Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

16Multiplicação

Três saquinhos de sete bolinhas: dava para somar $7 + 7 + 7$ , mas há um jeito mais rápido — a multiplicação, a operação da adição repetida. Este capítulo constrói as tabuadas a partir de desenhos e depois ensina a conta armada.

16.1 O que significa multiplicar

Definição 16.1 (Multiplicação)

O produto $3 \times 7$ quer dizer “três vezes sete”:

3 \times 7 = 7 + 7 + 7 = 21 .

No desenho, $3 \times 7$ é um retângulo de pontos: $3$ fileiras de $7$ pontos.

Os mesmos 21 pontos, contados por fileiras ou por colunas: a ordem de um produto não importa. Saber 3 × 7 dá 7 × 3 de graça — metade das tabuadas a menos para decorar! — Os mesmos $21$ pontos, contados por fileiras ou por colunas: a ordem de um produto não importa. Saber $3 \times 7$ dá $7 \times 3$ de graça — metade das tabuadas a menos para decorar!

Proposição 16.2 (Regras que ajudam)

A ordem não importa: $a \times b = b \times a$ .
Multiplicar por $1$ não muda nada; multiplicar por $0$ dá $0$ .
Multiplicar por $10$ acrescenta um zero: $34 \times 10 = 340$ ; por $100$ , dois zeros.
Uma tabuada pode ser reconstruída a partir das vizinhas: $6 \times 8 = 5 \times 8 + 8 = 40 + 8 = 48$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 16.3 (O quadro das tabuadas)

Todas as tabuadas cabem num quadro só. Para ler $6 \times 7$ : fileira $6$ , coluna $7$ .

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

O quadro é simétrico em relação à sua diagonal — é a regra 1 posta diante dos olhos.

16.2 Multiplicação armada

Método 16.4 (Multiplicar por um número de um algarismo)

Para calcular $234 \times 6$ :

multiplique as unidades: $4 \times 6 = 24$ : escreva $4$ , vai $2$ ;
multiplique as dezenas e some o vai-um: $3 \times 6 + 2 = 20$ : escreva $0$ , vai $2$ ;
multiplique as centenas e some o vai-um: $2 \times 6 + 2 = 14$ : escreva $14$ .

\begin{array}{r} 2\,3\,4 \\ \times \quad 6 \\ \hline 1\,4\,0\,4 \end{array}

Estime para conferir: $234$ está perto de $200$ , e $200 \times 6 = 1\,200$ : a resposta $1\,404$ é plausível.

Exemplo 16.5 (Decompor para multiplicar de cabeça)

A conta armada decompõe o número por casas, sem dizer. De cabeça, faça o mesmo:

23 \times 4 = (20 + 3) \times 4 = 20 \times 4 + 3 \times 4 = 80 + 12 = 92 .

E com um vizinho amigável: $99 \times 5 = 100 \times 5 - 5 = 495$ .

Por que decompor funciona: um retângulo 23 × 4 de quadradinhos é uma parte 20 × 4 mais uma parte 3 × 4 — 80 + 12 = 92 quadradinhos. — Por que decompor funciona: um retângulo $23 \times 4$ de quadradinhos é uma parte $20 \times 4$ mais uma parte $3 \times 4$ — $80 + 12 = 92$ quadradinhos.

16.3 A multiplicação em problemas

Exemplo 16.6

Uma van leva $9$ passageiros. Quantos passageiros $27$ vans podem levar?

É uma multiplicação: $27$ grupos de $9$ .
$27 \times 9 = 243$ (armando a conta, ou $27 \times 9 = 27 \times 10 - 27 = 270 - 27$ ).
Frase: as vans podem levar $243$ passageiros.

16.4 Exercícios

Exercício 16.1 ★

Escreva como multiplicação e depois calcule: $8 + 8 + 8 + 8$ ; $5 + 5 + 5$ ; $20 + 20 + 20 + 20 + 20$ .

Solução

Solução de Exercício 16.1.

$8 + 8 + 8 + 8 = 4 \times 8 = 32$ ; $5 + 5 + 5 = 3 \times 5 = 15$ ; $20 \times 5 = 100$ .

Exercício 16.2 ★

Recite e complete: $6 \times 7$ ; $8 \times 4$ ; $9 \times 9$ ; $7 \times 8$ ; $6 \times 6$ .

Solução

Solução de Exercício 16.2.

$42$ ; $32$ ; $81$ ; $56$ ; $36$ .

Exercício 16.3 ★

Desenhe um retângulo de pontos para $4 \times 6$ e depois um para $6 \times 4$ . O que você percebe nas duas contagens?

Solução

Solução de Exercício 16.3.

Os dois retângulos contêm os mesmos $24$ pontos — um é o outro girado de lado: $4 \times 6 = 6 \times 4$ .

Exercício 16.4 ★

Calcule usando as regras da Proposição 16.2: $56 \times 10$ ; $8 \times 100$ ; $73 \times 0$ ; $45 \times 1$ ; $30 \times 10$ .

Solução

Solução de Exercício 16.4.

$560$ ; $800$ ; $0$ ; $45$ ; $300$ .

Exercício 16.5 ★

Arme a conta e calcule: $132 \times 3$ ; $217 \times 4$ ; $408 \times 7$ .

Solução

Solução de Exercício 16.5.

$132 \times 3 = 396$ ; $217 \times 4 = 868$ ; $408 \times 7 = 2\,856$ .

Exercício 16.6 ★

Calcule de cabeça decompondo (como no Exemplo 16.5): $31 \times 5$ ; $42 \times 3$ ; $25 \times 6$ .

Solução

Solução de Exercício 16.6.

$31 \times 5 = 30 \times 5 + 5 = 155$ ; $42 \times 3 = 120 + 6 = 126$ ; $25 \times 6 = 20 \times 6 + 5 \times 6 = 120 + 30 = 150$ .

Exercício 16.7 ★

Calcule usando um vizinho amigável: $99 \times 7$ ; $101 \times 6$ ; $98 \times 5$ .

Solução

Solução de Exercício 16.7.

$99 \times 7 = 700 - 7 = 693$ ; $101 \times 6 = 600 + 6 = 606$ ; $98 \times 5 = 500 - 10 = 490$ .

Exercício 16.8 ★

Estime primeiro e depois calcule: $389 \times 5$ (estime com $400$ ); $612 \times 8$ (estime com $600$ ).

Solução

Solução de Exercício 16.8.

$389 \times 5$ : estimativa $400 \times 5 = 2\,000$ ; exatamente $1\,945$ .

$612 \times 8$ : estimativa $600 \times 8 = 4\,800$ ; exatamente $4\,896$ .

Exercício 16.9 ★

Uma caixa de ovos leva $6$ ovos. Quantos ovos há em $38$ caixas? Escreva a operação, calcule e responda com uma frase.

Solução

Solução de Exercício 16.9.

$38 \times 6 = 228$ . Há $228$ ovos nas caixas.

Exercício 16.10 ★★

Uma sala de aula tem $8$ fileiras de $4$ carteiras; em cada carteira sentam $2$ alunos. Quantos alunos a sala comporta? (Duas multiplicações.)

Solução

Solução de Exercício 16.10.

Carteiras: $8 \times 4 = 32$ . Alunos: $32 \times 2 = 64$ . A sala comporta $64$ alunos.

Exercício 16.11 ★★

Encontre todas as maneiras de arrumar $24$ cadeiras em fileiras iguais (fileiras de $1$ , de $2$ , …). Quais arrumações são possíveis? (Use o quadro das tabuadas: procure o $24$ dentro dele.)

Solução

Solução de Exercício 16.11.

O $24$ aparece no quadro das tabuadas como $1 \times 24$ , $2 \times 12$ , $3 \times 8$ , $4 \times 6$ — e os mesmos pares invertidos. Arrumações possíveis: $1$ fileira de $24$ , $2$ fileiras de $12$ , $3$ fileiras de $8$ , $4$ fileiras de $6$ , $6$ fileiras de $4$ , $8$ fileiras de $3$ , $12$ fileiras de $2$ , $24$ fileiras de $1$ .

Exercício 16.12 ★★

Zoe calcula $47 \times 6$ assim: $40 \times 6 = 240$ , $7 \times 6 = 42$ , e então $240 + 42 = 282$ . Lia calcula $47 \times 6 = 50 \times 6 - 3 \times 6 = 300 - 18 = 282$ . Explique cada método. Qual você prefere para $38 \times 4$ ? Calcule das duas maneiras.

Solução

Solução de Exercício 16.12.

Zoe decompõe $47$ em $40 + 7$ (a conta armada feita de cabeça); Lia troca $47$ pelo amigável $50$ e corrige tirando o $3 \times 6$ que contou a mais. Para $38 \times 4$ : pelo jeito da Zoe, $120 + 32 = 152$ ; pelo jeito da Lia, $40 \times 4 - 2 \times 4 = 160 - 8 = 152$ . Os dois funcionam — o da Lia é mais rápido aqui, porque $38$ está perto de $40$ .

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81