Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

46Números negativos

Temperaturas abaixo de zero, andares abaixo do térreo, dinheiro devido: muitas grandezas descem abaixo de $0$ . Os números negativos estendem a reta numérica para a esquerda do zero. Este capítulo ensina a compará-los e a somá-los e subtraí-los — a multiplicação deles espera o Capítulo 54.

46.1 Números relativos

Definição 46.1 (Números relativos)

Um número relativo é formado por um sinal ( $+$ ou $-$ ) e uma distância até o zero: $+3$ e $-3$ estão os dois à distância $3$ de $0$ , em lados opostos. Os números positivos costumam ser escritos sem o sinal: $+3 = 3$ . Os números $+3$ e $-3$ são opostos um do outro.

A reta numérica estendida para a esquerda: -3 e +3 são números opostos, à mesma distância de 0. — A reta numérica estendida para a esquerda: $-3$ e $+3$ são números opostos, à mesma distância de $0$ .

Método 46.2 (Comparar números relativos)

Na reta numérica, menor significa mais à esquerda. Na prática:

um número negativo é sempre menor que um positivo: $-7 < 2$ ;
entre dois positivos, vale a ordem de sempre;
entre dois negativos, o de maior distância até o zero é o menor: $-7 < -2$ .

Exemplo 46.3

Ordene do menor para o maior: $3$ ; $-5$ ; $0$ ; $-1.5$ ; $2.8$ . Os negativos primeiro, com o mais negativo na frente:

-5 < -1.5 < 0 < 2.8 < 3 .

46.2 Somar números relativos

Pense num número relativo como um movimento ao longo da reta: $+5$ quer dizer “ande $5$ passos para a direita” e $-3$ quer dizer “ande $3$ passos para a esquerda”. Somar números é encadear as caminhadas.

Método 46.4 (Somar dois números relativos)

Mesmo sinal: some as distâncias e mantenha o sinal comum: $(-3) + (-4) = -7$ .
Sinais opostos: subtraia a distância menor da maior e tome o sinal do maior: $(-7) + (+2) = -5$ e $(+7) + (-2) = +5$ .
Os opostos se cancelam: $(+4) + (-4) = 0$ .

Somar é caminhar: partindo de 0, a caminhada -3.5 seguida da caminhada +2 chega a (-3.5) + 2 = -1.5. — Somar é caminhar: partindo de $0$ , a caminhada $-3.5$ seguida da caminhada $+2$ chega a $(-3.5) + 2 = -1.5$ .

Exemplo 46.5

Passo a passo, agrupando como convém:

\begin{align*} (-8) + (+3) &= -5 && \text{(sinais opostos: } 8 - 3 = 5, \text{ com o sinal do } 8)\\ (-2.5) + (-1.5) &= -4 && \text{(mesmo sinal: some as distâncias)}\\ (+6) + (-9) + (+3) &= (-3) + (+3) = 0 . \end{align*}

46.3 Subtrair números relativos

Teorema 46.6 (Regra da subtração)

Subtrair um número relativo é o mesmo que somar o oposto dele:

a - b = a + (-b) .

Por que funciona. $a - b$ é o número que, somado a $b$ , dá $a$ . Confira que $a + (-b)$ faz o serviço: $\bigl(a + (-b)\bigr) + b = a + \bigl((-b) + b\bigr) = a + 0 = a$ . ∎

Exemplo 46.7

Toda subtração vira uma adição e, depois, aplica-se o Método 46.4:

\begin{align*} 5 - 9 &= 5 + (-9) = -4, \\ (-3) - (+4) &= (-3) + (-4) = -7, \\ (-2) - (-6) &= (-2) + (+6) = +4 . \end{align*}

A última linha é a famosa: subtrair um negativo é somar. Tirar uma dívida deixa você mais rico!

Exemplo 46.8 (Diferenças de temperatura)

Num dia, a temperatura passou de $-6$ graus para $+9$ graus. A subida é a diferença

9 - (-6) = 9 + 6 = 15 \text{ graus}.

Na reta numérica: de $-6$ até $0$ são $6$ graus, e de $0$ até $9$ são mais $9$ .

46.4 Coordenadas no plano inteiro

Definição 46.9 (Coordenadas com sinal)

Com dois eixos graduados perpendiculares que se cruzam na origem $O$ , todo ponto do plano ganha duas coordenadas relativas $(x, y)$ : $x$ negativo quer dizer à esquerda do eixo vertical, e $y$ negativo quer dizer abaixo do eixo horizontal.

Um ponto em cada quarto do plano. Leia sempre primeiro a coordenada horizontal.

46.5 Exercícios

Exercício 46.1 ★

Dê o oposto de: $7$ ; $-3.5$ ; $0$ ; $+12$ . Depois complete: “dois números são opostos quando a soma deles é ?”.

Solução

Solução de Exercício 46.1.

Opostos: $-7$ ; $+3.5$ ; $0$ (oposto de si mesmo); $-12$ . Dois números são opostos quando a soma deles é $0$ .

Exercício 46.2 ★

Copie e complete com $<$ ou $>$ :

-4 \;?\; 1, \qquad -4 \;?\; -7, \qquad -2.5 \;?\; -2.4, \qquad 0 \;?\; -0.1 .

Solução

Solução de Exercício 46.2.

$-4 < 1$ ; $-4 > -7$ ; $-2.5 < -2.4$ ; $0 > -0.1$ .

Exercício 46.3 ★

Ordene do menor para o maior: $-3$ ; $2.5$ ; $-0.5$ ; $-3.1$ ; $0$ ; $1$ .

Solução

Solução de Exercício 46.3.

$-3.1 < -3 < -0.5 < 0 < 1 < 2.5$ .

Exercício 46.4 ★

Calcule:

(-5) + (-9), \qquad (-12) + (+7), \qquad (+3.5) + (-1.5), \qquad (-6) + (+6).

Solução

Solução de Exercício 46.4.

$(-5) + (-9) = -14$ ; $(-12) + (+7) = -5$ ; $(+3.5) + (-1.5) = +2$ ; $(-6) + (+6) = 0$ .

Exercício 46.5 ★

Transforme em adições e depois calcule:

4 - 11, \qquad (-5) - (+3), \qquad (-7) - (-10), \qquad 0 - (-8).

Solução

Solução de Exercício 46.5.

$4 - 11 = 4 + (-11) = -7$ .

$(-5) - (+3) = (-5) + (-3) = -8$ .

$(-7) - (-10) = (-7) + (+10) = +3$ .

$0 - (-8) = 0 + (+8) = +8$ .

Exercício 46.6 ★

Calcule agrupando com esperteza (os opostos primeiro):

(+7) + (-12) + (+3) + (-8), \qquad (-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1).

Solução

Solução de Exercício 46.6.

$(+7) + (-12) + (+3) + (-8) = (+10) + (-20) = -10$ (os positivos juntos, os negativos juntos).

$(-5.5) + (+9) + (-4.5) + (+1) = (-10) + (+10) = 0$ .

Exercício 46.7 ★

A temperatura era de $-3$ graus de manhã; subiu $8$ graus durante o dia e depois caiu $12$ graus à noite. Escreva um único cálculo que dê a temperatura final e calcule-o.

Solução

Solução de Exercício 46.7.

$(-3) + 8 - 12 = 5 - 12 = -7$ : são $-7$ graus à noite.

Exercício 46.8 ★

Marque num sistema de coordenadas: $A(2, 3)$ ; $B(-3, 1)$ ; $C(-2, -2)$ ; $D(3, -1)$ ; $E(0, -3)$ . Que ponto está sobre um eixo?

Solução

Solução de Exercício 46.8.

Marcação livre; $E(0, -3)$ está sobre o eixo vertical (a primeira coordenada dele é $0$ ).

Exercício 46.9 ★★

Calcule a diferença entre a temperatura máxima e a mínima: Moscou em janeiro, máxima $-4$ graus, mínima $-13$ graus; Helsinque, máxima $2$ , mínima $-9$ .

Solução

Solução de Exercício 46.9.

Moscou: $(-4) - (-13) = -4 + 13 = 9$ graus de diferença. Helsinque: $2 - (-9) = 11$ graus.

Exercício 46.10 ★★

Uma mergulhadora está na altitude $-12$ m (doze metros abaixo da superfície). Ela sobe $7$ m e depois desce $4$ m. Em que altitude ela está? Quanto ainda precisa subir para chegar à superfície?

Solução

Solução de Exercício 46.10.

$(-12) + 7 - 4 = -5 - 4 = -9$ : ela está em $-9$ m. Para chegar à superfície (altitude $0$ ), precisa subir $0 - (-9) = 9$ m.

Exercício 46.11 ★★

Marque $A(-2, 1)$ , $B(2, 1)$ , $C(2, -2)$ . Encontre as coordenadas do ponto $D$ para que $ABCD$ seja um retângulo e calcule o perímetro dele (conte os quadradinhos da malha para os comprimentos dos lados).

Solução

Solução de Exercício 46.11.

$D(-2, -2)$ : a mesma primeira coordenada de $A$ e a mesma segunda coordenada de $C$ . Lados: $AB = 4$ (de $-2$ a $2$ ) e $BC = 3$ (de $1$ até $-2$ ), então o perímetro é $2 \times (4 + 3) = 14$ .

Exercício 46.12 ★★★

No quadrado mágico abaixo, toda linha, coluna e diagonal tem de ter a mesma soma. Copie e complete:

$?$	$-7$	$0$
$-3$	$-2$	$?$
$-4$	$?$	$?$

(Comece descobrindo a soma mágica pela diagonal que está quase completa.)

Solução

Solução de Exercício 46.12.

A diagonal completa $0, -2, -4$ dá a soma mágica $0 + (-2) + (-4) = -6$ . Depois, casa por casa: canto superior esquerdo $= -6 - (-7) - 0 = 1$ ; centro à direita $= -6 - (-3) - (-2) = -1$ ; canto inferior direito $= -6 - 0 - (-1) = -5$ ; centro de baixo $= -6 - (-7) - (-2) = 3$ .

$1$	$-7$	$0$
$-3$	$-2$	$-1$
$-4$	$3$	$-5$

Toda linha, coluna e diagonal soma $-6$ .

46.6 Problema: o ano zero que nunca existiu

Problema 46.1

Problema de fim de semana — números relativos na linha do tempo da história: durações que atravessam a fronteira das eras, o truque dos astrônomos e o princípio da variação total

A reta numérica deste capítulo tem uma gêmea famosa no mundo real: a linha do tempo da história, com os anos a.C. se estendendo para a esquerda e os anos d.C. para a direita. Mas a linha dos historiadores esconde uma armadilha que já estragou muita conta: não existe ano zero — o ano 1 a.C. é seguido imediatamente pelo ano 1 d.C. Este problema calcula com temperaturas, elevadores e contas bancárias e depois conserta o zero quebrado da história do jeito que os astrônomos fazem: com números relativos.

Parte I — Aquecimento e uma primeira armadilha.

O cume do Monte Branco está na altitude $+4\,808$ m; a margem do mar Morto, em $-430$ m. Calcule a diferença de altitude entre os dois.
Uma conta bancária tem $-45$ reais (está no vermelho). O dono deposita $120$ reais, paga uma conta de $60$ reais e depois deposita $15$ reais. Escreva o saldo como uma única cadeia de adições e calcule-o. Que depósito único teria levado os $-45$ iniciais exatamente a $0$ ?
Júlio César nasceu em $100$ a.C. e morreu em $44$ a.C. Contando os anos a.C. como números negativos ( $100$ a.C. como $-100$ e $44$ a.C. como $-44$ ), calcule $(-44) - (-100)$ : quantos anos César viveu?
O imperador Augusto nasceu em $63$ a.C. e morreu em $14$ d.C. A mesma receita dá $14 - (-63) = 77$ anos — mas os historiadores insistem que ele morreu aos $76$ . A objeção deles: a contagem $77$ passa por um ano que nunca existiu. Qual?
Os astrônomos consertam a linha do tempo renomeando: os anos d.C. mantêm o número ( $+14$ continua $+14$ ), mas $1$ a.C. vira $0$ , $2$ a.C. vira $-1$ e, em geral, o ano $n$ a.C. vira $-(n - 1)$ . Converta $63$ a.C. e refaça a conta da questão 4 com os números dos astrônomos. Agora a resposta satisfaz os historiadores?

Parte II — Calcular atravessando as eras. De agora em diante, use a renomeação dos astrônomos em todas as contas, convertendo de volta para a.C./d.C. no fim (um ano rotulado $0$ ou negativo $-m$ é o ano $m + 1$ a.C. dos historiadores).

Converta para números de astrônomo: $1$ a.C.; $10$ a.C.; $476$ d.C.; e $753$ a.C., a fundação lendária de Roma.
Quantos anos se passaram da fundação de Roma ( $753$ a.C.) até a queda do Império do Ocidente ( $476$ d.C.)?
Um cometa volta a cada $76$ anos e apareceu em $12$ a.C. Dê os anos dos historiadores para as três aparições seguintes e para a aparição imediatamente anterior a $12$ a.C.
Quantos anos se passaram de $5$ a.C. até $5$ d.C.? (A resposta tentadora é $10$ ; a linha do tempo diz outra coisa.)
Uma criança nascida em $3$ a.C. completou dez anos em que ano (a.C. ou d.C.)?

Parte III — O princípio da variação total.

A distância entre dois números na reta é o maior menos o menor — sempre positiva. Calcule a distância entre $-7$ e $-2$ e depois entre $-3.5$ e $4.5$ .
Um elevador parte do andar $0$ e faz os movimentos $+3$ , $-5$ , $+2$ , $-1$ , $+4$ . Calcule o andar final agrupando com esperteza (Método 46.4, os opostos primeiro sempre que possível). Fazer os movimentos noutra ordem mudaria o destino? Por quê?
Dia a dia, a temperatura varia $+2$ , $-4$ , $+1$ , $0$ , $-3$ , $+5$ , $-2$ graus ao longo de uma semana. Calcule a variação total. Se a semana começou a $-2$ graus, em quanto ela terminou? Enuncie o princípio: valor final $=$ valor inicial $+$ (soma de todas as variações).
A caminhada de uma montanhista a traz de volta exatamente à altitude de partida. Quanto tem de valer a soma de todas as variações de altitude dela, e por quê? Das seis variações registradas, cinco são $+4$ , $-7$ , $+2$ , $+3$ , $-5$ (em centenas de metros): encontre a sexta.
Final, de volta a Roma. Um historiador calcula: “a República durou de $509$ a.C. a $27$ a.C., e depois o Império até $476$ d.C.; ao todo, de $509$ a.C. a $476$ d.C., ou seja, $509 + 476 = 985$ anos de Estado romano”. Refaça a conta com os números dos astrônomos. Qual é o total correto — e que ano, mais uma vez, causou o erro?

Solução

Solução de Problema 46.1.

1. $4\,808 - (-430) = 4\,808 + 430 = 5\,238$ m (Teorema 46.6: subtrair um negativo é somar).

2. Saldo:

(-45) + 120 + (-60) + 15 = 75 + (-60) + 15 = 15 + 15 = 30 \text{ reais}.

Para levar os $-45$ iniciais a $0$ , bastava depositar o oposto deles: $45$ reais.

3. $(-44) - (-100) = (-44) + 100 = 56$ : César viveu $56$ anos. (Sem armadilha aqui: os dois anos estão do mesmo lado da fronteira das eras.)

4. O ano $0$ : contar de $-63$ até $+14$ passa por $0$ , mas o calendário dos historiadores salta direto de $1$ a.C. para $1$ d.C. — o ano $0$ nunca existiu, então a contagem ingênua é um ano longa demais.

5. $63$ a.C. vira $-(63 - 1) = -62$ . Então $14 - (-62) = 14 + 62 = 76$ anos: exatamente o número dos historiadores. Na reta renomeada dos astrônomos não há buracos, então a subtração comum dá durações verdadeiras.

6. $1$ a.C. $\to 0$ ; $10$ a.C. $\to -9$ ; $476$ d.C. $\to +476$ ; $753$ a.C. $\to -752$ .

7. $476 - (-752) = 476 + 752 = 1\,228$ anos.

8. $12$ a.C. é $-11$ . Aparições seguintes: $-11 + 76 = 65$ , depois $141$ , depois $217$ : os anos $65$ d.C., $141$ d.C. e $217$ d.C. Antes: $-11 - 76 = -87$ , que é o ano $87 + 1 = 88$ a.C. dos historiadores.

9. $5$ a.C. é $-4$ , então $5 - (-4) = 9$ anos — e não $10$ . O ano zero que falta ataca sempre que uma duração atravessa a fronteira das eras.

10. $3$ a.C. é $-2$ ; dez anos depois é $-2 + 10 = +8$ : a criança completou dez anos em $8$ d.C.

11. Entre $-7$ e $-2$ : $(-2) - (-7) = 5$ . Entre $-3.5$ e $4.5$ : $4.5 - (-3.5) = 8$ .

12. Agrupando opostos e amigos:

3 + (-5) + 2 + (-1) + 4 = \bigl(3 + 2\bigr) + (-5) + (-1) + 4 = 0 + (-1) + 4 = +3 :

o elevador termina no andar $3$ . A ordem não importa: uma soma de números relativos pode ser reorganizada à vontade (cada movimento é percorrido sobre a mesma reta, e a caminhada total é a mesma).

13. Variação total: $2 + (-4) + 1 + 0 + (-3) + 5 + (-2) = -1$ grau. Partindo de $-2$ : temperatura final $-2 + (-1) = -3$ graus. Em geral, o valor final é o valor inicial mais a soma de todas as variações — não é preciso acompanhar as subidas e descidas uma a uma.

14. Voltar ao ponto de partida significa variação total $0$ : as subidas e descidas têm de se cancelar exatamente. As cinco variações conhecidas somam $4 + (-7) + 2 + 3 + (-5) = -3$ , então a sexta variação é a oposta: $+3$ (trezentos metros de subida).

15. Pelos astrônomos: $509$ a.C. $\to -508$ , e $476 - (-508) = 984$ anos. Os $509 + 476 = 985$ do historiador contam um ano a mais — mais uma vez o ano zero fantasma, incluído em silêncio na adição, mas ausente da história. (Como conferência, as duas eras: República de $-508$ a $-26$ , $482$ anos; Império de $-26$ a $+476$ , $502$ anos; $482 + 502 = 984$ .)