Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

70Sólidos e volumes

A geometria do espaço começa com uma pequena família de sólidos — prismas, cilindros, pirâmides, cones, esferas — e duas perguntas: quanto eles comportam (volume) e o que se vê quando são fatiados (seções)? O capítulo se fecha com um fato de grande importância prática: mudar a escala de um sólido por $k$ multiplica o volume dele por $k^3$ .

70.1 Os sólidos clássicos e os volumes deles

Teorema 70.1 (Fórmulas de volume)

Escreva $B$ para a área da base e $h$ para a altura (a distância entre a base e a face oposta ou o vértice do topo).

sólido	volume
prisma, cilindro	$V = B \times h$
[5pt] pirâmide, cone	$V = \dfrac13\, B \times h$
[5pt] esfera de raio $r$	$V = \dfrac43\,\pi r^3$

Para um cilindro e um cone de raio $r$ , a área da base é $B = \pi r^2$ ; a área da superfície da esfera é $4\pi r^2$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Os sólidos deste capítulo. Em cada um, o volume envolve uma área de base e uma altura — menos na esfera, que só precisa do raio.

Exemplo 70.2

Uma lata cilíndrica tem raio $4$ cm e altura $10$ cm:

V = \pi r^2 h = \pi \times 16 \times 10 = 160\pi \approx 503 \text{ cm}^3 \approx 0.5 \text{ L}.

Um cone de mesma base e mesma altura comporta um terço disso: $\frac{160\pi}{3} \approx 168$ cm $^3$ . Uma esfera de raio $4$ cm: $V = \frac43 \pi \times 64 = \frac{256\pi}{3} \approx 268$ cm $^3$ .

Exemplo 70.3 (Uma pirâmide passo a passo)

Uma pirâmide tem base quadrada de lado $6$ m e altura $5$ m.

Área da base: $B = 6^2 = 36$ m $^2$ .
Volume: $V = \frac13 \times 36 \times 5 = 60$ m $^3$ .

Atenção às unidades: se o lado fosse dado em cm e a altura em m, um dos dois teria de ser convertido antes.

70.2 Seções por planos

Proposição 70.4 (Seções dos sólidos clássicos)

Cortar um sólido por um plano produz uma figura plana, a seção transversal dele:

um prisma ou cilindro cortado paralelamente à base dá uma cópia da base, em qualquer altura;
uma pirâmide ou um cone cortado paralelamente à base dá uma redução da base: à distância $d$ do vértice do topo, o fator de escala é $k = \frac{d}{h}$ ;
uma esfera de raio $r$ cortada por um plano à distância $d < r$ do centro dá um círculo de raio $\sqrt{r^2 - d^2}$ (pelo teorema de Pitágoras).

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

À esquerda: cortar um cone paralelamente à base, à distância d do vértice, dá um disco reduzido pelo fator k = dh. À direita: um plano à distância d do centro de uma esfera a corta num círculo de raio √r2 - d2. — À esquerda: cortar um cone paralelamente à base, à distância $d$ do vértice, dá um disco reduzido pelo fator $k = \frac dh$ . À direita: um plano à distância $d$ do centro de uma esfera a corta num círculo de raio $\sqrt{r^2 - d^2}$ .

Exemplo 70.5

Um cone tem raio da base $6$ e altura $9$ . A seção por um plano paralelo à base, à distância $3$ do vértice, é um disco reduzido pelo fator $k = \frac39 = \frac13$ : o raio dele é $6 \times \frac13 = 2$ .

Uma esfera de raio $5$ é cortada por um plano à distância $3$ do centro dela: a seção é um círculo de raio $\sqrt{25 - 9} = 4$ .

70.3 Mudar a escala de sólidos

Teorema 70.6 (Efeito de uma mudança de escala sobre comprimentos, áreas e volumes)

Quando um sólido é ampliado ou reduzido pelo fator de escala $k > 0$ :

todos os comprimentos são multiplicados por $k$ ;
todas as áreas são multiplicadas por $k^2$ ;
todos os volumes são multiplicados por $k^3$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 70.7

Um carrinho de coleção na escala $\frac{1}{18}$ : os comprimentos são os do carro de verdade multiplicados por $k = \frac{1}{18}$ , a superfície pintada é multiplicada por $k^2 = \frac{1}{324}$ , e o volume, por $k^3 = \frac{1}{5832}$ .

Dobrar o raio de uma esfera ( $k = 2$ ) multiplica o volume dela por $2^3 = 8$ : confira na fórmula, $\frac43\pi (2r)^3 = \frac43 \pi \times 8r^3$ .

Exemplo 70.8 (Tronco de cone)

Um cone de altura $9$ e raio da base $6$ (volume $\frac13 \pi \times 36 \times 9 = 108\pi$ ) é cortado à distância $3$ do vértice, e o cone pequeno acima do corte é retirado. O cone pequeno é a redução pelo fator $k = \frac13$ , então o volume dele é $108\pi \times \left(\frac13\right)^3 = 4\pi$ . O sólido que resta (um tronco de cone) tem volume $108\pi - 4\pi = 104\pi \approx 327$ .

70.4 Exercícios

Exercício 70.1 ★

Calcule os volumes: uma caixa (prisma retangular) de dimensões $4 \times 5 \times 12$ ; um cilindro de raio $3$ e altura $7$ (valor exato com $\pi$ e depois arredondado à unidade).

Solução

Solução de Exercício 70.1.

Caixa: $V = 4 \times 5 \times 12 = 240$ .

Cilindro: $V = \pi r^2 h = \pi \times 9 \times 7 = 63\pi \approx 198$ .

Exercício 70.2 ★

Calcule o volume de um cone de raio $5$ e altura $12$ e o de uma pirâmide de base retangular $8 \times 3$ e altura $10$ .

Solução

Solução de Exercício 70.2.

Cone: $V = \frac13 \pi r^2 h = \frac13 \pi \times 25 \times 12 = 100\pi \approx 314$ .

Pirâmide: área da base $B = 8 \times 3 = 24$ , então $V = \frac13 \times 24 \times 10 = 80$ .

Exercício 70.3 ★

Calcule o volume e a área da superfície de uma esfera de raio $6$ (valores exatos com $\pi$ ).

Solução

Solução de Exercício 70.3.

Volume: $V = \frac43 \pi \times 6^3 = \frac43 \pi \times 216 = 288\pi$ .

Área da superfície: $4\pi \times 6^2 = 144\pi$ .

Exercício 70.4 ★

Uma esfera de raio $10$ é cortada por um plano à distância $8$ do centro dela. Qual é o raio do círculo da seção?

Solução

Solução de Exercício 70.4.

Raio da seção: $\sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ .

Exercício 70.5 ★★

Um cone tem raio da base $8$ e altura $12$ . Um plano paralelo à base o corta à distância $9$ do vértice. Calcule o raio da seção e depois o volume do cone pequeno acima do corte.

Solução

Solução de Exercício 70.5.

Fator de escala do cone inteiro para o pequeno: $k = \frac{9}{12} = \frac34$ . Raio da seção: $8 \times \frac34 = 6$ .

Volume do cone inteiro: $\frac13\pi \times 64 \times 12 = 256\pi$ . Volume do cone pequeno: $256\pi \times \left(\frac34\right)^3 = 256\pi \times \frac{27}{64} = 108\pi \approx 339$ .

Exercício 70.6 ★★

Um copo cilíndrico de raio interno $3$ cm contém água até a altura de $10$ cm. Uma bola de raio $2$ cm é totalmente submersa nele. De quanto sobe o nível da água? (O volume acrescentado se espalha pela área da base do copo; dê a subida exata e depois arredonde ao milímetro.)

Solução

Solução de Exercício 70.6.

Volume da bola: $\frac43\pi \times 2^3 = \frac{32\pi}{3}$ cm $^3$ . Esse volume se espalha pela área da base $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm $^2$ , então o nível sobe

\frac{32\pi/3}{9\pi} = \frac{32}{27} \approx 1.2 \text{ cm}

(uns $12$ mm).

Exercício 70.7 ★★

Uma receita enche uma fôrma esférica de raio $6$ cm. Você só tem uma fôrma esférica de raio $3$ cm. Quantas fôrmas pequenas você consegue encher? (Responda sem calcular explicitamente nenhum dos dois volumes.)

Solução

Solução de Exercício 70.7.

A fôrma pequena é a redução da grande pelo fator $k = \frac36 = \frac12$ , então o volume dela é $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ do da grande: a receita enche $8$ fôrmas pequenas.

Exercício 70.8 ★★

A Grande Pirâmide de Gizé tem base quadrada de lado aproximadamente $230$ m e altura de cerca de $147$ m. Estime o volume dela e expresse-o em milhões de metros cúbicos.

Solução

Solução de Exercício 70.8.

$V = \frac13 \times 230^2 \times 147 = \frac13 \times 52\,900 \times 147 = 52\,900 \times 49 = 2\,592\,100$ m $^3$ — cerca de $2.6$ milhões de metros cúbicos.

Exercício 70.9 ★★★

Um funil em forma de cone, de raio $6$ cm e altura $12$ cm, com o vértice para baixo, é enchido de água até a metade da altura (medida a partir do vértice).

Que fração do volume do funil fica cheia?
Se, em vez disso, ele for enchido com metade do volume de água, mostre que a altura $d$ da água satisfaz $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ e dê $d$ ao milímetro ( $\sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ ).

Solução

Solução de Exercício 70.9.

1. A água forma um cone reduzido pelo fator $k = \frac12$ (vértice para baixo, metade da altura), então o volume dela é $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ do funil: um oitavo, bem menos que a metade!

2. A água até a altura $d$ forma um cone reduzido pelo fator $k = \frac{d}{12}$ , de volume $k^3$ vezes o do funil. Metade do volume significa $k^3 = \frac12$ , isto é, $\left(\frac{d}{12}\right)^3 = \frac12$ . Então $\frac{d}{12} = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.7937$ , logo $d \approx 9.5$ cm: a segunda metade do volume ocupa apenas os $2.5$ cm de cima — a parte larga do cone guarda quase toda a água.

70.5 Problema: a lápide de Arquimedes

Problema 70.1

Problema de fim de semana — a esfera é dois terços do cilindro dela (duas vezes), a pilha 1:2:3 e a lei do quadrado–cubo, que proíbe gigantes

Arquimedes demonstrou muitos teoremas, mas um o deixou tão orgulhoso que ele pediu que a figura correspondente fosse gravada no túmulo dele: uma esfera encaixada no cilindro mais justo possível. Um século depois, o escritor romano Cícero, procurando entre os arbustos perto de Siracusa, reconheceu o túmulo “pela esfera e pelo cilindro”. Este problema recupera o que a gravura guarda — um duplo milagre de dois terços — e depois segue volumes e superfícies (Teorema 70.1, Teorema 70.6) até uma lei que governa gigantes, formigas e planetas que esfriam.

Parte I — A gravura decifrada. Uma esfera de raio $r$ fica exatamente dentro de um cilindro: mesmo raio, altura $2r$ .

Calcule o volume do cilindro em função de $r$ .
Calcule a razão entre o volume da esfera e o do cilindro. Por que Arquimedes pode ter gostado do fato de a resposta não conter nem $\pi$ nem $r$ ?
Agora as superfícies: compare a área da superfície da esfera com a superfície total do cilindro (a parte lateral mais as duas tampas). Que razão aparece — de novo?
O espaço vazio entre a esfera e o cilindro tem volume $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3$ . Mostre que essa sobra é exatamente igual ao volume de dois cones de raio $r$ e altura $r$ .
Uma bola de basquete de raio $12$ cm é vendida na caixa cilíndrica mais justa possível. Calcule os dois volumes (arredondando à centena de cm $^3$ ) e a porcentagem da caixa que fica vazia.

Parte II — Tigelas, fôrmas e luas.

Uma tigela hemisférica tem raio $10$ cm. Calcule a capacidade dela, em cm $^3$ e em litros (ao decilitro).
A pilha 1:2:3: um cone, uma meia esfera e um cilindro, todos de raio $10$ cm e altura $10$ cm. Calcule os três volumes e verifique a lendária proporção $1 : 2 : 3$ . (Arquimedes também teria apreciado esta.)
Uma esfera de chocolate de raio $3$ cm é derretida numa fôrma cilíndrica de raio $3$ cm. Que altura o chocolate alcança? (Fração exata e depois ao milímetro.)
O raio da Terra é de cerca de $6\,371$ km, e o da Lua, de cerca de $1\,737$ km. Calcule a razão entre os raios e depois — com o Teorema 70.6 — a razão entre os volumes: quantas Luas caberiam dentro de uma Terra oca, em volume?
Do mesmo teorema: qual é a razão entre as áreas de superfície da Terra e da Lua? E, em geral, quando o raio de um balão dobra, o que acontece com o volume e com a superfície dele? Enuncie a lei do quadrado–cubo: quando uma forma cresce, os volumes deixam as superfícies para trás.

Parte III — A lei do quadrado–cubo governa o mundo.

O argumento de Galileu contra os gigantes: imagine um ser humano ampliado por um fator $10$ , com as mesmas proporções. Por que fator o peso cresce (o peso acompanha o volume)? Por que fator cresce a seção transversal dos ossos (uma área)? Por que fator cresce, então, a pressão sobre cada centímetro quadrado de osso — e o que acontece com o gigante?
A mesma lei ao contrário explica as proezas das formigas: a força acompanha a seção transversal do músculo (uma área), e o peso acompanha o volume. Para um animal $100$ vezes menor em todas as direções, por que fatores o peso e a força encolhem, e por que fator melhora a razão entre força e peso?
O calor é produzido pelo volume do corpo e perdido pela superfície dele. Mostre que, para uma esfera, a razão entre superfície e volume é $\frac{3}{r}$ , e calcule-a para $r = 1$ e $r = 2$ . Quem esfria mais rápido, um camundongo ou um urso — e por que os bebês precisam de touca no inverno?
Duas laranjas esféricas, de raios $4$ cm e $5$ cm, são vendidas pelo mesmo preço. Calcule a razão entre os volumes delas: quanto mais laranja a grande entrega pelo mesmo dinheiro?
Final: descreva com precisão o que a figura da lápide guarda — os dois “dois terços” das questões 2 e 3 — e responda a Cícero em uma frase: por que um matemático escolheria, entre todas as conquistas do gênio dele como engenheiro, uma esfera dentro de um cilindro?

Solução

Solução de Problema 70.1.

1. $V_{\text{cil}} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$ .

2. $\dfrac{V_{\text{esfera}}}{V_{\text{cil}}} = \dfrac{\frac43 \pi r^3}{2 \pi r^3} = \dfrac23$ . O $\pi$ e o $r^3$ se cancelam: a proporção é universal — vale para uma bolinha de gude e para um planeta. Uma relação entre formas, e não entre números: exatamente o tipo de verdade que vale gravar na pedra.

3. Esfera: $4\pi r^2$ . Cilindro: lateral $2\pi r \times 2r = 4\pi r^2$ , mais duas tampas $2 \times \pi r^2$ : total $6\pi r^2$ . Razão: $\frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac23$ — os mesmos dois terços, agora para superfícies. (E um bônus: a área da esfera é exatamente igual à área lateral do cilindro.)

4. Sobra: $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3 = \frac23 \pi r^3$ . Dois cones de raio $r$ e altura $r$ : $2 \times \frac13 \pi r^2 \times r = \frac23 \pi r^3$ . Iguais.

5. Bola: $\frac43 \pi \times 12^3 \approx 7\,200$ cm $^3$ ; caixa: $2\pi \times 12^3 \approx 10\,900$ cm $^3$ . Vazio: um terço da caixa, cerca de $33\,\%$ — garantido pela questão 2, seja qual for o tamanho da bola.

6. Meia esfera: $\frac12 \times \frac43 \pi \times 10^3 = \frac23 \pi \times 1\,000 \approx 2\,094$ cm $^3 \approx 2.1$ L.

7. Cone: $\frac13 \pi \times 10^2 \times 10 = \frac{1\,000\pi}{3} \approx 1\,047$ cm $^3$ . Meia esfera: $\frac{2\,000\pi}{3} \approx 2\,094$ cm $^3$ . Cilindro: $1\,000\pi \approx 3\,142$ cm $^3$ . Razões: $\frac{1000\pi}{3} : \frac{2000\pi}{3} : \frac{3000\pi}{3} = 1 : 2 : 3$ , exatamente.

8. $\frac43 \pi \times 27 = \pi \times 9 \times h$ dá $h = \frac43 \times 3 = 4$ cm, exatamente.

9. Raios: $\frac{6\,371}{1\,737} \approx 3.67$ . Os volumes mudam com o cubo (Teorema 70.6): $3.67^3 \approx 49$ . Cabem umas cinquenta Luas na Terra.

10. As superfícies mudam com o quadrado: $3.67^2 \approx 13.5$ . Dobrar o raio de um balão multiplica o volume dele por $2^3 = 8$ , mas a superfície por apenas $2^2 = 4$ : à medida que as coisas crescem, o volume (peso, conteúdo, calor produzido) deixa a superfície para trás (pele, material, calor perdido) — a lei do quadrado–cubo.

11. Peso: $\times 10^3 = 1\,000$ . Seção transversal dos ossos: $\times 10^2 = 100$ . Pressão — peso por área de osso: $\times \frac{1000}{100} = 10$ . Ossos construídos para a pressão humana recebem dez vezes mais: o esqueleto do gigante estala sob o próprio peso. Os gigantes são geometricamente impossíveis; os animais grandes precisam de ossos desproporcionalmente grossos (compare as pernas de um elefante com as de uma gazela).

12. Peso: $\div 100^3 = 10^6$ . Força (seção transversal do músculo): $\div 100^2 = 10^4$ . Força por peso: $\times \frac{10^6}{10^4} = 100$ . A formiga que carrega cinquenta vezes o próprio peso não é uma superatleta — ela é apenas pequena; um ser humano encolhido ao tamanho de formiga faria o mesmo.

13. $\dfrac{S}{V} = \dfrac{4\pi r^2}{\frac43\pi r^3} = \dfrac{3}{r}$ : para $r = 1$ a razão é $3$ , e para $r = 2$ ela é $1.5$ — reduzir o tamanho à metade dobra a superfície disponível por unidade de volume produtor de calor. Os corpos pequenos perdem calor depressa: o camundongo precisa comer o tempo todo, o urso pode hibernar, e o bebê — esfera pequena, $\frac Sr$ grande — precisa da touca.

14. $\left(\frac54\right)^3 = \frac{125}{64} \approx 1.95$ : a laranja grande entrega quase o dobro de fruta pelo mesmo preço. Compre raio.

15. A gravura diz: a esfera é $\frac23$ do cilindro em volume e $\frac23$ dele em superfície total — duas proporções exatas e universais ligando o sólido mais redondo ao mais simples. A resposta a Cícero: porque um teorema é o único monumento que nem exércitos nem séculos corroem — as máquinas de Arquimedes arderam com Siracusa, mas os dois terços continuam sendo exatamente dois terços.