Matemática do ensino fundamental · Basisschool en onderbouw

30Calculando com decimais

Os números decimais se somam, se subtraem e se multiplicam quase como os inteiros — toda a arte está em saber onde fica o ponto. Este capítulo cobre as contas armadas e a mágica de multiplicar ou dividir por $10$ , $100$ , $1000$ . (Multiplicar dois decimais entre si espera o Capítulo 38.)

30.1 Somar e subtrair

Método 30.1 (Contas armadas com ponto)

Escreva os números com os pontos decimais alinhados (aí as unidades ficam sob as unidades e os décimos sob os décimos);
complete com zeros a parte decimal mais curta;
some ou subtraia como com números inteiros;
desça o ponto do resultado em linha reta.

Exemplo 30.2

$27.5 + 3.86$ (complete: $27.5 = 27.50$ ):

\begin{array}{r} 2\,7.5\,0 \\ +\ \ \ 3.8\,6 \\ \hline 3\,1.3\,6 \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{r} 1\,2.4\,0 \\ -\ \ \ 5.6\,5 \\ \hline \ \ \,6.7\,5 \end{array}

Na subtração ( $12.4 - 5.65$ ): complete, peça emprestado como sempre e confira somando de volta: $6.75 + 5.65 = 12.4$ .

Exemplo 30.3 (Complementos de cabeça)

Quanto falta somar a $7.6$ para chegar a $10$ ? Suba: de $7.6 \to 8$ falta $0.4$ , e de $8 \to 10$ faltam $2$ : o complemento é $2.4$ . Útil para o troco: pague $10$ por um artigo de $7.60$ e receba $2.40$ .

30.2 Dez vezes maior, dez vezes menor

Proposição 30.4 (Vezes e dividido por 10, 100, 1000)

Multiplicar por $10$ faz cada algarismo valer dez vezes mais: os algarismos deslizam uma casa para a esquerda — o que parece ser o ponto andando uma casa para a direita. Dividir faz o contrário:

3.47 \times 10 = 34.7, \qquad 3.47 \times 100 = 347, \qquad 52.1 \div 10 = 5.21, \qquad 6 \div 100 = 0.06 .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Multiplicar por 10: cada algarismo sobe uma casa para a esquerda. O ponto não anda de verdade — quem anda são os algarismos. — Multiplicar por $10$ : cada algarismo sobe uma casa para a esquerda. O ponto não anda de verdade — quem anda são os algarismos.

Exemplo 30.5 (Conversões, de novo)

As unidades de medida estão a potências de dez umas das outras, então as conversões são exatamente esses deslocamentos: $2.35$ m $= 235$ cm ( $\times 100$ ); $470$ g $= 0.47$ kg ( $\div 1000$ ); $1.5$ L $= 150$ cL.

30.3 Multiplicar um decimal por um número inteiro

Método 30.6 (Decimal vezes inteiro)

Calcule como se não houvesse ponto e depois dê ao resultado tantos algarismos decimais quantos tem o fator decimal:

4.35 \times 6: \quad 435 \times 6 = 2\,610 \ \to\ 4.35 \times 6 = 26.10 = 26.1 .

Estime para pôr o ponto com segurança: $4.35$ está perto de $4$ , e $4 \times 6 = 24$ — logo $26.1$ , e não $2.61$ nem $261$ .

Exemplo 30.7 (A adição repetida continua valendo)

$0.75 \times 4 = 0.75 + 0.75 + 0.75 + 0.75 = 3$ : quatro quartos fazem um inteiro, com roupa decimal. Multiplicar por um número inteiro continua sendo “tantas vezes”.

Exemplo 30.8 (Compras)

Três cadernos a $2.45$ cada um e uma caneta a $1.20$ :

cadernos: $2.45 \times 3 = 7.35$ ;
total: $7.35 + 1.20 = 8.55$ ;
troco de $10$ : $10 - 8.55 = 1.45$ .

30.4 Exercícios

Exercício 30.1 ★

Arme a conta e calcule: $45.7 + 8.93$ ; $16.25 + 3.75$ ; $0.86 + 12.4$ .

Solução

Solução de Exercício 30.1.

$45.7 + 8.93 = 54.63$ ; $16.25 + 3.75 = 20$ ; $0.86 + 12.4 = 13.26$ .

Exercício 30.2 ★

Arme a conta e confira: $9.4 - 2.72$ ; $20 - 13.45$ ; $6.03 - 5.9$ .

Solução

Solução de Exercício 30.2.

$9.4 - 2.72 = 6.68$ (confere: $6.68 + 2.72 = 9.4$ ).

$20 - 13.45 = 6.55$ (confere: $6.55 + 13.45 = 20$ ).

$6.03 - 5.9 = 0.13$ .

Exercício 30.3 ★

Complementos de $10$ , de cabeça (como no Exemplo 30.3): $6.2$ ; $3.75$ ; $9.99$ .

Solução

Solução de Exercício 30.3.

$6.2 \to 10$ : $3.8$ . $3.75 \to 10$ : $6.25$ . $9.99 \to 10$ : $0.01$ .

Exercício 30.4 ★

Calcule sem armar a conta:

7.24 \times 10, \qquad 0.58 \times 100, \qquad 34.5 \div 10, \qquad 7 \div 100, \qquad 0.3 \times 1000 .

Solução

Solução de Exercício 30.4.

$72.4$ ; $58$ ; $3.45$ ; $0.07$ ; $300$ .

Exercício 30.5 ★

Converta: $4.05$ m em cm; $325$ cm em m; $0.6$ kg em g; $85$ cL em L.

Solução

Solução de Exercício 30.5.

$4.05$ m $= 405$ cm; $325$ cm $= 3.25$ m; $0.6$ kg $= 600$ g; $85$ cL $= 0.85$ L.

Exercício 30.6 ★

Estime primeiro e depois calcule: $6.2 \times 4$ ; $3.45 \times 8$ ; $12.5 \times 6$ .

Solução

Solução de Exercício 30.6.

$6.2 \times 4$ : estimativa $24$ ; exatamente $24.8$ .

$3.45 \times 8$ : estimativa $28$ ( $3.5 \times 8$ ); exatamente $27.6$ .

$12.5 \times 6$ : estimativa $75$ ; exatamente $75$ .

Exercício 30.7 ★

Uma volta na pista mede $0.4$ km. Quanto são $7$ voltas? E $25$ voltas?

Solução

Solução de Exercício 30.7.

$7$ voltas: $0.4 \times 7 = 2.8$ km. $25$ voltas: $0.4 \times 25 = 10$ km.

Exercício 30.8 ★

Lia compra $2$ pães franceses a $1.15$ cada um e um bolo a $12.60$ . Ela paga com uma nota de $20$ . Calcule o total e o troco dela.

Solução

Solução de Exercício 30.8.

Pães: $1.15 \times 2 = 2.30$ . Total: $2.30 + 12.60 = 14.90$ . Troco: $20 - 14.90 = 5.10$ .

Exercício 30.9 ★

Uma garrafa leva $1.5$ L. Quantos litros há num pacote de $6$ garrafas? Uma família bebe $0.75$ L por dia: para quantos dias dura um pacote? (Quantas vezes $0.75$ cabe em $9$ ?)

Solução

Solução de Exercício 30.9.

Pacote: $1.5 \times 6 = 9$ L. Dias: $0.75 + 0.75 = 1.5$ L a cada dois dias, então $9$ L duram $12$ dias (doze porções de $0.75$ : $12 \times 0.75 = 9$ ).

Exercício 30.10 ★★

Milo calcula $5.6 \times 3 = 15.18$ , raciocinando “ $5 \times 3 = 15$ e $6 \times 3 = 18$ ”. Use uma estimativa para mostrar que a resposta tem de estar errada e depois calcule corretamente.

Solução

Solução de Exercício 30.10.

Estimativa: $5.6$ é mais que $5.5$ , e $5.5 \times 3 = 16.5$ — então o produto tem de ser mais que $16.5$ , e $15.18$ é pequeno demais. Corretamente: $56 \times 3 = 168$ , com um algarismo decimal, logo $5.6 \times 3 = 16.8$ . Milo colou os dois produtos parciais ( $15$ e $18$ ) lado a lado em vez de somá-los com as casas certas: $15 + 1.8 = 16.8$ .

Exercício 30.11 ★★

As quatro voltas de uma corredora levaram $65.4$ s, $64.9$ s, $65.0$ s e $66.1$ s.

Calcule o tempo total das quatro voltas.
O recorde das quatro voltas é $260$ s. Ela o bateu? Por quanto?

Solução

Solução de Exercício 30.11.

1. $65.4 + 64.9 + 65.0 + 66.1 = 261.4$ s.

2. $261.4 > 260$ : ela não bateu o recorde; ficou $1.4$ s acima dele.