Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

27Simetria

Borboletas, rostos, flocos de neve: a natureza adora figuras cujas duas metades coincidem quando dobradas. Este capítulo explora a simetria com dobras e papel quadriculado — as construções com o esquadro esperam o Capítulo 42.

27.1 Dobrar e sobrepor

Definição 27.1 (Eixo de simetria)

Uma reta é um eixo de simetria de uma figura quando, dobrando a figura ao longo dessa reta, as duas metades coincidem exatamente. Uma figura pode não ter eixo nenhum, ter um eixo, ou ter vários.

Dobre pela linha tracejada: as metades coincidem. No último triângulo, nenhuma dobra funciona — ele não tem eixo de simetria.

Exemplo 27.2 (Testar com papel vegetal)

Decalque a figura, vire o papel vegetal ao longo do eixo candidato e recoloque-o: se o decalque cobrir a figura exatamente, o eixo é verdadeiro. Os olhos sozinhos se enganam com frequência — a diagonal de um retângulo parece um eixo, mas o teste da dobra diz que não (experimente!).

27.2 Completar figuras na malha

Método 27.3 (Simétrico de uma figura em relação a uma linha da malha)

O eixo é uma linha vertical (ou horizontal) da malha.

Tome cada vértice da figura, um de cada vez;
conte a distância dele até o eixo, em quadradinhos;
ponha o vértice imagem à mesma distância do outro lado, na mesma linha (ou coluna);
ligue os vértices imagem na mesma ordem e confira: a imagem é a gêmea espelhada da figura.

Completando em relação ao eixo vermelho: cada vértice salta para a mesma distância do outro lado. Vértices que tocam o eixo ficariam parados.

Exemplo 27.4 (Mesma forma, mesmo tamanho, invertida)

A imagem tem exatamente os mesmos comprimentos e os mesmos ângulos que o original: a simetria copia a figura — mas a vira do avesso, como uma mão esquerda e uma mão direita. Se a letra original é F, a imagem espelhada é um F ao contrário, e não outro F.

27.3 Eixos das formas usuais

Exemplo 27.5 (Contar eixos)

Dobrando:

um quadrado: $4$ eixos (dois pelos meios dos lados opostos, dois pelas diagonais);
um retângulo: $2$ eixos (só pelos meios dos lados opostos!);
um triângulo isósceles: $1$ ; um triângulo equilátero: $3$ ;
um círculo: toda reta que passa pelo centro — mais eixos do que se consegue contar.

Exemplo 27.6 (Simetria no alfabeto)

A, M, T, U, V têm eixo vertical; B, C, D, E têm eixo horizontal; H, I, O, X têm os dois. Palavras feitas das letras certas também podem ser simétricas: OVO tem eixo vertical; OXO funciona nos dois sentidos.

27.4 Exercícios

Exercício 27.1 ★

Decalque e dobre: quais destas têm eixo de simetria — um quadrado; um retângulo (não quadrado); um triângulo escaleno (todos os lados diferentes); um círculo?

Solução

Solução de Exercício 27.1.

Quadrado: sim ( $4$ eixos). Retângulo: sim ( $2$ ). Triângulo escaleno: nenhuma dobra funciona. Círculo: sim — qualquer reta que passe pelo centro.

Exercício 27.2 ★

Trace os eixos de simetria de: um quadrado; um retângulo; um triângulo equilátero. Quantos para cada um?

Solução

Solução de Exercício 27.2.

Quadrado: $4$ (duas linhas médias e duas diagonais). Retângulo: $2$ (só as linhas médias). Triângulo equilátero: $3$ (uma por cada vértice).

Exercício 27.3 ★

Use o teste do papel vegetal do Exemplo 27.2 para mostrar que a diagonal de um retângulo $6 \times 4$ não é um eixo de simetria.

Solução

Solução de Exercício 27.3.

Dobrando pela diagonal, as duas metades triangulares têm a mesma forma, mas não caem uma sobre a outra — uma delas está “virada ao contrário”: o decalque cai ao lado da figura, e não sobre ela. Logo a diagonal não é um eixo.

Exercício 27.4 ★

No papel quadriculado, trace um eixo vertical e a letra L (três quadradinhos de altura, dois de largura) a $2$ quadradinhos do eixo. Construa a imagem espelhada dela.

Solução

Solução de Exercício 27.4.

O L imagem fica a $2$ quadradinhos do outro lado do eixo, escrito ao contrário (um L espelhado), com os mesmos tamanhos.

Exercício 27.5 ★

No papel quadriculado, trace um eixo horizontal e uma bandeirinha (um triângulo $1 \times 1$ num mastro de $3$ quadradinhos) acima dele. Complete a figura por simetria abaixo do eixo.

Solução

Solução de Exercício 27.5.

A figura completa mostra a bandeirinha e o reflexo dela de cabeça para baixo abaixo do eixo, mastro debaixo de mastro.

Exercício 27.6 ★

Uma figura toca o seu eixo de simetria num ponto $P$ . Onde fica a imagem de $P$ ? Explique com o desenho da dobra.

Solução

Solução de Exercício 27.6.

$P$ não se mexe: dobrar pelo eixo deixa todo ponto que está sobre o eixo exatamente onde estava — $P$ é a imagem de si mesmo.

Exercício 27.7 ★

Classifique as letras maiúsculas A, B, E, F, H, N, O, T: eixo vertical? eixo horizontal? os dois? nenhum?

Solução

Solução de Exercício 27.7.

Eixo vertical: A, H, O, T. Eixo horizontal: B, E, H, O. Os dois: H, O. Nenhum: F, N.

Exercício 27.8 ★

Um triângulo tem lados de $5$ cm, $5$ cm e $3$ cm. Ele tem eixo de simetria? Quais lados a dobra troca de lugar?

Solução

Solução de Exercício 27.8.

Sim: o triângulo é isósceles, e o eixo dele passa pela ponta entre os dois lados de $5$ cm e pelo meio da base de $3$ cm. A dobra troca os dois lados iguais.

Exercício 27.9 ★★

No papel quadriculado, desenhe uma figura sua que tenha exatamente dois eixos de simetria, e trace os dois eixos. (Dica: pense num retângulo, ou numa cruz.)

Solução

Solução de Exercício 27.9.

Serve qualquer figura com exatamente dois eixos: um retângulo (não quadrado), um sinal de mais com braços de dois comprimentos diferentes (horizontal longo, vertical curto), uma elipse. Os dois eixos sempre se cruzam no centro da figura.

Exercício 27.10 ★★

É dada a metade de um desenho simétrico: a metade esquerda de uma casa (uma parede quadrada e meio telhado triangular), com um eixo vertical ao longo da borda direita dela. Descreva ou desenhe a casa completa. Como os comprimentos da metade direita completada se comparam aos da metade esquerda?

Solução

Solução de Exercício 27.10.

A casa completa é a metade esquerda mais a gêmea espelhada dela: uma parede com o dobro da largura da meia parede, sob um telhado triangular inteiro. Cada comprimento da direita é igual ao seu par da esquerda — a simetria copia comprimentos exatamente.

Exercício 27.11 ★★

Aya afirma: “todo triângulo com dois lados iguais tem eixo de simetria, e todo triângulo com eixo de simetria tem dois lados iguais.” Teste a dupla afirmação dela em desenhos: um triângulo isósceles, um equilátero e um escaleno. A dobra dá razão a ela?

Solução

Solução de Exercício 27.11.

Os desenhos dão razão nos dois sentidos: o triângulo isósceles dobra pela reta que passa pela ponta (dois lados iguais $\to$ eixo); o equilátero dobra de três maneiras; o escaleno não tem eixo (nenhum lado igual $\to$ nenhum eixo). A dupla afirmação de Aya está certa — ela será demonstrada no Capítulo 42.