Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

29Números decimais

Os décimos e os centésimos apareceram no Capítulo 25; acrescentar mais um nível, os milésimos, completa o sistema decimal. Este capítulo consolida a leitura, a decomposição e — acima de tudo — a comparação de números decimais sem cair nas armadilhas famosas deles.

29.1 Até os milésimos

Definição 29.1 (Casas decimais)

Depois do ponto decimal vêm os décimos, os centésimos, os milésimos — cada um valendo dez vezes menos que o anterior:

4.362 = 4 + \frac{3}{10} + \frac{6}{100} + \frac{2}{1000} = \frac{4\,362}{1000}.

O quadro de valor posicional de 4.362: parte inteira em azul, parte decimal em vermelho, e o ponto entre as unidades e os décimos. — O quadro de valor posicional de $4.362$ : parte inteira em azul, parte decimal em vermelho, e o ponto entre as unidades e os décimos.

Exemplo 29.2 (Várias leituras, um número)

$4.362$ pode ser lido “quatro ponto três seis dois”, ou “quatro inteiros e $362$ milésimos”, ou decomposto como $4 + 0.3 + 0.06 + 0.002$ . E completar com zeros no fim não muda nada: $4.362 = 4.3620$ . Mas $4.362 \neq 4.0362$ : um zero no meio empurra cada algarismo para uma casa menor.

Exemplo 29.3 (Onde ele fica na reta?)

Para marcar $4.362$ : entre $4$ e $5$ ; ampliando, entre $4.3$ e $4.4$ ; ampliando de novo, entre $4.36$ e $4.37$ , mais perto de $4.36$ . Cada algarismo decimal é mais um nível de ampliação.

$Ampliação na reta numérica: o trecho de 4.3 a 4.4, aumentado, é ele próprio cortado em dez centésimos — e 4.362 fica logo depois de 4.36.$

Ampliação na reta numérica: o trecho de

4.3

4.4

, aumentado, é ele próprio cortado em dez centésimos — e

4.362

fica logo depois de

4.36

29.2 Comparar decimais

Método 29.4 (Comparar dois decimais)

Compare as partes inteiras: $6.1 > 5.987$ .
Partes inteiras iguais: compare as partes decimais algarismo por algarismo a partir do ponto — décimos, depois centésimos, depois milésimos;
completar com zeros no fim deixa a comparação justa: $2.5$ contra $2.48$ vira $2.50$ contra $2.48$ , e $50 > 48$ centésimos.

A armadilha, mais uma vez: uma parte decimal mais comprida não significa um número maior — $2.48$ tem mais algarismos que $2.5$ e é menor.

Exemplo 29.5

Ordene $7.3$ ; $7.09$ ; $7.31$ ; $7.299$ . Complete até três casas decimais: $7.300$ ; $7.090$ ; $7.310$ ; $7.299$ . Então

7.09 < 7.299 < 7.3 < 7.31 .

Repare que $7.299 < 7.3$ mesmo com o $299$ parecendo grande: são $299$ milésimos contra $300$ milésimos.

Exemplo 29.6 (Espremer entre dois decimais)

Existe algum número entre $5.7$ e $5.8$ ? Sim, muitos: $5.75$ , $5.71$ , $5.799$ … E entre $5.79$ e $5.8$ ? Também muitos: $5.795$ , para começar. Entre dois decimais diferentes sempre cabe outro — não existe um “próximo” número decimal.

29.3 Arredondar decimais

Definição 29.7 (Arredondamento)

Para arredondar à unidade (ou ao décimo, ou ao centésimo), olhe o algarismo seguinte: $5$ ou mais sobe, caso contrário desce. Assim, $4.362$ arredonda para $4$ (unidade), para $4.4$ (décimo) e para $4.36$ (centésimo).

Exemplo 29.8 (Dinheiro arredonda ao centavo)

Um preço calculado como $7.4983$ aparece como $7.50$ : as quantias da vida real são arredondadas ao centésimo. Repare na cascata: $7.4983 \to 7.50$ , em que o $49$ virou $50$ — o arredondamento pode se propagar por vários algarismos.

29.4 Exercícios

Exercício 29.1 ★

Escreva como número decimal: $5 + \frac{2}{10} + \frac{7}{1000}$ ; $\frac{85}{100}$ ; $\frac{4\,507}{1000}$ ; “doze inteiros e nove milésimos”.

Solução

Solução de Exercício 29.1.

$5.207$ ; $0.85$ ; $4.507$ ; $12.009$ .

Exercício 29.2 ★

Em $27.418$ : o que conta o $4$ ? E o $8$ ? Decomponha o número como na Definição 29.1.

Solução

Solução de Exercício 29.2.

O $4$ conta os décimos e o $8$ , os milésimos:

27.418 = 27 + \frac{4}{10} + \frac{1}{100} + \frac{8}{1000}.

Exercício 29.3 ★

Verdadeiro ou falso? Explique pelas casas. $3.60 = 3.6$ ; $0.5 = 0.05$ ; $2.070 = 2.07$ ; $1.3 = 1.03$ .

Solução

Solução de Exercício 29.3.

$3.60 = 3.6$ : verdadeiro (um zero no fim não acrescenta nada).

$0.5 = 0.05$ : falso — $5$ décimos contra $5$ centésimos.

$2.070 = 2.07$ : verdadeiro.

$1.3 = 1.03$ : falso — $3$ décimos contra $3$ centésimos.

Exercício 29.4 ★

Copie e complete com $<$ , $>$ ou $=$ :

4.8 \;?\; 4.79, \qquad 0.302 \;?\; 0.32, \qquad 6.5 \;?\; 6.500, \qquad 9.09 \;?\; 9.1 .

Solução

Solução de Exercício 29.4.

$4.8 > 4.79$ ; $0.302 < 0.32$ (décimos iguais, centésimos $0 < 2$ ); $6.5 = 6.500$ ; $9.09 < 9.1$ .

Exercício 29.5 ★

Ordene do menor para o maior: $3.14$ ; $3.4$ ; $3.041$ ; $3.104$ ; $3.41$ .

Solução

Solução de Exercício 29.5.

$3.041 < 3.104 < 3.14 < 3.4 < 3.41$ .

Exercício 29.6 ★

Entre quais dois números inteiros fica cada número? E entre quais dois números com uma casa decimal? $6.83$ ; $0.492$ ; $12.06$ .

Solução

Solução de Exercício 29.6.

$6.83$ : entre $6$ e $7$ ; entre $6.8$ e $6.9$ .

$0.492$ : entre $0$ e $1$ ; entre $0.4$ e $0.5$ .

$12.06$ : entre $12$ e $13$ ; entre $12.0$ e $12.1$ .

Exercício 29.7 ★

Arredonde $8.276$ : à unidade; ao décimo; ao centésimo. Arredonde $3.95$ ao décimo.

Solução

Solução de Exercício 29.7.

$8.276$ : à unidade, $8$ ; ao décimo, $8.3$ ; ao centésimo, $8.28$ . E $3.95$ ao décimo: o algarismo dos centésimos é $5$ , então sobe: $4.0$ .

Exercício 29.8 ★

Dê um número estritamente entre: $2.6$ e $2.7$ ; $0.41$ e $0.42$ ; $5.99$ e $6$ .

Solução

Solução de Exercício 29.8.

Por exemplo $2.65$ ; $0.415$ ; $5.995$ . (Há infinitas respostas em cada caso.)

Exercício 29.9 ★

As alturas de quatro plantas são $0.85$ m, $1.2$ m, $0.9$ m e $1.02$ m. Ordene-as da mais baixa para a mais alta.

Solução

Solução de Exercício 29.9.

$0.85 < 0.9 < 1.02 < 1.2$ (em metros).

Exercício 29.10 ★★

Lúcia diz: “ $7.12 > 7.9$ porque $12 > 9$ ”. Corrija o erro dela, comparando primeiro os décimos.

Solução

Solução de Exercício 29.10.

Compare primeiro os décimos: $7.12$ tem $1$ décimo e $7.9$ tem $9$ décimos, logo $7.12 < 7.9$ . Lúcia comparou as partes decimais como números inteiros ( $12$ contra $9$ ), esquecendo que $12$ centésimos é bem menos que $90$ centésimos.

Exercício 29.11 ★★

Encontre todos os números com exatamente dois algarismos decimais que arredondam para $6.4$ ao serem arredondados ao décimo. Quais são o menor e o maior?

Solução

Solução de Exercício 29.11.

Arredondando ao décimo, dá $6.4$ para os números de duas casas decimais de $6.35$ (o meio arredonda para cima) até $6.44$ : os números $6.35$ , $6.36$ , …, $6.44$ . Menor: $6.35$ ; maior: $6.44$ .