Matemática do ensino fundamental · Du CP à la 3e

52Simetria central e paralelogramos

Gire uma figura de meia volta em torno de um ponto: isso é a simetria central, a segunda transformação do livro depois das reflexões do Capítulo 42. A figura-estrela dela é o paralelogramo — o quadrilátero que é simétrico em relação ao ponto de cruzamento das próprias diagonais.

52.1 Simetria central

Definição 52.1 (Simétrico em relação a um ponto)

O simétrico de um ponto $M$ em relação a um ponto $O$ é o ponto $M'$ tal que $O$ é o ponto médio de $[MM']$ . A figura simétrica é aquilo em que a original se transforma depois de uma meia volta ( $180^\circ$ ) em torno de $O$ .

Simetria em relação a O: cada ponto e a imagem dele ficam alinhados com O, a distâncias iguais dos dois lados (tracinhos). — Simetria em relação a $O$ : cada ponto e a imagem dele ficam alinhados com $O$ , a distâncias iguais dos dois lados (tracinhos).

Método 52.2 (Construir o simétrico de um ponto)

Para construir o simétrico $M'$ de $M$ em relação a $O$ :

trace a reta $(MO)$ e prolongue-a além de $O$ ;
meça $MO$ (com régua ou compasso);
marque $M'$ sobre o prolongamento, com $OM' = OM$ .

No papel quadriculado: conte os passos horizontais e verticais de $M$ até $O$ e repita os mesmos passos a partir de $O$ para chegar a $M'$ .

Exemplo 52.3 (Na malha quadriculada)

Se $M$ está $3$ quadradinhos à esquerda e $1$ acima de $O$ , o simétrico $M'$ fica $3$ quadradinhos à direita e $1$ abaixo de $O$ : a simetria central inverte as duas direções de uma vez (uma reflexão inverte só uma).

Proposição 52.4 (O que uma meia volta preserva)

A simetria central preserva comprimentos, ângulos, perímetros e áreas; a imagem de uma reta é uma reta paralela, a imagem de um segmento é um segmento paralelo de mesmo comprimento, e a imagem de um círculo é um círculo de mesmo raio (com centro no simétrico do centro).

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 52.5

Compare com as reflexões (Proposição 42.4): as duas preservam comprimentos e ângulos; mas a reflexão vira as figuras do avesso (um “b” vira um “d”), enquanto a meia volta as mantém legíveis — de cabeça para baixo (um “b” vira um “q”). E, ao contrário de uma reflexão, uma meia volta leva toda reta a uma reta paralela a ela.

Definição 52.6 (Centro de simetria)

Um ponto $O$ é um centro de simetria de uma figura quando a meia volta em torno de $O$ leva a figura exatamente sobre ela mesma. Por exemplo, as letras S, N, Z têm centro de simetria; um círculo tem um (o centro dele); um triângulo nunca tem.

52.2 Paralelogramos

Definição 52.7 (Paralelogramo)

Um paralelogramo é um quadrilátero cujas diagonais se cruzam no ponto médio comum delas. Esse ponto de cruzamento é então um centro de simetria da figura: cada vértice é a imagem, pela meia volta, do vértice oposto.

Teorema 52.8 (Propriedades de um paralelogramo)

Num paralelogramo $ABCD$ de centro $O$ :

os lados opostos são paralelos: $(AB) \parallel (CD)$ e $(BC) \parallel (AD)$ ;
os lados opostos têm o mesmo comprimento: $AB = CD$ e $BC = AD$ ;
os ângulos opostos são iguais: $\widehat A = \widehat C$ e $\widehat B = \widehat D$ .

Demonstração. A meia volta em torno de $O$ leva $A$ a $C$ e $B$ a $D$ (pela definição: $O$ é o ponto médio das duas diagonais). Logo ela leva o segmento $[AB]$ ao segmento $[CD]$ ; pela Proposição 52.4, a imagem é paralela a $[AB]$ e de mesmo comprimento: pontos 1 e 2. Ela também leva o ângulo em $A$ ao ângulo em $C$ , e os ângulos são preservados: ponto 3. ∎

Um paralelogramo e o centro O dele: as diagonais (em vermelho) se cortam nos pontos médios, e os lados opostos são paralelos e iguais (tracinhos). — Um paralelogramo e o centro $O$ dele: as diagonais (em vermelho) se cortam nos pontos médios, e os lados opostos são paralelos e iguais (tracinhos).

Teorema 52.9 (Reconhecer um paralelogramo)

Um quadrilátero (sem lados que se cruzem) é um paralelogramo assim que uma das condições abaixo valer:

as diagonais dele têm o mesmo ponto médio (a definição);
os lados opostos são paralelos dois a dois;
dois lados opostos são paralelos e de mesmo comprimento.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 52.10

$ABCD$ tem $(AB) \parallel (CD)$ e $AB = CD = 5$ cm. Vale o critério 3: $ABCD$ é um paralelogramo — então, sem medir mais nada, também sabemos que $AD = BC$ , que $(AD) \parallel (BC)$ e que as diagonais dele se cortam ao meio.

Observação 52.11 (Paralelogramos especiais)

O retângulo, o losango e o quadrado do Capítulo 41 são exatamente os paralelogramos com uma propriedade a mais: diagonais iguais (retângulo), diagonais perpendiculares (losango), as duas coisas (quadrado). O argumento de ângulos prometido no Exemplo 41.6 agora funciona: num paralelogramo, os ângulos consecutivos são suplementares (ângulos alternos internos e correspondentes com as paralelas, Teorema 51.2), então um ângulo reto obriga os quatro.

52.3 Exercícios

Exercício 52.1 ★

No papel quadriculado, marque $O$ e depois $M$ quatro quadradinhos à direita de $O$ e um acima. Construa o simétrico $M'$ de $M$ em relação a $O$ e o simétrico de $M$ em relação à linha vertical da malha que passa por $O$ . Compare as duas imagens.

Solução

Solução de Exercício 52.1.

Imagem pela meia volta: $M'$ fica quatro quadradinhos à esquerda de $O$ e um abaixo (as duas direções invertidas). Imagem pela reflexão em relação à linha vertical: quatro quadradinhos à esquerda, mas ainda um acima. As duas imagens são diferentes: uma é a espelhada vertical da outra.

Exercício 52.2 ★

Trace um triângulo $ABC$ e um ponto $O$ fora dele. Construa a imagem $A'B'C'$ dele pela meia volta em torno de $O$ . O que você pode dizer sobre os comprimentos $A'B'$ e $AB$ ? E sobre as retas $(A'B')$ e $(AB)$ ?

Solução

Solução de Exercício 52.2.

$A'B' = AB$ (as meias voltas preservam comprimentos) e $(A'B') \parallel (AB)$ (a imagem de uma reta é uma reta paralela, Proposição 52.4).

Exercício 52.3 ★

Que algarismos, escritos como num visor de calculadora ( $0$ a $9$ ), têm centro de simetria? E que letras maiúsculas entre H, A, N, S, T, Z, O?

Solução

Solução de Exercício 52.3.

Algarismos de calculadora com centro de simetria: $0$ , $2$ , $5$ , $8$ (e o $1$ , se traçado como uma barra simples). Letras: H, N, S, Z, O têm centro; A e T não têm (elas têm eixo).

Exercício 52.4 ★

$KLMN$ é um paralelogramo de centro $O$ com $KL = 7$ cm, $LM = 4$ cm e $\widehat K = 115^\circ$ . Dê, com justificativa: $MN$ , $NK$ , $\widehat M$ e o ponto médio de $[LN]$ .

Solução

Solução de Exercício 52.4.

Lados opostos iguais: $MN = KL = 7$ cm e $NK = LM = 4$ cm. Ângulos opostos iguais: $\widehat M = \widehat K = 115^\circ$ . As diagonais se cortam no ponto médio comum, e esse ponto é $O$ : o ponto médio de $[LN]$ é $O$ .

Exercício 52.5 ★

Construa um paralelogramo $ABCD$ a partir das diagonais: $AC = 8$ cm e $BD = 5$ cm, cruzando-se nos pontos médios com um ângulo de $60^\circ$ entre elas. (Trace primeiro as diagonais!)

Solução

Solução de Exercício 52.5.

Trace um segmento $[AC]$ de $8$ cm, marque o ponto médio $O$ dele, trace por $O$ uma reta formando $60^\circ$ com $(AC)$ e marque $B$ e $D$ sobre ela a $2.5$ cm de $O$ , um de cada lado. Ligue $A$ , $B$ , $C$ , $D$ : as diagonais se cortam nos pontos médios, então $ABCD$ é um paralelogramo pela definição.

Exercício 52.6 ★

Num paralelogramo, um ângulo mede $115^\circ$ . Usando a observação sobre ângulos consecutivos suplementares, dê os outros três ângulos.

Solução

Solução de Exercício 52.6.

Os ângulos consecutivos são suplementares: ao lado de $115^\circ$ fica $180 - 115 = 65^\circ$ . Os ângulos opostos são iguais, então os quatro ângulos são $115^\circ$ , $65^\circ$ , $115^\circ$ , $65^\circ$ (soma $360^\circ$ ).

Exercício 52.7 ★★

Marque $A(1, 1)$ , $B(4, 2)$ e o ponto $O(2.5, 2.5)$ . Calcule as coordenadas das imagens $A'$ e $B'$ pela meia volta em torno de $O$ (use a contagem na malha do Exemplo 52.3).

Solução

Solução de Exercício 52.7.

De $A(1,1)$ até $O(2.5, 2.5)$ : $1.5$ para a direita e $1.5$ para cima; continuando o mesmo: $A'(4, 4)$ . De $B(4,2)$ até $O$ : $1.5$ para a esquerda e $0.5$ para cima; continuando: $B'(1, 3)$ .

Exercício 52.8 ★★

$ABCD$ é um quadrilátero em que $AB = CD$ . Isso basta para que ele seja um paralelogramo? Se não, esboce um contraexemplo (um trapézio isósceles ajuda) e diga o que precisa ser acrescentado à hipótese.

Solução

Solução de Exercício 52.8.

Não. Um trapézio isósceles tem os dois lados inclinados iguais sem ser um paralelogramo (os dois lados paralelos têm comprimentos diferentes). O que basta é o critério 3 da Teorema 52.9: dois lados opostos iguais e paralelos.

Exercício 52.9 ★★

Seja $ABC$ um triângulo e $O$ o ponto médio de $[BC]$ . Construa o simétrico $A'$ de $A$ em relação a $O$ . Mostre que $ABA'C$ é um paralelogramo. (Que critério do Teorema 52.9 sai de graça aqui?)

Solução

Solução de Exercício 52.9.

$O$ é o ponto médio de $[BC]$ por escolha, e é o ponto médio de $[AA']$ pela construção do simétrico. O quadrilátero $ABA'C$ tem diagonais $[AA']$ e $[BC]$ com o mesmo ponto médio $O$ : o critério 1 (a definição) faz dele um paralelogramo sem custo algum.

Exercício 52.10 ★★

Verdadeiro ou falso, com justificativa: “um quadrilátero cujos ângulos opostos são iguais dois a dois é um paralelogramo”; “um paralelogramo com diagonais perpendiculares é um losango”; “um paralelogramo com um ângulo reto é um retângulo”.

Solução

Solução de Exercício 52.10.

“Ângulos opostos iguais $\Rightarrow$ paralelogramo”: verdadeiro (é mais um critério de reconhecimento; com a soma $360^\circ$ , pares opostos iguais obrigam os ângulos consecutivos a serem suplementares, e daí os lados a serem paralelos, pela Teorema 51.2).

“Diagonais perpendiculares $\Rightarrow$ losango”: verdadeiro para um paralelogramo (as diagonais já se cortam nos pontos médios).

“Um ângulo reto $\Rightarrow$ retângulo”: verdadeiro — os ângulos consecutivos são suplementares, então os quatro ficam retos.

Exercício 52.11 ★★★

Seja $ABCD$ um quadrilátero qualquer e $I$ , $J$ , $K$ , $L$ os pontos médios dos lados $[AB]$ , $[BC]$ , $[CD]$ , $[DA]$ dele. Faça vários exemplos. O que $IJKL$ sempre parece ser? (A demonstração, com o teorema dos pontos médios, vem no Capítulo 59 — e de novo com vetores, no volume do ensino médio.)

Solução

Solução de Exercício 52.11.

Qualquer que seja o quadrilátero — mesmo um bem irregular — os pontos médios $I$ , $J$ , $K$ , $L$ formam sempre um paralelogramo. A demonstração com o teorema dos pontos médios está no Capítulo 59 (Exercício 59.9).

52.4 Problema: o bolo, a mediana e o segundo centro impossível

Problema 52.1

Problema de fim de semana — meias voltas em ação: cortes justos de bolo, um limite para as medianas e por que nenhuma forma pode ter dois centros de simetria

A meia volta parece a mais simples das transformações — e, no entanto, ela corta bolos em metades comprovadamente justas, mede as medianas de um triângulo e esconde uma pequena pérola de matemática pura: uma figura limitada pode ter um centro de simetria, mas nunca dois. A demonstração usa uma descoberta que você fará na Parte I: duas meias voltas, feitas uma depois da outra, dão um deslizamento.

Parte I — Ginástica de meias voltas.

No papel quadriculado, tome a origem $O(0, 0)$ como centro. Usando a contagem na malha do Exemplo 52.3, dê as imagens de $M(3, 1)$ , $N(-2, 4)$ e $P(0, -5)$ pela meia volta em torno de $O$ . Qual é a regra geral para $(x, y)$ ?
Agora o centro é $C(2, 1)$ . Calcule a imagem de $M(5, 3)$ e confira a receita geral: cada coordenada da imagem é o dobro da do centro menos a do ponto.
As cartas de baralho são desenhadas para se ler igual de cabeça para baixo — uma simetria central, para que nenhum jogador veja a carta “errada”. Explique por que, numa carta com um número ímpar de naipes, um deles tem de ficar exatamente no centro da carta.
Duas meias voltas seguidas: tome os centros $O_1(2, 0)$ e $O_2(5, 0)$ . Leve o ponto $A(1, 1)$ pela meia volta em torno de $O_1$ e depois leve a imagem pela meia volta em torno de $O_2$ . Compare partida e chegada. Repita com $B(0, 3)$ . Em que transformação única e simples as duas meias voltas resultaram?
Meça o deslizamento da questão 4 em relação à distância $O_1 O_2$ e enuncie a descoberta. (Compare com os dois espelhos paralelos do Problema 42.1: o mesmo fenômeno, com outros atores.)

Parte II — Bolos e medianas.

Seja $O$ o centro de um paralelogramo. Explique por que toda reta que passa por $O$ encontra o contorno em dois pontos simétricos em relação a $O$ , e por que a reta corta o paralelogramo em duas peças que são cópias exatas uma da outra pela meia volta — e, portanto, de áreas iguais.
O teorema do confeiteiro: um bolo retangular é repartido com perfeita justiça por qualquer corte reto que passe pelo centro dele. Melhor ainda: um bolo retangular tem um buraco retangular (de qualquer tamanho, em qualquer posição, até inclinado). Descreva o único corte reto que dá duas partes com exatamente a mesma quantidade de bolo — e justifique-o com a questão 6.
Três vértices de um paralelogramo $ABCD$ são $A(0, 0)$ , $B(6, 1)$ e $C(8, 5)$ . Calcule as coordenadas de $D$ e do centro $O$ .
O Exercício 52.9 construiu, a partir de um triângulo $ABC$ e do ponto médio $O$ de $[BC]$ , o paralelogramo $ABA'C$ em que $A'$ é o simétrico de $A$ em relação a $O$ . Use-o, junto com a desigualdade triangular (Teorema 51.6) no triângulo $ABA'$ , para demonstrar o limite da mediana: a mediana $[AO]$ satisfaz

$AO < \frac{AB + AC}{2} .$

(Repare que $AA' = 2\,AO$ e $BA' = AC$ .)
Num triângulo com $AB = 5$ cm e $AC = 7$ cm, entre que dois valores tem de ficar o comprimento da mediana que sai de $A$ ? (Use os dois sentidos da desigualdade triangular em $ABA'$ .)

Parte III — Quantos centros uma figura pode ter?

Para cada figura, diga se ela tem centro de simetria e onde: um segmento; uma reta inteira; um triângulo equilátero; um quadrado; um círculo; as letras S e Z.
Demonstre a sua afirmação para o triângulo equilátero: uma meia volta que levasse o triângulo a si mesmo emparelharia os três vértices — mas três é ímpar, então algum vértice seria levado a si mesmo. O que isso obrigaria esse vértice a ser, e por que isso é impossível?
Generalize a questão 12: explique por que nenhum polígono com um número ímpar de vértices tem centro de simetria.
A pérola: suponha que uma figura tivesse dois centros de simetria distintos $O_1$ e $O_2$ . Faça as duas meias voltas uma depois da outra e use a descoberta da questão 5: que movimento teria de levar a figura exatamente sobre ela mesma? Explique por que uma figura que cabe numa folha de papel não sobrevive a isso e conclua.
A conclusão da questão 14 deixa uma brecha: as figuras ilimitadas. Verifique, num friso infinito — digamos, uma faixa sem fim de pegadas, esquerda, direita, esquerda, direita … —, que ele tem (pelo menos) dois centros de simetria diferentes, e identifique a translação que a questão 14 previu.

Solução

Solução de Problema 52.1.

1. $M(3, 1) \to (-3, -1)$ ; $N(-2, 4) \to (2, -4)$ ; $P(0, -5) \to (0, 5)$ . Regra: a meia volta em torno da origem leva $(x, y)$ a $(-x, -y)$ — as duas coordenadas trocam de sinal.

2. A partir de $M(5, 3)$ : três quadradinhos à direita de $C$ viram três à esquerda, e dois acima viram dois abaixo: imagem $(-1, -1)$ . Conferência pela receita: o dobro do centro menos o ponto, $(2 \times 2 - 5,\ 2 \times 1 - 3) = (-1, -1)$ .

3. A meia volta em torno do centro da carta troca os naipes dois a dois. Com um número ímpar de naipes, um deles fica sem par: ele tem de ser a imagem de si mesmo, e o único ponto que é a imagem de si mesmo é o próprio centro. Daí o naipe do meio do 3, do 5, do 7 … ficar bem no centro (olhe uma carta de verdade: fica mesmo).

4. Em torno de $O_1(2,0)$ : $A(1,1) \to (3,-1)$ ; em torno de $O_2(5,0)$ : $(3,-1) \to (7,1)$ . Partida $A(1,1)$ , chegada $(7,1)$ : deslizou $6$ para a direita, sem virar. O mesmo para $B(0,3) \to (4,-3) \to (6,3)$ : deslizou $6$ para a direita. As duas meias voltas resultaram numa translação.

5. O deslizamento é $6$ , e $O_1 O_2 = 3$ : a translação percorre o dobro da distância entre os centros (no sentido de $O_1$ para $O_2$ ) — exatamente como os dois espelhos paralelos transladavam pelo dobro do vão deles no Problema 42.1.

6. A meia volta em torno de $O$ leva o paralelogramo sobre ele mesmo (é isso que “centro de simetria” significa para ele, Teorema 52.8). Uma reta que passa por $O$ também é levada sobre ela mesma, então os dois pontos em que ela cruza o contorno trocam de lugar: eles são simétricos em relação a $O$ . As duas peças do paralelogramo de cada lado da reta também trocam, então são cópias exatas (Proposição 52.4) — áreas iguais.

7. Corte pela reta que passa pelos dois centros: o centro do retângulo do bolo e o centro do buraco. Pela questão 6 aplicada ao retângulo do bolo, o corte o divide ao meio; aplicada ao retângulo do buraco (a reta passa pelo centro dele também), ele divide o buraco ao meio. Cada parte fica com metade do bolo menos metade do buraco: perfeitamente justo.

8. $D = (0 + 8 - 6,\ 0 + 5 - 1) = (2, 4)$ (as diagonais compartilham o ponto médio, então $D$ é a imagem de $B$ pela meia volta em torno do centro). Centro: ponto médio de $[AC]$ , $O(4,\ 2.5)$ .

9. No paralelogramo $ABA'C$ , os lados opostos são iguais: $BA' = AC$ . A desigualdade triangular em $ABA'$ dá $AA' < AB + BA' = AB + AC$ . Como $O$ é o ponto médio de $[AA']$ , $AA' = 2\,AO$ , logo $2\,AO < AB + AC$ , isto é, $AO < \frac{AB + AC}{2}$ .

10. Limite superior: $AO < \frac{5 + 7}{2} = 6$ cm. Limite inferior: em $ABA'$ , $AA' > BA' - AB = 7 - 5 = 2$ , então $AO > 1$ cm. A mediana que sai de $A$ fica estritamente entre $1$ e $6$ cm.

11. Segmento: sim, o ponto médio dele. Reta: sim — todo ponto dela é um centro. Triângulo equilátero: nenhum. Quadrado: sim, o cruzamento das diagonais. Círculo: sim, o centro. S e Z: sim, o ponto do meio delas (vire a página de cabeça para baixo: elas se leem igual).

12. A meia volta emparelharia os três vértices entre si; como três é ímpar, um vértice $A$ seria a imagem de si mesmo, o que o obrigaria a ser o centro da meia volta. Os outros dois vértices $B$ e $C$ seriam então simétricos em relação a $A$ — e assim $A$ seria o ponto médio de $[BC]$ , colocando os três vértices numa mesma reta. Um triângulo não tem três vértices alinhados: contradição. Não existe centro.

13. O mesmo argumento de paridade: uma meia volta que preserve o polígono emparelha os vértices dele; um número ímpar de vértices obriga a existir um vértice fixo, que teria de ser o centro e o ponto médio do segmento que liga dois outros vértices — três vértices alinhados, impossível num polígono … logo, nenhum polígono com um número ímpar de vértices tem centro de simetria.

14. Fazer a meia volta em torno de $O_1$ e depois a meia volta em torno de $O_2$ leva a figura sobre ela mesma nas duas vezes — então a combinação delas também leva. Pela questão 5, essa combinação é uma translação pelo dobro da distância $O_1 O_2$ , que não é nula, já que os centros são diferentes. Uma figura que cabe numa folha não pode ser igual a si mesma deslizada de uma quantidade fixa não nula (deslize-a vezes suficientes e ela sai inteirinha da folha). Logo, uma figura limitada tem no máximo um centro de simetria.

15. Na faixa sem fim, uma meia volta em torno do ponto que fica no meio do caminho entre uma pegada esquerda e a direita seguinte leva o padrão sobre ele mesmo; o ponto um passo inteiro adiante também leva: dois centros distintos. Compor as duas meias voltas dá a translação pelo dobro do meio passo — exatamente o deslizamento de um passo que visivelmente leva o friso infinito sobre ele mesmo, como a questão 14 previa. Padrões ilimitados vivem sob outras regras: é a matemática do papel de parede.