Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

21Números grandes

Os milhares eram o teto do Capítulo 14; agora o teto sobe até os milhões. O truque que torna os números enormes legíveis é cortar os seus algarismos em grupos de três — as classes.

21.1 Classes de três algarismos

Definição 21.1 (Classes)

A partir da direita, os algarismos de um número são agrupados em classes de três: a classe das unidades, a classe dos milhares, a classe dos milhões. Cada classe tem as suas próprias unidades, dezenas e centenas. Por exemplo,

6\,309\,452 = 6 \text{ milhões} + 309 \text{ milhares} + 452 \text{ unidades},

que se lê “seis milhões trezentos e nove mil quatrocentos e cinquenta e dois”.

O quadro de classes de 6\,309\,452 (c = centenas, d = dezenas, u = unidades de cada classe). Ler um número grande é ler cada classe, seguida do nome dela. — O quadro de classes de $6\,309\,452$ (c $=$ centenas, d $=$ dezenas, u $=$ unidades de cada classe). Ler um número grande é ler cada classe, seguida do nome dela.

Exemplo 21.2 (Escrever com as classes)

“Doze milhões quarenta mil e quinhentos” tem $12$ na classe dos milhões, $040$ na classe dos milhares e $500$ na classe das unidades:

12\,040\,500 .

Os zeros de $040$ são essenciais: cada classe (exceto a mais à esquerda) tem de mostrar os seus três algarismos.

Exemplo 21.3 (Quantos milhares?)

O número $6\,309\,452$ contém $6\,309$ milhares (tudo o que está à esquerda da classe das unidades): $6\,309\,452 = 6\,309 \times 1\,000 + 452$ . Perguntar “quantos milhares” não é pedir um algarismo, e sim todo um começo do número.

21.2 Comparar e arredondar

Método 21.4 (Comparar números grandes)

Exatamente como no Método 14.4, com as classes servindo de atalho: mais algarismos vence; com a mesma quantidade de algarismos, compare da esquerda para a direita — classe por classe e depois algarismo por algarismo.

Exemplo 21.5

$2\,145\,890$ e $2\,148\,540$ : os milhões são iguais ( $2$ ) e, na classe dos milhares, $145 < 148$ , logo

2\,145\,890 < 2\,148\,540 .

Definição 21.6 (Arredondamento)

Arredondar um número para o milhar mais próximo (ou para a dezena, a centena, o milhão …) é substituí-lo pelo múltiplo de $1\,000$ mais próximo. Se o número estiver exatamente no meio, arredonde para cima. Na prática: olhe o algarismo imediatamente abaixo da casa de arredondamento — $5$ ou mais sobe, $4$ ou menos desce.

Exemplo 21.7

$37\,614$ arredondado para o milhar mais próximo: o algarismo das centenas é $6$ , então sobe: $38\,000$ . Para a centena mais próxima: $37\,600$ . Para a dezena de milhar mais próxima: $40\,000$ .

Arredondar 37\,614 para o milhar mais próximo: ele passa da marca do meio, 37\,500, então sobe para 38\,000. — Arredondar $37\,614$ para o milhar mais próximo: ele passa da marca do meio, $37\,500$ , então sobe para $38\,000$ .

Exemplo 21.8 (Ordens de grandeza no mundo)

É assim que os números grandes são de fato usados: um país de $67\,842\,591$ habitantes tem “cerca de $68$ milhões”; uma cidade de $214\,376$ pessoas tem “cerca de $200\,000$ ”. O número exato muda todo dia, de qualquer maneira — é o arredondado que carrega a informação útil.

21.3 Exercícios

Exercício 21.1 ★

Escreva em algarismos, com as classes separadas: “três milhões quinhentos e vinte mil”; “sete milhões e oito”; “duzentos e quarenta mil e sessenta”.

Solução

Solução de Exercício 21.1.

$3\,520\,000$ ; $7\,000\,008$ ; $240\,060$ .

Exercício 21.2 ★

Escreva por extenso: $5\,204\,300$ ; $10\,050\,000$ ; $999\,999$ .

Solução

Solução de Exercício 21.2.

$5\,204\,300$ : cinco milhões duzentos e quatro mil e trezentos.

$10\,050\,000$ : dez milhões e cinquenta mil.

$999\,999$ : novecentos e noventa e nove mil novecentos e noventa e nove.

Exercício 21.3 ★

Em $8\,472\,156$ : qual é o algarismo das dezenas de milhar? E o das centenas da classe dos milhões? Quantos milhares o número contém (veja o Exemplo 21.3)?

Solução

Solução de Exercício 21.3.

Dezenas de milhar: $7$ . Centenas da classe dos milhões: num número de sete algarismos não há algarismo de centenas de milhão — a classe dos milhões de $8\,472\,156$ contém apenas o algarismo $8$ (unidades de milhão). Milhares contidos: $8\,472$ (pois $8\,472\,156 = 8\,472 \times 1\,000 + 156$ ).

Exercício 21.4 ★

Copie e complete com $<$ ou $>$ :

980\,000 \;?\; 1\,020\,000, \qquad 3\,456\,000 \;?\; 3\,465\,000, \qquad 7\,090\,050 \;?\; 7\,090\,500 .

Solução

Solução de Exercício 21.4.

$980\,000 < 1\,020\,000$ ; $3\,456\,000 < 3\,465\,000$ (classe dos milhares $456 < 465$ ); $7\,090\,050 < 7\,090\,500$ .

Exercício 21.5 ★

Ordene do menor para o maior: $2\,300\,000$ ; $980\,500$ ; $2\,030\,000$ ; $2\,299\,999$ .

Solução

Solução de Exercício 21.5.

$980\,500 < 2\,030\,000 < 2\,299\,999 < 2\,300\,000$ .

Exercício 21.6 ★

Arredonde $63\,782$ : para a dezena mais próxima; para a centena; para o milhar; para a dezena de milhar.

Solução

Solução de Exercício 21.6.

Para a dezena: $63\,780$ . Para a centena: $63\,800$ . Para o milhar: $64\,000$ . Para a dezena de milhar: $60\,000$ .

Exercício 21.7 ★

Arredonde para o milhão mais próximo: $4\,721\,000$ ; $6\,499\,999$ ; $9\,500\,000$ .

Solução

Solução de Exercício 21.7.

$5\,000\,000$ ; $6\,000\,000$ (os $499\,999$ não chegam a meio milhão); $10\,000\,000$ (exatamente no meio, arredonda para cima).

Exercício 21.8 ★

Conte por etapas: três etapas de $1\,000$ a partir de $998\,500$ ; duas etapas de $100\,000$ a partir de $950\,000$ . O que acontece com as classes quando você atravessa o milhão?

Solução

Solução de Exercício 21.8.

$998\,500 \to 999\,500 \to 1\,000\,500 \to 1\,001\,500$ : a segunda etapa atravessa o milhão, e uma classe nova se acende à esquerda.

$950\,000 \to 1\,050\,000 \to 1\,150\,000$ : a mesma travessia, já na primeira etapa.

Exercício 21.9 ★

Um estádio comporta $81\,338$ espectadores. Um jornal escreve “mais de $80\,000$ torcedores”; uma rádio diz “cerca de $81\,000$ ”. Os dois estão certos? Para que casa cada um arredondou?

Solução

Solução de Exercício 21.9.

Os dois estão certos. “Mais de $80\,000$ ” arredonda para baixo até a dezena de milhar ( $81\,338 \to 80\,000$ ); “cerca de $81\,000$ ” arredonda para o milhar mais próximo ( $81\,338 \to 81\,000$ ).

Exercício 21.10 ★★

Usando cada um dos algarismos de $1$ a $7$ exatamente uma vez, escreva o maior número possível de sete algarismos, o menor, e o mais próximo de $4\,000\,000$ .

Solução

Solução de Exercício 21.10.

Maior: $7\,654\,321$ . Menor: $1\,234\,567$ . Mais próximo de $4\,000\,000$ : por baixo, o melhor é $3\,765\,421$ , que fica a $234\,579$ ; por cima, $4\,123\,567$ fica a apenas $123\,567$ : o mais próximo é $4\,123\,567$ .

Exercício 21.11 ★★

Qual é o maior número inteiro que, arredondado para o milhar mais próximo, dá $50\,000$ ? E o menor?

Solução

Solução de Exercício 21.11.

Arredondando para o milhar mais próximo, dá $50\,000$ para todos os números de $49\,500$ (o meio arredonda para cima) até $50\,499$ . Maior: $50\,499$ ; menor: $49\,500$ .