mordida?
Explique por que o total comido nunca pode chegar a $1$ , por mais mordidas que se dê. (Compare com os vinte noves do Problema 38.1: é a mesma história?)
Ainda assim, o total ultrapassa qualquer alvo abaixo de $1$ . Um amigo desafia você a comer mais que $\frac{99}{100}$ da barra. Qual é menor, $\frac{1}{128}$ ou $\frac{1}{100}$ — e depois de que mordida o desafio está ganho?
Numa reta numérica de $0$ a $1$ graduada em dezesseis avos, marque os totais comidos depois de cada uma das quatro primeiras mordidas: $\frac12$ , $\frac34$ , $\frac78$ , $\frac{15}{16}$ . Onde cai cada novo total, em relação ao anterior e ao $1$ ?

Parte III — O corredor de Zenão e uma faca que só corta ao meio.

Vinte e quatro séculos atrás, o filósofo grego Zenão contou esta história: para chegar a um muro, um corredor precisa antes percorrer metade da distância, depois metade do que resta, depois de novo metade do que resta … “e assim o corredor nunca chega ao muro!” Usando as questões 8 e 9, diga o que há de certo na história de Zenão e onde está a armadilha. (O corredor precisa mesmo de uma eternidade para dar todos esses passos?)
O quebra-cabeça da partilha: reparta igualmente $15$ barras de chocolate idênticas entre $16$ crianças, usando apenas cortes ao meio (de uma barra, de meia barra, de um quarto de barra …). Descreva como cortar: quantas barras são cortadas ao meio, quantas em quartos, em oitavos, em dezesseis avos, de modo que cada criança receba um pedaço de cada tamanho.
Confira a sua partilha: escreva a parte de cada criança como soma de frações, calcule-a em dezesseis avos e verifique que as $16$ partes juntas usam exatamente as $15$ barras.
Na turma ao lado, $7$ barras são repartidas igualmente entre $8$ crianças. Que criança recebe mais chocolate — uma das $16$ ou uma das $8$ ? (Escreva as duas partes com denominador $16$ , Exercício 39.8.)
O grande final: um amigo afirma que, com infinitas mordidas, comeria-se exatamente a barra inteira. Desenhe um quadrado e pinte as mordidas dentro dele: metade do quadrado, depois um quarto, depois um oitavo … O que você observa no canto sem pintar? Enuncie com cuidado os dois fatos verdadeiros deste problema inteiro: o que sobra depois de qualquer quantidade finita de mordidas e quão pequeno esse resto fica. (O que uma “soma infinita” quer dizer exatamente é assunto do volume do ensino médio.)

Solução

Solução de Problema 39.1.

1. A metade de $16$ quadradinhos são $8$ quadradinhos. Como fração: $\frac12$ da barra e, como cada metade são $8$ quadradinhos em $16$ , também $\frac{8}{16}$ — a mesma fração escrita de duas maneiras (Proposição 39.6).

2. A metade dos $8$ quadradinhos restantes são $4$ quadradinhos, ou seja, $\frac{4}{16}$ da barra. Simplificando por $4$ : $\frac{4}{16} = \frac14$ . No desenho: cortar ao meio a metade restante produz dois quartos da barra original — metade de uma metade é um quarto.

3. Terceira mordida: metade de $4$ quadradinhos são $2$ quadradinhos, isto é, $\frac{2}{16} = \frac18$ da barra. Quarta mordida: $1$ quadradinho, isto é, $\frac{1}{16}$ . De uma mordida para a seguinte, o denominador dobra: $2$ , $4$ , $8$ , $16$ .

4. Comidos: $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ quadradinhos em $16$ , ou seja, $\frac{15}{16}$ da barra. Sobra: $1$ quadradinho, $\frac{1}{16}$ .

5. $\frac12 = \frac{8}{16}$ (multiplique em cima e embaixo por $8$ ), $\frac14 = \frac{4}{16}$ (por $4$ ), $\frac18 = \frac{2}{16}$ (por $2$ ), e $\frac{1}{16}$ fica como está. Contando dezesseis avos: $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ deles, então o total é $\frac{15}{16}$ .

6. Mordidas: $32$ , $16$ , $8$ , $4$ , $2$ , $1$ quadradinhos. Total comido: $32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63$ quadradinhos, então sobra $1$ quadradinho: $\frac{1}{64}$ da barra.

7. Depois de cada mordida sobra

\frac12,\quad \frac14,\quad \frac18,\quad \frac{1}{16},\quad \frac{1}{32},\quad \frac{1}{64} :

o que sobra cai pela metade a cada vez — o denominador dele dobra. Uma sétima mordida imaginária deixaria $\frac{1}{128}$ .

8. Cada mordida come apenas metade do que sobrou, então a outra metade do resto continua ali: depois de qualquer quantidade de mordidas, sempre sobra algo. O total comido é, portanto, sempre menor que $1$ — exatamente como os vinte noves do Problema 38.1, que chegam cada vez mais perto de $3$ sem alcançá-lo.

9. As duas frações têm numerador $1$ , e cortar em $128$ partes produz partes menores que cortar em $100$ : logo $\frac{1}{128} < \frac{1}{100}$ . Depois da sétima mordida sobra $\frac{1}{128}$ , então a parte comida ultrapassa $1 - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$ : o desafio é ganho na sétima mordida.

10. Em dezesseis avos, os totais são $\frac{8}{16}$ , $\frac{12}{16}$ , $\frac{14}{16}$ , $\frac{15}{16}$ . Cada novo total cai exatamente no meio entre o total anterior e o $1$ : a escada continua reduzindo à metade a distância que falta até $1$ , sem nunca pisar nele.

11. O que está certo: em toda etapa da descrição de Zenão, de fato ainda falta alguma distância (questão 8) — a lista de etapas nunca acaba. A armadilha: as etapas ficam extremamente curtas, em distância e em tempo de corrida; o corredor não gasta o mesmo tempo em cada etapa. Descrever a corrida em infinitos pedaços cada vez menores não torna a corrida em si interminável: o corredor chega ao muro, e a questão 9 mostra a descrição ultrapassando qualquer ponto aquém dele.

12. Corte $8$ barras ao meio: $16$ meias barras. Corte $4$ barras em quartos: $16$ pedaços de um quarto. Corte $2$ barras em oitavos: $16$ pedaços de um oitavo. Corte a última barra em dezesseis avos: $16$ pedacinhos. Isso usa $8 + 4 + 2 + 1 = 15$ barras, e cada criança recebe um pedaço de cada tamanho.

13. A parte de cada criança é

\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}

de barra (questão 5). Dezesseis partes dessas dão $16 \times \frac{15}{16} = 15$ barras (Teorema 39.4): exatamente o que foi cortado, sem sobra — uma partilha justa de $15$ barras entre $16$ crianças, só com cortes ao meio.

14. Os vizinhos recebem $\frac78$ de barra cada um. Com denominador $16$ : $\frac78 = \frac{14}{16}$ , enquanto as nossas crianças recebem $\frac{15}{16}$ . Logo uma criança das $16$ recebe mais: $\frac{15}{16} > \frac{14}{16}$ , por um dezesseis avos de barra.

15. No desenho do quadrado, cada mordida pintada preenche metade do canto que ainda está sem pintar, e esse canto continua encolhendo: depois de cada mordida ele fica com metade do tamanho anterior, e nunca desaparece. Os dois fatos verdadeiros: (i) depois de qualquer quantidade finita de mordidas sobra um resto — o total comido é sempre estritamente menor que $1$ ; (ii) esse resto fica menor que qualquer fração que se queira dizer ( $\frac{1}{100}$ , $\frac{1}{1000}$ , …), bastando morder por tempo suficiente. Dar às palavras “a soma infinita vale $1$ ” o seu sentido exato é tarefa dos limites, no volume do ensino médio.