Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

47Frações: comparar e somar

O Ano 6 apresentou as frações como partes e como quocientes exatos (Capítulo 39). Este capítulo aprende a calcular com elas: reconhecer frações iguais, comparar, somar e subtrair — por enquanto com denominadores amigáveis; o caso geral vem no Capítulo 63.

47.1 Frações iguais

Teorema 47.1 (Frações iguais)

Uma fração não muda quando o numerador e o denominador dela são multiplicados, ou divididos, pelo mesmo número não nulo:

\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 47.2

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{15}{20}$ e, no outro sentido, $\dfrac{42}{30} = \dfrac{42 \div 6}{30 \div 6} = \dfrac{7}{5}$ (simplificada por $6$ ).

Para testar se $\dfrac{8}{12}$ e $\dfrac{10}{15}$ são iguais, simplifique as duas: $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ e $\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ — sim, são iguais.

47.2 Comparar frações

Método 47.3 (Comparar duas frações)

Mesmo denominador: compare os numeradores: $\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$ .
Um denominador é múltiplo do outro: reescreva a fração mais grossa e depois compare: $\frac{5}{6}$ contra $\frac{7}{12}$ : $\frac56 = \frac{10}{12} > \frac{7}{12}$ .
Compare com $1$ ou com $\frac12$ quando der: $\frac{9}{8} > 1 > \frac{7}{9}$ resolve $\frac98$ contra $\frac79$ na hora.

Comparando 5/6 e 7/12 em barras gêmeas: cortar os sextos ao meio mostra que 5/6 = 10/12, mais que 7/12. — Comparando $\frac56$ e $\frac{7}{12}$ em barras gêmeas: cortar os sextos ao meio mostra que $\frac56 = \frac{10}{12}$ , mais que $\frac{7}{12}$ .

47.3 Somar e subtrair

Teorema 47.4 (Mesmo denominador)

Frações de mesmo denominador são somadas (ou subtraídas) somando (ou subtraindo) os numeradores:

\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d}, \qquad \frac{a}{d} - \frac{b}{d} = \frac{a - b}{d} .

Por quê. $a$ partes de tamanho $\frac1d$ mais $b$ partes do mesmo tamanho fazem $a + b$ partes desse tamanho. ∎

Método 47.5 (Denominadores diferentes)

Quando um denominador é múltiplo do outro:

reescreva a fração de denominador menor para que as duas fiquem com o denominador maior (Teorema 47.1);
some ou subtraia os numeradores;
simplifique o resultado, se der.

Exemplo 47.6

Vamos calcular $\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8}$ , passo a passo:

$8$ é múltiplo de $4$ : reescreva $\dfrac34 = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}$ ;
some: $\dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{11}{8}$ ;
não há o que simplificar: o resultado é $\dfrac{11}{8}$ , ou seja, $1 + \dfrac38$ .

Outro: $2 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{10}{5} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{6}{5}$ (escreva primeiro o número inteiro sobre o denominador $5$ ).

Exemplo 47.7 (Uma armadilha clássica)

$\dfrac12 + \dfrac13$ não é $\dfrac{2}{5}$ ! Somar numeradores e denominadores separadamente está errado — a resposta $\frac25$ seria menor que $\frac12$ , o que é absurdo quando se soma algo positivo a $\frac12$ . (A soma correta, $\frac56$ , precisa do denominador comum $6$ ; o método geral está no Capítulo 63.)

47.4 Multiplicar uma fração por um número

Proposição 47.8 (Fração vezes um número)

Para um número $k$ :

k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b} .

Tomar $\frac ab$ de uma quantidade é multiplicar por $\frac ab$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 47.9

$6 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$ : seis vezes dois terços dá quatro inteiros. E “ $\frac34$ de $60$ reais” é $\frac34 \times 60 = \frac{180}{4} = 45$ reais — a mesma resposta de dividir por $4$ e depois multiplicar por $3$ (Método 39.8).

47.5 Exercícios

Exercício 47.1 ★

Complete: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{?}{20}$ ; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{?}$ ; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{?}$ ; $\dfrac{?}{9} = \dfrac{20}{36}$ .

Solução

Solução de Exercício 47.1.

$\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}$ ; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{12}$ ; $\dfrac{5}{9} = \dfrac{20}{36}$ .

Exercício 47.2 ★

Simplifique o máximo possível: $\dfrac{12}{16}$ ; $\dfrac{30}{45}$ ; $\dfrac{27}{36}$ ; $\dfrac{48}{12}$ .

Solução

Solução de Exercício 47.2.

$\dfrac{12}{16} = \dfrac34$ ; $\dfrac{30}{45} = \dfrac23$ ; $\dfrac{27}{36} = \dfrac34$ ; $\dfrac{48}{12} = 4$ .

Exercício 47.3 ★

$\dfrac{15}{35}$ e $\dfrac{21}{49}$ são iguais? E $\dfrac{16}{28}$ e $\dfrac{20}{36}$ ? Justifique simplificando.

Solução

Solução de Exercício 47.3.

$\dfrac{15}{35} = \dfrac37$ e $\dfrac{21}{49} = \dfrac37$ : iguais.

$\dfrac{16}{28} = \dfrac47$ e $\dfrac{20}{36} = \dfrac59$ : para comparar, $\frac47 = \frac{36}{63}$ e $\frac59 = \frac{35}{63}$ — não são iguais.

Exercício 47.4 ★

Compare (escreva o raciocínio, não só a resposta):

\frac{7}{11} \text{ e } \frac{9}{11}; \qquad \frac{5}{6} \text{ e } \frac{11}{18}; \qquad \frac{13}{12} \text{ e } \frac{19}{20}.

Solução

Solução de Exercício 47.4.

$\dfrac{7}{11} < \dfrac{9}{11}$ (mesmo denominador).

$\dfrac56 = \dfrac{15}{18} > \dfrac{11}{18}$ .

$\dfrac{13}{12} > 1$ enquanto $\dfrac{19}{20} < 1$ , logo $\dfrac{13}{12} > \dfrac{19}{20}$ .

Exercício 47.5 ★

Calcule e simplifique quando der:

\frac{5}{9} + \frac{2}{9}, \qquad \frac{11}{7} - \frac{4}{7}, \qquad \frac{5}{8} + \frac{7}{8} .

Solução

Solução de Exercício 47.5.

$\dfrac59 + \dfrac29 = \dfrac79$ ; $\dfrac{11}{7} - \dfrac47 = \dfrac77 = 1$ ; $\dfrac58 + \dfrac78 = \dfrac{12}{8} = \dfrac32$ .

Exercício 47.6 ★

Calcule usando o Método 47.5:

\frac{2}{3} + \frac{5}{6}, \qquad \frac{7}{10} - \frac{2}{5}, \qquad \frac{3}{4} + \frac{5}{12} .

Solução

Solução de Exercício 47.6.

$\dfrac23 + \dfrac56 = \dfrac46 + \dfrac56 = \dfrac96 = \dfrac32$ .

$\dfrac{7}{10} - \dfrac25 = \dfrac{7}{10} - \dfrac{4}{10} = \dfrac{3}{10}$ .

$\dfrac34 + \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{14}{12} = \dfrac76$ .

Exercício 47.7 ★

Calcule:

3 - \frac{5}{4}, \qquad 1 + \frac{3}{8}, \qquad 2 - \frac{7}{6} .

Solução

Solução de Exercício 47.7.

$3 - \dfrac54 = \dfrac{12}{4} - \dfrac54 = \dfrac74$ ; $1 + \dfrac38 = \dfrac{11}{8}$ ; $2 - \dfrac76 = \dfrac{12}{6} - \dfrac76 = \dfrac56$ .

Exercício 47.8 ★

Calcule:

5 \times \frac{3}{10}, \qquad \frac{7}{8} \times 4, \qquad \frac{2}{3} \text{ de } 45 .

Solução

Solução de Exercício 47.8.

$5 \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{10} = \dfrac32$ ; $\dfrac78 \times 4 = \dfrac{28}{8} = \dfrac72$ ; $\dfrac23$ de $45$ é $\dfrac{2 \times 45}{3} = \dfrac{90}{3} = 30$ .

Exercício 47.9 ★★

Marcos comeu $\frac14$ de uma pizza e Júlia comeu $\frac38$ da mesma pizza. Que fração da pizza eles comeram juntos? Que fração sobrou?

Solução

Solução de Exercício 47.9.

Juntos: $\dfrac14 + \dfrac38 = \dfrac28 + \dfrac38 = \dfrac58$ da pizza. Sobrou: $1 - \dfrac58 = \dfrac38$ .

Exercício 47.10 ★★

Uma garrafa contém $\frac34$ L de suco. Lia serve $\frac16$ L duas vezes. Quanto suco resta? (Denominador comum: $12$ .)

Solução

Solução de Exercício 47.10.

Servido: $2 \times \dfrac16 = \dfrac26 = \dfrac13$ L. Resta:

\frac34 - \frac13 = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12} \text{ L}.

Exercício 47.11 ★★

Explique, com o argumento do Exemplo 47.7, por que $\frac35 + \frac12$ não pode ser $\frac{4}{7}$ , sem calcular a soma correta.

Solução

Solução de Exercício 47.11.

Somar a quantidade positiva $\frac12$ a $\frac35$ tem de dar um resultado maior que $\frac35$ . Mas $\frac47 < \frac35$ (de fato, $\frac47 = \frac{20}{35}$ e $\frac35 = \frac{21}{35}$ ): a soma alegada seria menor que um dos termos dela — impossível.

Exercício 47.12 ★★★

Calcule a soma

\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16}

passo a passo (da esquerda para a direita). Observe o padrão das somas parciais: de que número elas se aproximam à medida que mais e mais termos $\frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots$ são somados?

Solução

Solução de Exercício 47.12.

Passo a passo:

\frac12 + \frac14 = \frac34, \qquad \frac34 + \frac18 = \frac68 + \frac18 = \frac78, \qquad \frac78 + \frac1{16} = \frac{14}{16} + \frac1{16} = \frac{15}{16}.

As somas parciais $\frac12, \frac34, \frac78, \frac{15}{16}, \dots$ ficam a cada vez na metade da distância que faltava até $1$ : a cada passo, a parte que falta é cortada ao meio. As somas se aproximam de $1$ sem nunca alcançá-lo.

47.6 Problema: as frações escondidas num compasso de música

Problema 47.1

Problema de fim de semana — os valores das notas são frações que têm de somar exatamente, a contagem de ritmos esconde uma sequência famosa, e a paridade manda no ritmo balcânico

A música se escreve em frações. Uma semibreve dura $1$ compasso (no comum “quatro por quatro”); uma mínima dura $\frac12$ ; depois vêm a semínima $\frac14$ , a colcheia $\frac18$ e a semicolcheia $\frac{1}{16}$ . Uma lei inviolável: as durações dentro de um compasso têm de somar exatamente o total do compasso — $1$ no quatro por quatro. Cada questão abaixo é a aritmética deste capítulo (Teorema 47.4, Método 47.5) posta em música; pelo caminho você vai encontrar uma sequência de contagem descoberta por sábios indianos há mil anos.

Parte I — Notas que têm de fechar a conta.

Confira que cada um destes compassos é legal no quatro por quatro: (a) mínima $+$ semínima $+$ semínima; (b) semínima $+$ colcheia $+$ colcheia $+$ mínima.
Um copista escreveu: mínima $+$ semínima $+$ colcheia. Que fração do compasso está escrita, e que nota única a completa?
Quantas semicolcheias enchem um compasso inteiro? E quantas semicolcheias fazem uma colcheia?
Um ponto de aumento depois de uma nota acrescenta a metade do valor dela: uma mínima pontuada é $\frac12 + \frac14$ , e uma semínima pontuada é $\frac14 + \frac18$ . Calcule os dois valores.
Uma valsa se escreve em três por quatro: cada compasso tem de totalizar $\frac34$ . Confira que uma única mínima pontuada enche um compasso de valsa e escreva outros dois compassos de valsa legais usando apenas semínimas e colcheias.

Parte II — A oficina do copista.

Um compasso de quatro por quatro contém: semínima pontuada $+$ colcheia $+$ semínima. O que está faltando?
O que dura mais, uma colcheia pontuada ou uma semínima? Compare em semicolcheias.
Uma ligadura cola durações num só som prolongado: uma mínima ligada a uma colcheia dura quanto? Quantas semicolcheias são?
As notas de um compasso somam $\frac{11}{16}$ ; o resto é silêncio (uma pausa). Quanto dura a pausa?
Um baterista preenche uma semínima ( $\frac{4}{16}$ do compasso) usando apenas colcheias ( $\frac{2}{16}$ ) e semicolcheias ( $\frac{1}{16}$ ), importando a ordem: por exemplo, colcheia–semicolcheia–semicolcheia ou semicolcheia–colcheia–semicolcheia. Confira que os dois exemplos são legais e depois liste todos os ritmos possíveis. Quantos são?

Parte III — Uma sequência de mil anos e um compasso ímpar.

Vamos contar os ritmos do baterista para notas mais longas. Todo ritmo termina ou com uma semicolcheia, ou com uma colcheia; explique por que isso dá a regra: (ritmos que enchem $n$ semicolcheias) $=$ (ritmos que enchem $n - 1$ ) $+$ (ritmos que enchem $n - 2$ ). Partindo de $1$ ritmo para uma semicolcheia e $2$ para duas, monte a tabela até $n = 8$ : quantos ritmos enchem uma mínima?
Os números que você encontrou — $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34$ — foram publicados pelo sábio indiano Hemachandra por volta do ano 1150, contando exatamente ritmos desses, duas gerações antes de Fibonacci os anotar na Itália. Enuncie o padrão que os define em uma frase e confira-o nas três últimas entradas da sua tabela.
O estilo swing substitui duas colcheias iguais por um par longo–curto: $\frac16$ e depois $\frac{1}{12}$ . Verifique que a troca é legal (mesma duração total), usando o denominador comum $12$ .
Uma quiáltera espreme três notas iguais dentro de uma semínima. Quanto dura cada nota (confira a sua resposta multiplicando por $3$ , Proposição 47.8)? A mesma pergunta para três notas iguais preenchendo uma mínima.
A música de dança dos Bálcãs usa o sete por oito: cada compasso totaliza $\frac78$ . Verifique que semínima pontuada $+$ semínima $+$ semínima o preenche. Depois explique por que nenhuma combinação só de mínimas e semínimas, por mais numerosas que sejam, consegue preencher um compasso de sete por oito. (Conte em colcheias e pense em par e ímpar.)

Solução

Solução de Problema 47.1.

1. (a) $\frac12 + \frac14 + \frac14 = \frac24 + \frac14 + \frac14 = \frac44 = 1$ : legal. (b) $\frac14 + \frac18 + \frac18 + \frac12 = \frac28 + \frac18 + \frac18 + \frac48 = \frac88 = 1$ : legal.

2. $\frac12 + \frac14 + \frac18 = \frac48 + \frac28 + \frac18 = \frac78$ : falta uma colcheia.

3. Um compasso é $1 = \frac{16}{16}$ : dezesseis semicolcheias. Uma colcheia é $\frac18 = \frac{2}{16}$ : duas semicolcheias.

4. Mínima pontuada: $\frac12 + \frac14 = \frac34$ . Semínima pontuada: $\frac14 + \frac18 = \frac28 + \frac18 = \frac38$ .

5. A mínima pontuada vale $\frac34$ (questão 4): exatamente um compasso de valsa. Outros preenchimentos, por exemplo: semínima $+$ semínima $+$ semínima ( $\frac14 + \frac14 + \frac14 = \frac34$ ), ou semínima $+$ colcheia $+$ colcheia $+$ semínima ( $\frac14 + \frac18 + \frac18 + \frac14 = \frac{2 + 1 + 1 + 2}{8} = \frac68 = \frac34$ ).

6. $\frac38 + \frac18 + \frac14 = \frac38 + \frac18 + \frac28 = \frac68 = \frac34$ : falta uma semínima ( $\frac14$ ).

7. Colcheia pontuada: $\frac18 + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$ . Semínima: $\frac{4}{16}$ . A semínima é mais longa.

8. $\frac12 + \frac18 = \frac48 + \frac18 = \frac58$ , ou seja, $\frac{10}{16}$ : dez semicolcheias.

9. $1 - \frac{11}{16} = \frac{16}{16} - \frac{11}{16} = \frac{5}{16}$ do compasso é silêncio.

10. Os dois exemplos totalizam $\frac{2 + 1 + 1}{16} = \frac{4}{16}$ : legais. Todos os ritmos que enchem quatro semicolcheias com pedaços de $2$ e de $1$ :

2{+}2, \quad 2{+}1{+}1, \quad 1{+}2{+}1, \quad 1{+}1{+}2, \quad 1{+}1{+}1{+}1 :

cinco ritmos.

11. Um ritmo que enche $n$ semicolcheias termina ou com uma semicolcheia — e o que vem antes enche $n - 1$ — ou com uma colcheia — e o que vem antes enche $n - 2$ . Todo ritmo é contado exatamente uma vez assim, então $\text{modos}(n) = \text{modos}(n-1) + \text{modos}(n-2)$ . Tabela:

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
modos	$1$	$2$	$3$	$5$	$8$	$13$	$21$	$34$

Uma mínima ( $8$ semicolcheias) pode ser tocada de $34$ maneiras. ( $n = 4$ recupera os cinco ritmos da questão 10.)

12. Cada número é a soma dos dois anteriores: $3 + 5 = 8$ , $5 + 8 = 13$ , $8 + 13 = 21$ , $13 + 21 = 34$ — a regra demonstrada na questão 11, com mil anos de idade e hoje conhecida como regra de Fibonacci.

13. $\frac16 + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac14$ : a mesma duração de duas colcheias comuns ( $\frac18 + \frac18 = \frac14$ ). A troca do swing é legal.

14. Cada nota da quiáltera dura $\frac{1}{12}$ : confira, $3 \times \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac14$ (Proposição 47.8). Para uma mínima: cada nota dura $\frac16$ , já que $3 \times \frac16 = \frac36 = \frac12$ .

15. Semínima pontuada $+$ semínima $+$ semínima: em colcheias, $3 + 2 + 2 = 7$ colcheias $= \frac78$ : legal. Mínimas e semínimas valem $4$ e $2$ colcheias — os dois números pares. Qualquer soma de números pares é par, mas um compasso de sete por oito precisa de $7$ colcheias, um número ímpar: impossível. Para preencher um compasso ímpar, alguma coisa ímpar — uma colcheia ou uma nota pontuada — tem de aparecer.