Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

41Triângulos e quadriláteros

Triângulos e quadriláteros são as formas básicas da geometria. O objetivo deste capítulo é conhecer as famílias especiais deles — isósceles, equiláteros, retângulos; retângulos, losangos, quadrados — pelas suas propriedades definidoras, e construí-los com precisão com régua e compasso.

41.1 Triângulos

Definição 41.1 (Triângulos especiais)

Um triângulo $ABC$ tem três vértices e três lados. Ele é:

isósceles em $A$ quando $AB = AC$ (dois lados iguais);
equilátero quando $AB = BC = CA$ (três lados iguais);
retângulo em $A$ quando o ângulo $\widehat{BAC}$ é reto. O lado $[BC]$ , oposto ao ângulo reto, chama-se hipotenusa.

Os três triângulos especiais. Os tracinhos indicam lados iguais; o quadradinho marca o ângulo reto.

Método 41.2 (Construir um triângulo a partir dos três lados)

Para construir $ABC$ com $AB = 5$ cm, $AC = 4$ cm, $BC = 3$ cm:

trace o segmento $[AB]$ de $5$ cm com a régua;
trace um arco do círculo de centro $A$ e raio $4$ cm (todos os pontos a $4$ cm de $A$ );
trace um arco do círculo de centro $B$ e raio $3$ cm;
o ponto $C$ é onde os dois arcos se cruzam; ligue-o a $A$ e a $B$ .

Construção de um triângulo com o compasso: o vértice C é o ponto de cruzamento de dois arcos. (No você vai ver quando essa construção é possível.) — Construção de um triângulo com o compasso: o vértice $C$ é o ponto de cruzamento de dois arcos. (No Capítulo 51 você vai ver quando essa construção é possível.)

41.2 Quadriláteros

Definição 41.3 (Quadriláteros especiais)

Um quadrilátero tem quatro vértices e quatro lados. Ele é um:

retângulo quando os quatro ângulos dele são retos;
losango quando os quatro lados dele têm o mesmo comprimento;
quadrado quando é as duas coisas: quatro ângulos retos e quatro lados iguais.

Proposição 41.4 (Propriedades das diagonais)

Nesses quadriláteros, as duas diagonais se cortam no ponto médio comum delas e, além disso:

num retângulo, as diagonais têm o mesmo comprimento;
num losango, as diagonais são perpendiculares;
num quadrado, as duas coisas ao mesmo tempo.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Os três quadriláteros especiais com as suas diagonais (em vermelho). O quadrado herda as propriedades do retângulo e do losango.

Observação 41.5

Um quadrado é automaticamente um retângulo (tem quatro ângulos retos) e automaticamente um losango (quatro lados iguais). Então “retângulo” não quer dizer “que não é quadrado”! Em matemática, a forma mais especial pertence à família mais geral.

Exemplo 41.6 (Reconhecer uma forma pelas propriedades)

Um quadrilátero tem quatro lados de comprimento $4$ cm e um ângulo reto. O que é ele? Quatro lados iguais fazem dele um losango. Num losango, os ângulos opostos são iguais e os quatro ângulos somam $360^\circ$ ; um ângulo reto obriga então os quatro a serem retos (isso será demonstrado com os paralelogramos no Capítulo 52). Logo a forma é um quadrado.

Método 41.7 (Programas de construção)

Um programa de construção é uma lista de instruções que qualquer pessoa pode seguir para reproduzir uma figura exatamente. Escreva uma instrução por linha, dê nome a cada ponto no momento em que ele é criado, e use apenas: “trace o segmento / a reta / o círculo…”, “marque o ponto onde … se cruzam”. Teste o seu programa seguindo-o ao pé da letra, palavra por palavra.

Exemplo 41.8

Programa para um quadrado $ABCD$ de lado $4$ cm:

Trace um segmento $[AB]$ com $AB = 4$ cm.
Trace a perpendicular a $(AB)$ em $A$ ; sobre ela, marque $D$ a $4$ cm de $A$ (escolha um lado da reta e mantenha-o).
Trace a perpendicular a $(AB)$ em $B$ ; sobre ela, marque $C$ a $4$ cm de $B$ , do mesmo lado que $D$ .
Ligue $C$ e $D$ .

Confira com a régua: $DC$ também deve medir $4$ cm.

41.3 Exercícios

Exercício 41.1 ★

Construa um triângulo $ABC$ com $AB = 6$ cm, $AC = 5$ cm e $BC = 4$ cm, seguindo o Método 41.2.

Solução

Solução de Exercício 41.1.

Siga o método: segmento $[AB]$ de $6$ cm, arco de raio $5$ cm com centro em $A$ , arco de raio $4$ cm com centro em $B$ ; o ponto de cruzamento é $C$ .

Exercício 41.2 ★

Construa um triângulo isósceles $DEF$ com $DE = DF = 5$ cm e $EF = 3$ cm. Que dois ângulos desse triângulo parecem iguais? Meça-os para conferir.

Solução

Solução de Exercício 41.2.

Base $[EF]$ de $3$ cm e depois dois arcos de raio $5$ cm com centros em $E$ e em $F$ ; o cruzamento deles é $D$ . Os dois ângulos da base, $\widehat{DEF}$ e $\widehat{DFE}$ , são iguais (cerca de $72.5^\circ$ cada um) — é a simetria do triângulo isósceles (Exemplo 42.8).

Exercício 41.3 ★

Construa um triângulo equilátero de lado $4$ cm usando apenas régua e compasso. Meça um dos ângulos dele.

Solução

Solução de Exercício 41.3.

Segmento de $4$ cm e depois dois arcos de raio $4$ cm com centros nas pontas dele. Todos os ângulos medem $60^\circ$ .

Exercício 41.4 ★

Classifique cada triângulo a partir dos dados (isósceles, equilátero, retângulo — várias respostas podem valer): (a) lados $7$ , $7$ , $7$ ; (b) lados $5$ , $5$ , $8$ ; (c) ângulos $90^\circ$ , $45^\circ$ , $45^\circ$ ; (d) ângulos $60^\circ$ , $60^\circ$ , $60^\circ$ .

Solução

Solução de Exercício 41.4.

(a) equilátero (portanto também isósceles). (b) isósceles ( $5 = 5$ ). (c) retângulo e isósceles (dois ângulos iguais de $45^\circ$ ficam opostos a dois lados iguais). (d) equilátero (três ângulos iguais).

Exercício 41.5 ★

Num triângulo retângulo, qual lado é a hipotenusa? Trace um triângulo $MNP$ retângulo em $N$ e nomeie a hipotenusa dele. Que vértice a hipotenusa nunca toca?

Solução

Solução de Exercício 41.5.

A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, sempre o lado mais longo. Em $MNP$ retângulo em $N$ , a hipotenusa é $[MP]$ : ela nunca toca o vértice do ângulo reto, $N$ .

Exercício 41.6 ★

Verdadeiro ou falso? Justifique cada resposta em uma frase.

Todo quadrado é um retângulo.
Todo retângulo é um quadrado.
Todo quadrado é um losango.
Um losango com um ângulo reto é um quadrado.

Solução

Solução de Exercício 41.6.

1. Verdadeiro: um quadrado tem quatro ângulos retos, que é a definição de retângulo.

2. Falso: um retângulo $5 \times 3$ tem lados desiguais.

3. Verdadeiro: um quadrado tem quatro lados iguais, a definição de losango.

4. Verdadeiro: veja o Exemplo 41.6.

Exercício 41.7 ★

Construa um retângulo $ABCD$ com $AB = 5$ cm e $BC = 3$ cm. Meça as duas diagonais dele: o que você observa?

Solução

Solução de Exercício 41.7.

Construção com perpendiculares, como no Exemplo 41.8. As duas diagonais medem cerca de $5.8$ cm: as diagonais de um retângulo têm o mesmo comprimento (Proposição 41.4).

Exercício 41.8 ★

Construa um losango com diagonais de $6$ cm e $4$ cm. (Use a Proposição 41.4: trace antes as duas diagonais — perpendiculares, cruzando-se nos pontos médios — e depois ligue as quatro pontas.)

Solução

Solução de Exercício 41.8.

Trace um segmento de $6$ cm; o ponto médio $O$ dele; a perpendicular em $O$ ; sobre ela, dois pontos a $2$ cm de $O$ , um de cada lado. Ligar as quatro pontas dá o losango (os quatro vértices ficam a distâncias $3$ cm e $2$ cm de $O$ ao longo de retas perpendiculares, então os quatro lados são iguais por simetria).

Exercício 41.9 ★★

Escreva um programa de construção para um triângulo isósceles de base $4$ cm e lados iguais de $6$ cm, no estilo do Exemplo 41.8. Troque com um colega: ele consegue segui-lo sem ver a sua figura?

Solução

Solução de Exercício 41.9.

Um programa correto: 1. trace um segmento $[BC]$ com $BC = 4$ cm; 2. trace o arco de centro $B$ e raio $6$ cm acima de $[BC]$ ; 3. trace o arco de centro $C$ e raio $6$ cm acima de $[BC]$ ; 4. chame de $A$ o ponto de cruzamento dos dois arcos; 5. trace os segmentos $[AB]$ e $[AC]$ .

Exercício 41.10 ★★

Trace um círculo de centro $O$ e um dos diâmetros dele, $[AB]$ . Marque um ponto $M$ qualquer sobre o círculo e trace o triângulo $AMB$ . Meça o ângulo $\widehat{AMB}$ . Mude $M$ de lugar e meça de novo. O que você conjectura? (Esse fato surpreendente é demonstrado no Capítulo 60.)

Solução

Solução de Exercício 41.10.

Qualquer que seja a posição de $M$ sobre o círculo, o ângulo $\widehat{AMB}$ mede $90^\circ$ : o triângulo $AMB$ é retângulo em $M$ sempre que $[AB]$ for um diâmetro. A demonstração espera o Capítulo 60.

Exercício 41.11 ★★

Um quadrilátero tem diagonais de mesmo comprimento que se cortam no ponto médio comum delas. Descubra que forma ele tem de ser, usando a Proposição 41.4: retângulo, losango ou quadrado? (Cuidado: só uma propriedade foi dada.)

Solução

Solução de Exercício 41.11.

Diagonais que se cortam no ponto médio e têm comprimentos iguais: essa é a lista de propriedades do retângulo (Proposição 41.4). Nada obriga as diagonais a serem perpendiculares, então não precisa ser losango nem quadrado — a resposta certa é retângulo (um quadrado também satisfaria, mas não é obrigatório).

Exercício 41.12 ★★★

Numa malha de $4 \times 4$ pontos, quantos quadrados diferentes você consegue traçar com os cantos sobre pontos da malha — contando também os quadrados “inclinados”? Trace ao menos um quadrado inclinado e explique por que os lados dele são iguais.

Solução

Solução de Exercício 41.12.

Com $4 \times 4$ pontos há $3 \times 3$ células de malha. Quadrados alinhados à malha: lados $1$ , $2$ ou $3$ dão $9 + 4 + 1 = 14$ quadrados. Também existem quadrados inclinados: os pequenos, cujos lados são diagonais de células $1 \times 1$ (como $(1,0)$ , $(2,1)$ , $(1,2)$ , $(0,1)$ ) — quatro deles; e os maiores, cujos lados são diagonais de retângulos $2 \times 1$ , como $(1,0)$ , $(3,1)$ , $(2,3)$ , $(0,2)$ — dois deles. Os quatro lados de um quadrado desses são iguais porque são diagonais de retângulos idênticos. Total: $14 + 4 + 2 = 20$ quadrados. (Qualquer contagem com um exemplo inclinado correto e os $14$ alinhados já é um sucesso neste nível.)

41.4 Problema: o que as diagonais sabem

Problema 41.1

Problema de fim de semana — reconstruir cada quadrilátero especial só a partir das diagonais, e contar as diagonais de um polígono qualquer

A Proposição 41.4 lê uma forma e conta o que se passa com as diagonais dela. Este problema joga o jogo ao contrário: dados apenas dois segmentos que se cruzam — as futuras diagonais —, que forma aparece quando ligamos as quatro pontas deles? Você vai montar um “dicionário das diagonais” completo, entender por que a construção do losango do Exercício 41.8 funciona, encontrar uma forma que ainda não tem nome e terminar contando as diagonais de polígonos com bem mais de quatro lados.

Parte I — O dicionário das diagonais. Em cada questão, trace os dois segmentos como descrito, ligue as quatro pontas em ordem e identifique o quadrilátero obtido.

Dois segmentos de $6$ cm cada, perpendiculares, cruzando-se no ponto médio comum. Meça os quatro lados e os quatro ângulos da forma resultante: o que é ela?
Dois segmentos de $8$ cm e $5$ cm, perpendiculares, cruzando-se no ponto médio comum. Que forma aparece (Exercício 41.8)?
Dois segmentos de $7$ cm cada — iguais, mas não perpendiculares — cruzando-se no ponto médio comum. Meça os lados e os ângulos: que forma você conjectura?
Dois segmentos de $8$ cm e $5$ cm, não perpendiculares, cruzando-se no ponto médio comum. A forma obtida não é nenhuma das três da Definição 41.3 — descreva o que você vê (que lados parecem iguais? paralelos?). Esse quadrilátero recebe nome no Capítulo 52.
Resuma as questões 1 a 4 num dicionário de quatro entradas: diagonais iguais / perpendiculares / as duas coisas / nenhuma das duas (sempre cruzando-se nos pontos médios) $\rightarrow$ nome (ou descrição) da forma.

Parte II — Por que as construções funcionam.

Na questão 2, as duas diagonais cortam a forma em quatro triângulos retângulos em torno do ponto de cruzamento. Quais são os dois comprimentos dos catetos de cada um desses triângulos? Explique por que os quatro triângulos são cópias exatas uns dos outros e deduza por que os quatro lados da forma são iguais — o segredo do Exercício 41.8.
Deduza um teste só com o compasso: depois de construir uma forma qualquer a partir das diagonais, como conferir apenas com o compasso (sem medir com régua) que os quatro lados são iguais?
Escreva um programa de construção (Método 41.7) para um quadrado cujas diagonais meçam $6$ cm — e não os lados.
No quadrado da questão 8, o lado é maior ou menor que $3$ cm — a metade da diagonal? Meça para descobrir. Metade da resposta já pode ser demonstrada: ir de um canto ao seguinte passando pelo centro é um desvio de $3 + 3$ cm, e um caminho reto é sempre mais curto que um desvio — então o lado é menor que $6$ cm. (Demonstrar que ele também supera $3$ cm, e calculá-lo exatamente, é tarefa do Capítulo 58.)
Uma entrada nova para o dicionário: trace um segmento $[AC]$ de $8$ cm; sobre ele, marque o ponto $H$ a $3$ cm de $A$ ; trace por $H$ o segmento perpendicular $[BD]$ de $5$ cm, com $H$ como ponto médio dele. Ligue $ABCD$ . Essa forma é uma pipa (uma diagonal corta a outra ao meio, formando ângulo reto). Usando os triângulos dos cantos como na questão 6, descubra que lados de uma pipa são iguais a quais.

Parte III — Contar diagonais. Uma diagonal de um polígono liga dois vértices que não são vizinhos.

Trace um quadrilátero, um pentágono (cinco vértices) e um hexágono (seis vértices) e trace todas as diagonais deles. Conte-as: quantas em cada caso?
Contando sem desenhar, para o hexágono: de um vértice, quantas diagonais saem? (A quantos dos seis vértices ele não pode ser ligado por uma diagonal?) Multiplicar pelos seis vértices conta cada diagonal exatamente duas vezes — por quê? Recupere a sua contagem da questão 11. (A mesma contagem em dobro apareceu nos apertos de mão do Problema 37.1.)
Use o método da questão 12 para contar as diagonais de um polígono com $10$ vértices e depois com $20$ vértices.
Um polígono tem exatamente $44$ diagonais. Quantos vértices ele tem? (Experimente o método da questão 13 em alguns candidatos.)
Confira o seu método no menor polígono de todos: quantas diagonais tem um triângulo, e o que responde o método de contagem da questão 12? Conclua com uma frase sobre o que apertos de mão e diagonais têm em comum.

Solução

Solução de Problema 41.1.

1. Os quatro lados medem todos o mesmo (cerca de $4.2$ cm) e os quatro ângulos são retos: a forma é um quadrado. (As diagonais iguais dão os ângulos retos, como no retângulo; as perpendiculares dão os lados iguais, como no losango; as duas coisas juntas dão o quadrado — a Proposição 41.4 lida ao contrário.)

2. Um losango: quatro lados iguais (cerca de $4.7$ cm), mas nenhum ângulo reto — exatamente a construção do Exercício 41.8.

3. Os quatro ângulos saem retos, mas os lados vêm em dois comprimentos diferentes: um retângulo — é a situação do Exercício 41.11.

4. Nenhuma afirmação de igualdade de comprimentos sobrevive à medição e nenhum ângulo reto aparece; mas os lados opostos são iguais dois a dois e parecem paralelos. É o “retângulo torto” geral, cujas diagonais apenas se cortam ao meio — o paralelogramo, nomeado e estudado no Capítulo 52.

5. Diagonais que se cruzam no ponto médio comum:

diagonais…	forma
iguais e perpendiculares	quadrado
só perpendiculares	losango
só iguais	retângulo
nenhuma das duas	a sem nome (veja o Capítulo 52)

6. Cada triângulo de canto tem um cateto sobre cada diagonal: a metade de $8$ cm e a metade de $5$ cm, ou seja, catetos de $4$ cm e $2.5$ cm, com um ângulo reto entre eles — os mesmos dados para os quatro. Triângulos construídos com os mesmos dois catetos e o ângulo reto entre eles são cópias exatas uns dos outros (construa-os: as aberturas do compasso são idênticas). As quatro hipotenusas deles — os lados da forma — são, portanto, iguais: a forma é um losango.

7. Abra o compasso no comprimento de um lado e depois passeie-o pela forma: se a ponta seca e o grafite caírem exatamente sobre cada par de cantos vizinhos, os quatro lados valem essa mesma abertura. Sem régua nenhuma.

8. Programa:

Trace um segmento $[AC]$ com $AC = 6$ cm e marque o ponto médio $O$ dele (meça $3$ cm a partir de $A$ ).
Trace a perpendicular a $(AC)$ em $O$ .
Sobre ela, marque $B$ e $D$ a $3$ cm de $O$ , um de cada lado.
Ligue $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

Diagonais iguais ( $6$ cm), perpendiculares e que se cortam ao meio: pelo dicionário, $ABCD$ é um quadrado.

9. A medição dá cerca de $4.2$ cm: maior que $3$ cm — o palpite comum “a metade da diagonal” está errado. A metade demonstrável: para ir do canto $A$ ao canto seguinte $B$ , pode-se percorrer o lado $[AB]$ em linha reta ou fazer o desvio $A \to O \to B$ pelo centro, que custa $3 + 3 = 6$ cm; o lado reto é mais curto, então o lado mede menos que $6$ cm. Que ele também seja maior que $3$ cm é o que a régua mostra; o Capítulo 58 vai demonstrar isso e dar o valor exato ( $3$ cm multiplicado pela raiz quadrada de $2$ , cerca de $4.24$ cm).

10. Os quatro triângulos de canto em $H$ agora vêm em dois pares iguais: dois com catetos $3$ cm e $2.5$ cm (hipotenusas $[AB]$ e $[AD]$ ) e dois com catetos $5$ cm e $2.5$ cm (hipotenusas $[CB]$ e $[CD]$ ). Logo $AB = AD$ e $CB = CD$ : uma pipa tem dois pares de lados vizinhos iguais (o losango é a pipa especial em que os quatro coincidem).

11. Quadrilátero: $2$ diagonais. Pentágono: $5$ . Hexágono: $9$ .

12. De um vértice do hexágono saem diagonais para todos os vértices, exceto ele mesmo e os dois vizinhos: $6 - 3 = 3$ diagonais. Os seis vértices lançam $6 \times 3 = 18$ pontas de diagonal — mas cada diagonal foi contada nas duas pontas dela, uma vez por extremidade, exatamente como um aperto de mão contado pelos dois que se cumprimentam (Problema 37.1). Contagem verdadeira: $18 \div 2 = 9$ . Confere com o desenho.

13. Dez vértices: $10 - 3 = 7$ de cada um, então $10 \times 7 \div 2 = 35$ diagonais. Vinte vértices: $20 \times 17 \div 2 = 170$ diagonais.

14. Teste candidatos: $10$ vértices dão $35$ (questão 13); $11$ vértices dão $11 \times 8 \div 2 = 44$ . Achamos: o polígono tem $11$ vértices.

15. Um triângulo não tem diagonal nenhuma: os “não vizinhos” de cada vértice são … ninguém, já que os outros dois vértices são ambos vizinhos dele. O método concorda: $3 - 3 = 0$ de cada vértice, total $0$ . Apertos de mão e diagonais são a mesma contagem com roupas diferentes: pares escolhidos dentro de um grupo, cada par contado uma vez — a matemática recicla as boas ideias dela.