Matemática do ensino fundamental · कक्षा 1–9

40Retas, círculos e ângulos

A geometria começa com régua, esquadro e compasso. Este capítulo fixa o vocabulário — pontos, segmentos, semirretas, retas, círculos —, apresenta as duas posições especiais de retas (paralelas e perpendiculares) e ensina a medir e a traçar ângulos.

40.1 Pontos, segmentos, retas

Definição 40.1 (Objetos básicos)

Por dois pontos distintos $A$ e $B$ passam:

o segmento $[AB]$ : a parte da reta entre $A$ e $B$ (tem um comprimento, escrito $AB$ );
a semirreta $[AB)$ : começa em $A$ , passa por $B$ e continua para sempre;
a reta $(AB)$ : prolonga-se para sempre nos dois sentidos. Dois pontos determinam exatamente uma reta.

Pontos que estão numa mesma reta são chamados de colineares.

Os mesmos dois pontos, três objetos diferentes. Os parênteses e colchetes dizem o que para e o que continua: [ para, ( continua. — Os mesmos dois pontos, três objetos diferentes. Os parênteses e colchetes dizem o que para e o que continua: $[$ para, $($ continua.

40.2 Retas paralelas e perpendiculares

Definição 40.2 (Perpendiculares, paralelas)

Duas retas são perpendiculares quando se cruzam formando um ângulo reto; escrevemos $d_1 \perp d_2$ e marcamos o ângulo reto com um quadradinho. Duas retas são paralelas quando nunca se encontram, por mais que sejam prolongadas; escrevemos $d_1 \parallel d_2$ .

Um cruzamento em ângulo reto (marcado com o quadradinho) e duas paralelas: mesma direção, nenhum ponto de cruzamento.

Proposição 40.3 (Dois fatos úteis)

Se duas retas são ambas perpendiculares a uma terceira reta, elas são paralelas entre si.
Se duas retas são paralelas, toda reta perpendicular a uma é perpendicular à outra.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Método 40.4 (Traçar com o esquadro)

Para traçar a perpendicular a uma reta $d$ passando por um ponto $P$ :

apoie uma das bordas do ângulo reto do esquadro sobre $d$ ;
deslize o esquadro ao longo de $d$ até a outra borda alcançar $P$ ;
trace a reta ao longo dessa borda e marque o ângulo reto.

Para uma paralela por $P$ : trace uma perpendicular a $d$ e depois a perpendicular a essa reta passando por $P$ (Proposição 40.3).

40.3 Círculos

Definição 40.5 (Círculo)

O círculo de centro $O$ e raio $r$ é o conjunto de todos os pontos que estão à distância exatamente $r$ de $O$ . Um segmento do centro até o círculo é um raio; um segmento que liga dois pontos do círculo passando pelo centro é um diâmetro — o comprimento dele é $2r$ ; um segmento que liga dois pontos do círculo é uma corda.

Um círculo com um raio [OM], um diâmetro [AB] (uma corda que passa pelo centro, com o dobro do comprimento do raio) e uma corda [CD]. — Um círculo com um raio $[OM]$ , um diâmetro $[AB]$ (uma corda que passa pelo centro, com o dobro do comprimento do raio) e uma corda $[CD]$ .

Exemplo 40.6

“Trace o círculo de centro $O$ que passa por $A$ ”: abra o compasso de $O$ até $A$ — o raio é a distância $OA$ — e gire. Todo ponto desse círculo está à mesma distância de $O$ que $A$ .

40.4 Ângulos

Definição 40.7 (Ângulo)

Duas semirretas $[AB)$ e $[AC)$ com o mesmo ponto de partida $A$ formam o ângulo $\widehat{BAC}$ ; o ponto $A$ é o vértice dele (sempre a letra do meio!). Os ângulos são medidos em graus ( $^\circ$ ), de $0^\circ$ a $360^\circ$ para uma volta completa. Um ângulo é:

reto se mede $90^\circ$ ;
agudo se mede menos que $90^\circ$ ;
obtuso se mede entre $90^\circ$ e $180^\circ$ ;
raso se mede $180^\circ$ (as duas semirretas formam uma reta).

As quatro famílias de ângulos. O ângulo reto (90) é a referência: agudo quer dizer menor; obtuso, maior. — As quatro famílias de ângulos. O ângulo reto ( $90^\circ$ ) é a referência: agudo quer dizer menor; obtuso, maior.

Método 40.8 (Medir um ângulo com o transferidor)

Ponha o centro do transferidor exatamente sobre o vértice do ângulo;
alinhe a linha de $0^\circ$ dele com um dos lados do ângulo;
leia a graduação atravessada pelo outro lado — usando a escala que começa em $0$ no lado alinhado;
confira com o olho: um ângulo agudo tem de dar menos que $90^\circ$ , e um obtuso, mais.

Exemplo 40.9

Antes de medir, estime! Um ângulo um pouco mais aberto que o canto de uma folha de papel tem pouco mais de $90^\circ$ ; a metade de um ângulo reto é $45^\circ$ ; um terço de um ângulo reto é $30^\circ$ . Se o seu transferidor diz $150^\circ$ para um ângulo que parece agudo, você leu a escala errada: a medida correta é $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ .

40.5 Exercícios

Exercício 40.1 ★

Marque três pontos $A$ , $B$ , $C$ não colineares. Trace com cores diferentes: o segmento $[AB]$ , a semirreta $[CA)$ e a reta $(BC)$ .

Solução

Solução de Exercício 40.1.

Construção livre. O segmento para em $A$ e em $B$ ; a semirreta começa em $C$ e continua além de $A$ ; a reta continua dos dois lados de $B$ e $C$ .

Exercício 40.2 ★

Verdadeiro ou falso? “ $[AB]$ e $[BA]$ são o mesmo segmento.” “ $[AB)$ e $[BA)$ são a mesma semirreta.” “ $(AB)$ e $(BA)$ são a mesma reta.” Explique cada resposta.

Solução

Solução de Exercício 40.2.

“ $[AB] = [BA]$ ”: verdadeiro — a parte entre os dois pontos não depende da ordem.

“ $[AB) = [BA)$ ”: falso — $[AB)$ começa em $A$ e $[BA)$ começa em $B$ ; elas apontam em sentidos opostos.

“ $(AB) = (BA)$ ”: verdadeiro — os dois nomes descrevem a mesma reta ilimitada.

Exercício 40.3 ★

Trace uma reta $d$ e um ponto $P$ fora de $d$ . Construa com o esquadro: a perpendicular a $d$ por $P$ e depois a paralela a $d$ por $P$ . Descreva os seus passos.

Solução

Solução de Exercício 40.3.

Passos: deslize o esquadro ao longo de $d$ até a borda perpendicular passar por $P$ ; trace essa perpendicular e chame-a de $p$ . Depois trace do mesmo jeito a perpendicular a $p$ por $P$ : pela Proposição 40.3, ela é paralela a $d$ .

Exercício 40.4 ★

As retas $a$ e $b$ são ambas perpendiculares a uma reta $c$ , e uma quarta reta $e$ é perpendicular a $a$ . O que você pode dizer sobre $a$ e $b$ ? E sobre $e$ e $c$ ? Justifique com a Proposição 40.3.

Solução

Solução de Exercício 40.4.

$a$ e $b$ são ambas perpendiculares à mesma reta $c$ , logo $a \parallel b$ (fato 1). Quanto a $e$ e $c$ : as duas são perpendiculares à mesma reta $a$ (é dado que $e \perp a$ , e $a \perp c$ também significa $c \perp a$ ), então o fato 1 se aplica de novo: $e \parallel c$ .

Exercício 40.5 ★

Trace um círculo de centro $O$ e raio $3$ cm. Marque um ponto $M$ sobre o círculo, um ponto $N$ dentro e um ponto $P$ fora. O que você pode dizer sobre as distâncias $OM$ , $ON$ , $OP$ em comparação com $3$ cm?

Solução

Solução de Exercício 40.5.

$OM = 3$ cm exatamente ( $M$ está sobre o círculo); $ON < 3$ cm ( $N$ está dentro); $OP > 3$ cm ( $P$ está fora).

Exercício 40.6 ★

Um círculo tem diâmetro $9$ cm. Qual é o raio dele? Outro tem raio $2.6$ cm: qual é o diâmetro?

Solução

Solução de Exercício 40.6.

Raio $= 9 \div 2 = 4.5$ cm. Diâmetro $= 2 \times 2.6 = 5.2$ cm.

Exercício 40.7 ★

Nomeie o ângulo marcado com três letras e depois classifique-o (agudo, reto, obtuso, raso): um ângulo de $72^\circ$ com vértice $R$ entre semirretas para $S$ e $T$ ; um ângulo de $148^\circ$ com vértice $B$ entre semirretas para $A$ e $C$ ; um ângulo de $90^\circ$ com vértice $O$ entre semirretas para $M$ e $N$ .

Solução

Solução de Exercício 40.7.

$\widehat{SRT} = 72^\circ$ : agudo. $\widehat{ABC} = 148^\circ$ : obtuso. $\widehat{MON} = 90^\circ$ : reto. (O vértice é sempre a letra do meio.)

Exercício 40.8 ★

Estime e depois meça com o transferidor os três ângulos de um triângulo traçado por você. Some as três medidas: o que você encontra? (Guarde a sua resposta para o Capítulo 51.)

Solução

Solução de Exercício 40.8.

As medidas dependem do triângulo traçado, mas a soma dos três ângulos é sempre (bem perto de) $180^\circ$ — as pequenas diferenças vêm da imprecisão da medição. O Capítulo 51 demonstra que a soma é exatamente $180^\circ$ .

Exercício 40.9 ★

Trace um ângulo $\widehat{xOy}$ de $65^\circ$ com o transferidor e depois um ângulo de $130^\circ$ . Como você conseguiria o segundo a partir do primeiro sem o transferidor?

Solução

Solução de Exercício 40.9.

Construção livre. Para obter $130^\circ$ a partir de $65^\circ$ sem o transferidor: copie o ângulo de $65^\circ$ duas vezes, lado a lado ( $65 + 65 = 130$ ), por exemplo com papel vegetal ou com uma cópia de ângulo feita a régua e compasso.

Exercício 40.10 ★★

Dois vilarejos $A$ e $B$ estão marcados num mapa. Onde ficam os pontos que estão a $3$ cm de $A$ e a $2$ cm de $B$ ? Faça um desenho mostrando quantos pontos desses pode haver ( $0$ , $1$ ou $2$ , conforme a distância $AB$ ).

Solução

Solução de Exercício 40.10.

Os pontos a $3$ cm de $A$ formam o círculo de centro $A$ e raio $3$ cm; os que estão a $2$ cm de $B$ formam o círculo de centro $B$ e raio $2$ cm. Os pontos procurados são as interseções dos dois círculos: dois pontos se os círculos se cruzam ( $AB$ estritamente entre $1$ e $5$ cm), um se eles se tocam ( $AB = 5$ cm ou $AB = 1$ cm), e nenhum se estão longe demais ou um dentro do outro.

Exercício 40.11 ★★

Um relógio marca 3 horas: qual é o ângulo entre os dois ponteiros? A mesma pergunta às 5 horas e às 6 horas. (Uma volta completa é $360^\circ$ para $12$ horas.)

Solução

Solução de Exercício 40.11.

As $12$ marcas das horas dividem a volta completa em $12$ ângulos de $360 \div 12 = 30^\circ$ . Às 3 horas os ponteiros abrangem $3$ marcas: $90^\circ$ (um ângulo reto). Às 5 horas: $5 \times 30 = 150^\circ$ . Às 6 horas: $180^\circ$ (um ângulo raso).

Exercício 40.12 ★★★

Trace um segmento $[AB]$ de $6$ cm. Construa o ponto $C$ tal que $AC = BC = 6$ cm, usando apenas o compasso, e meça o ângulo $\widehat{CAB}$ . Que triângulo você construiu, e o que você conjectura sobre os ângulos dele?

Solução

Solução de Exercício 40.12.

Trace dois arcos de raio $6$ cm com centros em $A$ e em $B$ ; o ponto de cruzamento deles é $C$ . Os três lados medem $6$ cm: o triângulo é equilátero, e cada ângulo mede $60^\circ$ (a medição confirma). Conjectura: um triângulo equilátero tem três ângulos iguais de $60^\circ$ .

40.6 Problema: a geometria do mostrador do relógio

Problema 40.1

Problema de fim de semana — ângulos como frações de volta: lê-los no relógio, caçar os momentos em que os ponteiros se encontram e fatiar um dia numa pizza

O relógio é um transferidor que diz as horas: o mostrador dele é uma volta completa de $360^\circ$ , cortada pelas doze marcas das horas em doze ângulos iguais. O Exercício 40.11 mediu os ponteiros às 3 horas e às 6 horas; este problema constrói a teoria completa — incluindo os horários em que nenhum ponteiro aponta para uma marca —, responde a uma pergunta que poucos adultos acertam (“quantas vezes os dois ponteiros ficam exatamente um sobre o outro?”) e termina fatiando um dia inteiro num gráfico de pizza.

Parte I — Frações de volta.

Uma volta completa mede $360^\circ$ . Quantos graus são meia volta, um quarto de volta, um doze avos de volta?
As doze marcas das horas cortam o mostrador em doze ângulos iguais no centro. Quantos graus entre duas marcas vizinhas? Recupere a resposta do Exercício 40.11 para as 3 horas contando marcas.
Dê o ângulo entre os ponteiros à 1 hora, às 4 horas e às 7 horas. (Às 7 horas os ponteiros separam o mostrador em dois ângulos; “o ângulo entre os ponteiros” sempre significa o menor deles.)
O ponteiro dos minutos dá uma volta completa em $60$ minutos. Quantos graus ele varre por minuto?
O ponteiro das horas vai de uma marca à seguinte — $30^\circ$ — em $60$ minutos. Quantos graus ele varre por minuto? (Um número decimal, Capítulo 38.)

Parte II — Horários em que nada aponta para uma marca.

Às 3:30, o ponteiro dos minutos aponta para o $6$ . Onde está exatamente o ponteiro das horas? Calcule o ângulo de cada ponteiro a partir do $12$ (medindo no sentido horário) e deduza o ângulo entre os ponteiros.
Às 6:30, muita gente acha que os ponteiros estão um sobre o outro. Chute primeiro e depois calcule o ângulo como na questão 6. Quem estava certo?
Calcule o ângulo entre os ponteiros às 9:15.
Explique por que, em algum instante entre 1:00 e 1:10, os dois ponteiros têm de estar exatamente um sobre o outro: onde está o ponteiro dos minutos em relação ao das horas à 1:00, e onde está à 1:10? Que ponteiro corre mais depressa, e por que isso resolve a questão?
Em doze horas, quantas vezes os dois ponteiros ficam exatamente um sobre o outro? (Um encontro acontece em cada trecho entre horas sucessivas — com uma exceção: o que acontece entre 11 e 12? Liste os horários aproximados dos encontros e conte.) E num dia inteiro?

Parte III — Ângulos em torno de um ponto: gráficos de pizza.

Os doze setores do mostrador juntos preenchem o mostrador: os ângulos deles somam $360^\circ$ . Explique por que isso vale para qualquer coleção de ângulos que compartilhem um vértice e preencham uma volta completa em torno dele, sem sobreposição e sem falha.
Zoe registra o dia dela, de $24$ horas: sono $9$ h, escola $6$ h, brincadeira $3$ h, refeições $2$ h, todo o resto $4$ h. Ela quer um gráfico de pizza: um disco em que cada atividade ganha um setor, com ângulos proporcionais aos tempos. Que fração do dia é cada atividade, e quantos graus ganha o setor dela? Confira que os cinco ângulos somam $360^\circ$ .
Descreva, passo a passo, como traçar o gráfico de pizza de Zoe com compasso e transferidor (Método 40.8): para onde vai o primeiro raio e como cada setor novo começa onde o anterior termina.
Em outro gráfico de pizza de um dia, um setor mede exatamente $90^\circ$ . Que fração do disco é essa, e quantas horas ela representa?
O grande final, de volta ao relógio: em $24$ horas, quantas voltas completas dá o ponteiro das horas? E o dos minutos? E o dos segundos? (Uma dessas respostas passa de mil.)

Solução

Solução de Problema 40.1.

1. Meia volta: $360 \div 2 = 180^\circ$ . Um quarto: $360 \div 4 = 90^\circ$ . Um doze avos: $360 \div 12 = 30^\circ$ .

2. Doze ângulos iguais preenchendo $360^\circ$ : $30^\circ$ entre marcas vizinhas. Às 3 horas os ponteiros abrangem $3$ marcas: $3 \times 30 = 90^\circ$ — um ângulo reto, como no Exercício 40.11.

3. À 1 hora: $1 \times 30 = 30^\circ$ . Às 4 horas: $4 \times 30 = 120^\circ$ . Às 7 horas os ponteiros abrangem $7$ marcas de um lado, $7 \times 30 = 210^\circ$ , então o ângulo entre eles é o do outro lado: $360 - 210 = 150^\circ$ .

4. $360^\circ$ em $60$ minutos: $360 \div 60 = 6^\circ$ por minuto.

5. $30^\circ$ em $60$ minutos: $30 \div 60 = 0.5^\circ$ por minuto — meio grau. O ponteiro das horas se arrasta; o dos minutos avança a passos largos.

6. Nos $30$ minutos desde as 3:00, o ponteiro das horas andou $30 \times 0.5 = 15^\circ$ além do $3$ : ele fica exatamente no meio, entre o $3$ e o $4$ , a $90 + 15 = 105^\circ$ do $12$ . O ponteiro dos minutos aponta para o $6$ : $180^\circ$ . Ângulo entre os ponteiros: $180 - 105 = 75^\circ$ .

7. A conta vence o chute: o ponteiro dos minutos está a $180^\circ$ , mas o das horas já deixou o $6$ — ele está a $6 \times 30 + 30 \times 0.5 = 180 + 15 = 195^\circ$ . O ângulo entre os ponteiros é $195 - 180 = 15^\circ$ : perto, mas não um sobre o outro.

8. Ponteiro dos minutos no $3$ : $90^\circ$ . Ponteiro das horas: $9 \times 30 + 15 \times 0.5 = 270 + 7.5 = 277.5^\circ$ . Diferença: $277.5 - 90 = 187.5^\circ$ , então o ângulo entre os ponteiros é $360 - 187.5 = 172.5^\circ$ — quase um ângulo raso.

9. À 1:00 o ponteiro dos minutos ( $0^\circ$ ) está atrás do das horas ( $30^\circ$ ). À 1:10 o ponteiro dos minutos ( $60^\circ$ ) está à frente dele ( $30 + 10 \times 0.5 = 35^\circ$ ). O ponteiro dos minutos corre mais depressa ( $6^\circ$ por minuto contra $0.5^\circ$ ), então entre 1:00 e 1:10 ele alcança e ultrapassa o das horas — no instante da ultrapassagem, os dois ponteiros estão exatamente um sobre o outro.

10. A mesma perseguição se repete: os ponteiros se encontram às 12:00 em ponto e depois por volta de 1:05, 2:11, 3:16, 4:22, 5:27, 6:33, 7:38, 8:44, 9:49 e 10:55. O encontro que se esperaria entre 11 e 12 cai exatamente às 12:00, que já começa a rodada seguinte — então, em doze horas, os ponteiros coincidem $11$ vezes, e não $12$ . Num dia inteiro: $22$ vezes.

11. Ângulos que compartilham um vértice, sem sobreposição e sem falha, ladrilham a volta completa em torno desse vértice: varrer uma vez em torno do ponto atravessa cada ângulo exatamente uma vez, e uma varredura completa é $360^\circ$ . Logo as medidas somam $360^\circ$ — qualquer que seja a quantidade de ângulos e o tamanho deles.

12. Cada hora do dia vale $360 \div 24 = 15^\circ$ . Assim:

\text{sono } 9 \times 15 = 135^\circ, \quad \text{escola } 90^\circ, \quad \text{brincadeira } 45^\circ, \quad \text{refeições } 30^\circ, \quad \text{resto } 60^\circ,

e $135 + 90 + 45 + 30 + 60 = 360^\circ$ : a pizza está completa, sem falha e sem sobreposição (questão 11).

13. Trace um círculo com o compasso e um raio (a linha de partida). Ponha o centro do transferidor sobre o centro do círculo, a linha de $0^\circ$ sobre o raio, e marque $135^\circ$ ; trace o novo raio: o setor do sono está pronto. Depois ponha a linha de $0^\circ$ sobre esse raio e marque $90^\circ$ para a escola, e assim por diante — cada setor começa onde o anterior termina. Depois do último setor, o desenho se fecha exatamente sobre o raio de partida.

14. $90^\circ$ é $\frac{90}{360} = \frac14$ do disco (Método 39.7), então representa um quarto do dia: $24 \div 4 = 6$ horas.

15. O ponteiro das horas dá uma volta em $12$ horas: $2$ voltas por dia. O dos minutos, uma volta por hora: $24$ voltas. O dos segundos, uma volta por minuto: $24 \times 60 = 1\,440$ voltas por dia.