Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

50Organizando dados

Antes de calcular qualquer coisa, os dados precisam ser coletados, contados e apresentados. Este capítulo trata de transformar uma lista bagunçada de observações numa tabela ou numa imagem clara: frequências absolutas e relativas, dados agrupados, gráficos de barras e gráficos de setores. Resumir dados por um único número (média, mediana) é assunto do Capítulo 71.

50.1 Frequências absolutas e relativas

Definição 50.1 (Frequência absoluta e relativa)

Para cada valor possível de uma pesquisa, a frequência absoluta dele é o número de vezes que ele aparece; a frequência relativa é a frequência absoluta dividida pelo número total de observações:

\text{frequência relativa} = \frac{\text{frequência absoluta}}{\text{total}} .

As frequências relativas podem ser escritas como frações, decimais ou porcentagens, e somam sempre $1$ (ou seja, $100\,\%$ ).

Exemplo 50.2

Esporte preferido dos $25$ alunos de uma turma, da lista bruta à tabela:

esporte	futebol	natação	tênis	judô	total
freq. absoluta	$10$	$6$	$5$	$4$	$25$
freq. relativa	$0.40$	$0.24$	$0.20$	$0.16$	$1$

Para o futebol: $\frac{10}{25} = \frac{40}{100} = 0.40 = 40\,\%$ . A linha das frequências relativas tem de somar $1$ — uma conferência permanente e gratuita.

Observação 50.3 (Por que frequências relativas?)

Frequências absolutas não podem ser comparadas entre grupos de tamanhos diferentes: $10$ torcedores de futebol numa turma de $25$ (isto é, $40\,\%$ ) mostram mais entusiasmo que $12$ num ano escolar de $120$ ( $10\,\%$ ). As frequências relativas põem tudo na mesma escala.

50.2 Agrupar dados em classes

Exemplo 50.4 (Classes)

As alturas (em cm) de $20$ alunos vão de $148$ a $172$ . Listar cada altura separadamente daria uma tabela com quase tantas colunas quantos alunos; em vez disso, agrupamos em classes:

altura (cm)	$\intco{145}{155}$	$\intco{155}{165}$	$\intco{165}{175}$	total
freq. absoluta	$5$	$9$	$6$	$20$
freq. relativa	$0.25$	$0.45$	$0.30$	$1$

Cada altura é contada em exatamente uma classe ( $155$ entra em $\intco{155}{165}$ , e não nas duas — é por isso que os intervalos são semiabertos). Agrupar perde detalhe, mas ganha legibilidade.

50.3 Gráficos

Método 50.5 (Escolher e traçar um gráfico)

Gráfico de barras: uma barra por valor ou classe, com altura proporcional à frequência absoluta (ou à relativa). Bom para comparar valores.
Gráfico de setores: um setor por valor, com ângulo proporcional à frequência relativa — o círculo inteiro ( $360^\circ$ ) representa o total, então

$\text{ângulo} = \text{frequência relativa} \times 360^\circ .$

Bom para mostrar partes de um todo.
Nos dois casos: título, rótulos e uma graduação ou as porcentagens escritas no gráfico.

Exemplo 50.6

Ângulos para os esportes do Exemplo 50.2: futebol $0.40 \times 360 = 144^\circ$ ; natação $0.24 \times 360 = 86.4^\circ$ ; tênis $72^\circ$ ; judô $57.6^\circ$ . Confere: $144 + 86.4 + 72 + 57.6 = 360$ .

Os mesmos dados como gráfico de barras (comparar alturas) e como gráfico de setores (comparar partes da turma). O futebol ocupa 144, isto é, 40\,\% do círculo. — Os mesmos dados como gráfico de barras (comparar alturas) e como gráfico de setores (comparar partes da turma). O futebol ocupa $144^\circ$ , isto é, $40\,\%$ do círculo.

Exemplo 50.7 (Ler com espírito crítico)

Um gráfico cujo eixo vertical começa em $9$ em vez de $0$ faz uma barra de $10$ parecer dez vezes mais alta que uma barra de $9.1$ — visualmente enganoso, ainda que os números sejam honestos. Primeiro reflexo diante de qualquer gráfico: veja onde o eixo começa e quanto vale uma graduação (Método 44.8).

50.4 Exercícios

Exercício 50.1 ★

Eis as notas de $20$ alunos: $12$ , $15$ , $9$ , $12$ , $14$ , $9$ , $12$ , $15$ , $11$ , $12$ , $9$ , $14$ , $12$ , $11$ , $15$ , $9$ , $12$ , $14$ , $11$ , $12$ . Monte a tabela de frequências absolutas (uma coluna por nota).

Solução

Solução de Exercício 50.1.

Contando cada nota:

nota	$9$	$11$	$12$	$14$	$15$	total
freq. absoluta	$4$	$3$	$7$	$3$	$3$	$20$

Exercício 50.2 ★

Complete a tabela do Exercício 50.1 com uma linha de frequências relativas (como frações de $20$ e depois como porcentagens). Confira a soma.

Solução

Solução de Exercício 50.2.

Frequências relativas: $\frac{4}{20} = 20\,\%$ , $\frac{3}{20} = 15\,\%$ , $\frac{7}{20} = 35\,\%$ , $15\,\%$ , $15\,\%$ . Soma: $20 + 15 + 35 + 15 + 15 = 100\,\%$ . ✓

Exercício 50.3 ★

Numa pesquisa com $50$ famílias, $30$ têm um carro. Qual é a frequência relativa de “um carro”, como decimal e como porcentagem? Em outra pesquisa, $45$ famílias em $90$ têm um carro: que pesquisa mostra a proporção maior?

Solução

Solução de Exercício 50.3.

Primeira pesquisa: $\frac{30}{50} = 0.6 = 60\,\%$ . Segunda: $\frac{45}{90} = 0.5 = 50\,\%$ . A primeira pesquisa mostra a proporção maior, embora tenha menos famílias com um carro em número absoluto.

Exercício 50.4 ★

As massas (kg) de $15$ cães: $8$ , $23$ , $31$ , $12$ , $9$ , $27$ , $35$ , $14$ , $22$ , $18$ , $29$ , $11$ , $25$ , $33$ , $16$ . Agrupe-as nas classes $\intco{5}{15}$ , $\intco{15}{25}$ , $\intco{25}{35}$ , $\intco{35}{45}$ e dê as frequências absolutas.

Solução

Solução de Exercício 50.4.

$\intco{5}{15}$ : $8, 12, 9, 14, 11$ , frequência $5$ .

$\intco{15}{25}$ : $23, 22, 18, 16$ , frequência $4$ .

$\intco{25}{35}$ : $31, 27, 29, 25, 33$ , frequência $5$ .

$\intco{35}{45}$ : $35$ , frequência $1$ . Total $15$ . ✓

Exercício 50.5 ★

Trace o gráfico de barras da tabela:

bichos de estimação	$0$	$1$	$2$	$3$
famílias	$8$	$12$	$6$	$4$

Solução

Solução de Exercício 50.5.

Quatro barras de alturas $8$ , $12$ , $6$ , $4$ sobre os valores $0$ , $1$ , $2$ , $3$ (graduação de $2$ em $2$ funciona bem).

Exercício 50.6 ★

Para a tabela do Exercício 50.5, calcule as frequências relativas e os ângulos do gráfico de setores de cada valor (confira: total $360^\circ$ ).

Solução

Solução de Exercício 50.6.

Total: $30$ famílias. Frequências relativas: $\frac{8}{30}$ , $\frac{12}{30}$ , $\frac{6}{30}$ , $\frac{4}{30}$ . Ângulos ( $\times 360^\circ$ ): $96^\circ$ , $144^\circ$ , $72^\circ$ , $48^\circ$ ; soma $96 + 144 + 72 + 48 = 360^\circ$ . ✓

Exercício 50.7 ★

Um gráfico de setores sobre as estações preferidas mostra: verão $162^\circ$ , primavera $90^\circ$ , outono $54^\circ$ , inverno $54^\circ$ . Que porcentagem escolheu cada estação? Se $60$ pessoas responderam, quantas escolheram o verão?

Solução

Solução de Exercício 50.7.

Porcentagens: verão $\frac{162}{360} = 45\,\%$ ; primavera $\frac{90}{360} = 25\,\%$ ; outono e inverno $\frac{54}{360} = 15\,\%$ cada. Entre $60$ pessoas, o verão foi escolhido por $0.45 \times 60 = 27$ delas.

Exercício 50.8 ★★

Na turma A, $12$ alunos em $30$ vão a pé para a escola; na turma B, $14$ em $40$ . Que turma tem a maior proporção de alunos que vão a pé? Justifique com frequências relativas, e não com as absolutas.

Solução

Solução de Exercício 50.8.

Turma A: $\frac{12}{30} = 40\,\%$ . Turma B: $\frac{14}{40} = 35\,\%$ . A turma A tem a maior proporção de alunos que vão a pé, mesmo a turma B tendo mais alunos a pé em número absoluto.

Exercício 50.9 ★★

Uma revista publica um gráfico de barras das vendas mensais: $9\,800$ , depois $10\,000$ , depois $10\,100$ , com o eixo vertical começando em $9\,700$ . Descreva o que o leitor vê e o que um eixo honesto, começando em $0$ , mostraria.

Solução

Solução de Exercício 50.9.

Com o eixo começando em $9\,700$ , as três barras têm alturas visíveis de $100$ , $300$ e $400$ unidades: a última parece quatro vezes a primeira, sugerindo que as vendas quadruplicaram. Com um eixo a partir de $0$ , as barras ficam quase iguais (de $9\,800$ a $10\,100$ é uma alta de cerca de $3\,\%$ ): a imagem honesta mostra vendas quase estáveis.

Exercício 50.10 ★★

Uma tabela de frequências tem três valores com frequências relativas $0.35$ , $0.4$ e $f$ . Encontre $f$ . Se o total for $80$ , dê as três frequências absolutas.

Solução

Solução de Exercício 50.10.

As frequências relativas somam $1$ : $f = 1 - 0.35 - 0.4 = 0.25$ . Frequências absolutas (total $80$ ): $0.35 \times 80 = 28$ ; $0.4 \times 80 = 32$ ; $0.25 \times 80 = 20$ . Confere: $28 + 32 + 20 = 80$ .

Exercício 50.11 ★★★

Numa escola, $55\,\%$ dos alunos são meninas. Entre as meninas, $40\,\%$ almoçam no refeitório; entre os meninos, $60\,\%$ almoçam. Em $400$ alunos, quantos almoçam no refeitório? (Calcule os tamanhos dos quatro grupos passo a passo.) Que porcentagem geral é essa?

Solução

Solução de Exercício 50.11.

Meninas: $55\,\%$ de $400 = 220$ ; meninos: $180$ . Meninas que almoçam no refeitório: $0.4 \times 220 = 88$ ; meninos: $0.6 \times 180 = 108$ . Total: $88 + 108 = 196$ alunos, isto é, $\frac{196}{400} = 49\,\%$ da escola — entre $40\,\%$ e $60\,\%$ , mais perto da taxa das meninas porque elas são mais numerosas.

50.5 Problema: como os dados mentem — e como pegá-los

Problema 50.1

Problema de fim de semana — frequências absolutas contra relativas, a pesquisa que enganou um país e o paradoxo dos dois hospitais

Os números não mentem, mas podem ser arranjados para enganar: uma contagem enorme pode esconder uma frequência pequena, uma pesquisa gigantesca pode não valer nada e — o mais estranho de tudo — um hospital pode vencer o rival em todas as categorias de pacientes e ainda assim perder nos números gerais. As três armadilhas são armadas neste problema, munidas apenas das frequências deste capítulo (Definição 50.1).

Parte I — Frequência absoluta não é frequência relativa.

A escola A recicla $120$ das $400$ caixinhas de suco dela; a escola B recicla $90$ das $250$ dela. Que escola tem a maior frequência absoluta de caixinhas recicladas? E a maior frequência relativa? Que escola merece o prêmio de reciclagem?
Um horário novo é submetido a pesquisa: $18$ dos $30$ professores gostam dele, e $210$ dos $600$ alunos também. Calcule as duas frequências relativas e depois a frequência relativa entre as $630$ pessoas juntas. Por que o número combinado fica tão perto do dos alunos?
Um gráfico de setores publicado mostra setores rotulados $45\,\%$ , $30\,\%$ , $20\,\%$ e $10\,\%$ . Sem nenhuma outra informação, como você sabe que houve erro?
Uma tabela de frequências sobre $40$ observações está meio apagada: frequências absolutas $14$ , $10$ , $?$ , $?$ e relativas $0.35$ , $0.25$ , $0.15$ , $?$ . Reconstrua as entradas que faltam.
Uma pesquisa termina com frequências relativas $0.40$ , $0.35$ e $0.25$ . Calcule os três ângulos do gráfico de setores (Método 50.5) e confira que eles fecham o círculo.

Parte II — A pesquisa que enganou um país. Em 1936, uma revista norte-americana enviou dez milhões de cédulas pelo correio a endereços tirados de listas telefônicas e de registros de automóveis, recebeu $2.4$ milhões de respostas e previu uma vitória esmagadora do candidato Landon. Um jovem estatístico, George Gallup, perguntou a apenas cerca de cinquenta mil pessoas — escolhidas para se parecerem com a população inteira — e previu o contrário. Roosevelt ganhou de goleada.

Que frequência relativa das cédulas enviadas voltou?
Em 1936, telefones e automóveis eram luxos. Explique em uma ou duas frases por que a amostra da revista, embora enorme, estava condenada — e que lição da questão 1 ela repete em escala nacional.
Um modelo de brinquedo. Uma cidade tem $1\,000$ eleitores ricos, dos quais $70\,\%$ apoiam L, e $9\,000$ eleitores modestos, dos quais $30\,\%$ apoiam L. Calcule o apoio verdadeiro a L na cidade. Uma “pesquisa da lista telefônica” alcança $500$ ricos e $500$ modestos: que apoio ela prevê?
A armadilha silenciosa: uma empresa tem $200$ clientes insatisfeitos e $800$ satisfeitos. Ela consulta todo mundo; $40\,\%$ dos insatisfeitos respondem, mas só $10\,\%$ dos satisfeitos. Calcule o número de respostas de cada tipo e a frequência relativa de insatisfação entre as respostas. Compare com a frequência verdadeira.
Conserte a pesquisa da questão 8: mantenha $1\,000$ entrevistas, mas distribua-as nas proporções verdadeiras da cidade. O que a pesquisa consertada prevê?

Parte III — O paradoxo dos dois hospitais. Dois hospitais publicam as contagens de curas deles, separadas por gravidade:

	casos leves	casos graves
hospital A	$90$ curados de $100$	$280$ curados de $400$
hospital B	$340$ curados de $400$	$65$ curados de $100$

Calcule a taxa de cura do hospital A nos casos leves, nos casos graves e no total (os $500$ pacientes).
As mesmas três contas para o hospital B. Que hospital vence nos casos leves? E nos casos graves?
Compare as duas taxas gerais. Enuncie com clareza a coisa estranha que aconteceu.
Explique o truque: compare as misturas de pacientes dos dois hospitais e diga por que a taxa geral pode trair as duas taxas por categoria. Se você tivesse um caso grave, que hospital deveria escolher?
Uma manchete de jornal diz: “Hospital B tem a melhor taxa de cura: $81\,\%$ contra $74\,\%$ ”. Escreva a carta de duas frases ao editor que este problema inteiro ensinou você a escrever — uma frase sobre o que a manchete ignora e outra sobre a moral geral (compare o comparável e preste atenção aos pesos).

Solução

Solução de Problema 50.1.

1. Frequências absolutas: $120 > 90$ , a escola A ganha. Frequências relativas: $\frac{120}{400} = 0.30 = 30\,\%$ contra $\frac{90}{250} = 0.36 = 36\,\%$ : a escola B ganha. O prêmio deve seguir a frequência relativa — a escola B recicla uma parcela maior do que usa; a escola A apenas bebe mais suco.

2. Professores: $\frac{18}{30} = 0.60 = 60\,\%$ . Alunos: $\frac{210}{600} = 0.35 = 35\,\%$ . Juntos: $\frac{18 + 210}{630} = \frac{228}{630} \approx 0.36 = 36\,\%$ . Os alunos são vinte vezes mais numerosos, então a frequência combinada é puxada quase inteiramente para o lado deles — o grupo grande carrega o peso grande.

3. As frequências relativas têm de somar $100\,\%$ (Definição 50.1), mas $45 + 30 + 20 + 10 = 105$ : pelo menos um setor está errado.

4. Frequência absoluta correspondente a $0.15$ : $0.15 \times 40 = 6$ . As frequências até aqui somam $14 + 10 + 6 = 30$ , então a última é $40 - 30 = 10$ , com frequência relativa $\frac{10}{40} = 0.25$ . (Confere: $0.35 + 0.25 + 0.15 + 0.25 = 1$ .)

5. Ângulos: $0.40 \times 360 = 144^\circ$ , $0.35 \times 360 = 126^\circ$ , $0.25 \times 360 = 90^\circ$ ; e $144 + 126 + 90 = 360^\circ$ : a pizza fecha.

6. $\frac{2.4}{10} = 0.24 = 24\,\%$ das cédulas voltaram.

7. As listas telefônicas e os registros de automóveis relacionavam sobretudo lares ricos, cujo voto era diferente do voto do país; os $2.4$ milhões de respostas foram uma contagem gigantesca tirada da população errada. Como na questão 1: o que importa não é quantos você conta, e sim quem — uma frequência calculada numa amostra distorcida descreve a amostra, não o país.

8. Apoio verdadeiro: $0.7 \times 1\,000 + 0.3 \times 9\,000 = 700 + 2\,700 = 3\,400$ apoiadores em $10\,000$ : $34\,\%$ . A pesquisa: $0.7 \times 500 + 0.3 \times 500 = 350 + 150 = 500$ em $1\,000$ : $50\,\%$ — dezesseis pontos acima, porque os ricos são metade da amostra, mas um décimo da cidade.

9. Respostas: $0.4 \times 200 = 80$ insatisfeitos e $0.1 \times 800 = 80$ satisfeitos, então $160$ respostas, das quais $80$ insatisfeitas: insatisfação medida $\frac{80}{160} = 50\,\%$ . Insatisfação verdadeira: $\frac{200}{1\,000} = 20\,\%$ . Ninguém mentiu — os insatisfeitos simplesmente respondem mais, e a pesquisa os ouve mais alto.

10. Proporções verdadeiras: um décimo de ricos, ou seja, $100$ entrevistas com ricos e $900$ com modestos: $0.7 \times 100 + 0.3 \times 900 = 70 + 270 = 340$ em $1\,000$ : a pesquisa consertada prevê $34\,\%$ — a verdade da questão 8. Cinquenta mil entrevistas bem escolhidas vencem dois milhões mal escolhidas.

11. Hospital A: leves $\frac{90}{100} = 90\,\%$ ; graves $\frac{280}{400} = 70\,\%$ ; no total $\frac{90 + 280}{500} = \frac{370}{500} = 74\,\%$ .

12. Hospital B: leves $\frac{340}{400} = 85\,\%$ ; graves $\frac{65}{100} = 65\,\%$ ; no total $\frac{340 + 65}{500} = \frac{405}{500} = 81\,\%$ . O hospital A vence nos casos leves ( $90 > 85$ ) e nos casos graves ( $70 > 65$ ).

13. No total, B mostra $81\,\%$ contra os $74\,\%$ de A: o hospital que perde em todas as categorias ganha no geral. (Essa inversão tem nome: paradoxo de Simpson.)

14. As misturas são opostas: os pacientes de A são na maioria graves ( $400$ de $500$ ), e os de B, na maioria leves ( $400$ de $500$ ). Casos graves se curam menos onde quer que sejam tratados, então o número geral de A é puxado para baixo pelos casos difíceis que ele aceita — o total é uma mistura ponderada, e os pesos diferem entre os hospitais. Um paciente grave deve escolher o hospital A: $70\,\%$ vence $65\,\%$ na única linha que lhe diz respeito.

15. Por exemplo: “A sua comparação mistura pacientes leves e graves, e os dois hospitais tratam misturas opostas — separados por gravidade, o hospital A cura uma parcela maior dos dois tipos. Números gerais só podem ser comparados quando os grupos por trás deles são parecidos; caso contrário, quem decide o vencedor são os pesos, e não a qualidade.”