Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

28Medidas e perímetro

O Ano 3 mediu com réguas, balanças e relógios (Capítulo 19); este capítulo acrescenta o quadro de unidades — a máquina que converte tudo — e duas maneiras de medir uma forma plana: o comprimento do contorno (perímetro) e o espaço de dentro (área, contada em quadradinhos por enquanto).

28.1 O quadro de unidades

Método 28.1 (Converter com o quadro)

Para os comprimentos, cada coluna vale dez da seguinte:

km	hm	dam	m	dm	cm	mm
			$3$	$4$	$0$

Escreva o número com um algarismo por coluna, pondo o algarismo das unidades da medida na coluna da unidade dela (aqui $3.4$ m: o $3$ embaixo de m);
leia o número na nova unidade: $3.4$ m $= 340$ cm (preencha com zeros as colunas vazias);
as massas (kg … g) e as capacidades (L … cL) funcionam do mesmo jeito.

Exemplo 28.2

$5$ km $= 5\,000$ m; $270$ cm $= 2.7$ m (o $2$ cai embaixo de m); $3$ kg $250$ g $= 3\,250$ g; $2.5$ L $= 250$ cL.

28.2 Perímetro

Definição 28.3 (Perímetro)

O perímetro de um polígono é o comprimento total do contorno dele: some os comprimentos de todos os seus lados (na mesma unidade!). Atalhos para os clássicos:

\text{retângulo: } P = 2 \times (L + w), \qquad \text{quadrado: } P = 4 \times c ,

em que $L$ é o comprimento, $w$ a largura e $c$ o lado.

Exemplo 28.4

Um jardim retangular de $12$ m por $7$ m:

P = 2 \times (12 + 7) = 2 \times 19 = 38 \text{ m}

de cerca. Uma moldura quadrada de lado $18$ cm: $P = 4 \times 18 = 72$ cm.

28.3 Área: contar quadradinhos

Definição 28.5 (Área por contagem)

A área de uma figura desenhada numa malha é o número de quadradinhos que ela cobre. Dois meios quadradinhos contam como um. A área responde “quanta superfície”; o perímetro responde “que comprimento tem o contorno” — duas perguntas diferentes!

Duas figuras na malha: áreas de 8 e 6 quadradinhos. Agora percorra os contornos e conte as unidades: 12 nas duas! Mesmo perímetro, áreas diferentes. — Duas figuras na malha: áreas de $8$ e $6$ quadradinhos. Agora percorra os contornos e conte as unidades: $12$ nas duas! Mesmo perímetro, áreas diferentes.

Exemplo 28.6 (Meios quadradinhos)

Um triângulo retângulo desenhado na malha com catetos $4$ e $2$ cobre $3$ quadradinhos inteiros e $2$ meios quadradinhos … conte com cuidado: a área dele é a metade do retângulo $4 \times 2$ , ou seja, $4$ quadradinhos. Cortar um retângulo pela diagonal sempre dá dois triângulos de mesma área.

Exemplo 28.7 (Mesma área, perímetros diferentes)

Um quadrado $4 \times 4$ e um retângulo $8 \times 2$ cobrem os mesmos $16$ quadradinhos — mesma área. Contornos: $16$ unidades para o quadrado e $20$ para o retângulo. Nenhuma das duas medidas determina a outra: uma forma comprida e fina tem muito contorno para pouca superfície.

28.4 Durações

Método 28.8 (Somar horários atravessando a hora)

Para somar ou subtrair durações, trabalhe em pulos passando pelas horas cheias (lembre que $1$ h $= 60$ min):

9\text{ h }40 + 35 \text{ min}: \quad 9\text{ h }40 \xrightarrow{+20} 10\text{ h }00 \xrightarrow{+15} 10\text{ h }15 .

Nunca some minutos passando de $60$ sem converter: $40 + 35 = 75$ min $= 1$ h $15$ min.

Exemplo 28.9

O trem parte às $8{:}47$ e chega às $11{:}05$ . Duração: de $8{:}47 \to 9{:}00$ são $13$ min; de $9{:}00 \to 11{:}00$ são $2$ h; de $11{:}00 \to 11{:}05$ são $5$ min. Total: $2$ h $18$ min.

28.5 Exercícios

Exercício 28.1 ★

Converta com o quadro de unidades: $7$ m em cm; $3.2$ km em m; $85$ mm em cm; $4\,500$ m em km.

Solução

Solução de Exercício 28.1.

$7$ m $= 700$ cm; $3.2$ km $= 3\,200$ m; $85$ mm $= 8.5$ cm; $4\,500$ m $= 4.5$ km.

Exercício 28.2 ★

Converta: $2$ kg em g; $1\,800$ g em kg e g; $3.5$ L em cL; $25$ cL em L.

Solução

Solução de Exercício 28.2.

$2$ kg $= 2\,000$ g; $1\,800$ g $= 1$ kg $800$ g; $3.5$ L $= 350$ cL; $25$ cL $= 0.25$ L.

Exercício 28.3 ★

Calcule o perímetro: um retângulo $9$ cm $\times$ $5$ cm; um quadrado de lado $7.5$ cm; um triângulo de lados $6$ cm, $8$ cm e $10$ cm.

Solução

Solução de Exercício 28.3.

Retângulo: $2 \times (9 + 5) = 28$ cm. Quadrado: $4 \times 7.5 = 30$ cm. Triângulo: $6 + 8 + 10 = 24$ cm.

Exercício 28.4 ★

Um retângulo tem perímetro $26$ cm e comprimento $8$ cm. Encontre a largura dele (ache primeiro comprimento $+$ largura).

Solução

Solução de Exercício 28.4.

Comprimento $+$ largura $= 26 \div 2 = 13$ cm, então a largura é $13 - 8 = 5$ cm.

Exercício 28.5 ★

No papel quadriculado, desenhe uma figura em forma de L que cubra exatamente $10$ quadradinhos e conte as unidades do perímetro dela.

Solução

Solução de Exercício 28.5.

Muitos formatos em L servem; para um L de $10$ quadradinhos feito de um retângulo $4 \times 2$ mais um pé $2 \times 1$ , percorrer o contorno dá $16$ unidades. (Qualquer figura correta com contagem cuidadosa vale; o perímetro depende do L escolhido.)

Exercício 28.6 ★

Trace dois retângulos diferentes de área $12$ quadradinhos. Calcule o perímetro de cada um. Qual é o mais “redondo” e qual o mais “fininho”?

Solução

Solução de Exercício 28.6.

$3 \times 4$ : perímetro $14$ . $2 \times 6$ : perímetro $16$ . ( $1 \times 12$ : perímetro $26$ .) Quanto mais perto de um quadrado, menor o perímetro para a mesma área.

Exercício 28.7 ★

Um triângulo retângulo é desenhado na malha com catetos $6$ e $3$ . Qual é a área dele em quadradinhos? (Use o Exemplo 28.6.)

Solução

Solução de Exercício 28.7.

Metade do retângulo $6 \times 3$ : $18 \div 2 = 9$ quadradinhos.

Exercício 28.8 ★

Calcule as durações: de $10{:}20$ até $12{:}45$ ; de $7{:}35$ até $9{:}10$ . Um filme dura $1$ h $50$ e começa às $20{:}30$ : a que horas ele termina?

Solução

Solução de Exercício 28.8.

$10{:}20 \to 12{:}45$ : $2$ h $25$ min. $7{:}35 \to 9{:}10$ : $1$ h $35$ min. Filme: $20{:}30 + 1$ h $50 = 22{:}20$ .

Exercício 28.9 ★

Kim corre $3$ voltas em torno de um campo retangular de $60$ m por $45$ m. Quantos metros ela corre?

Solução

Solução de Exercício 28.9.

Uma volta: $2 \times (60 + 45) = 210$ m. Três voltas: $3 \times 210 = 630$ m.

Exercício 28.10 ★★

Um agricultor quer cercar um terreno quadrado de lado $85$ m, deixando um portão de $4$ m sem cerca. Quantos metros de cerca ele tem de comprar?

Solução

Solução de Exercício 28.10.

Perímetro: $4 \times 85 = 340$ m; menos o portão: $340 - 4 = 336$ m de cerca.

Exercício 28.11 ★★

Verdadeiro ou falso, com exemplos na malha: “se duas figuras têm o mesmo perímetro, elas têm a mesma área”; “se duas figuras têm a mesma área, elas têm o mesmo perímetro”. (O Exemplo 28.7 e a figura do capítulo vão ajudar.)

Solução

Solução de Exercício 28.11.

As duas afirmações são falsas. Mesmo perímetro, áreas diferentes: o retângulo $4 \times 2$ e a figura em L da figura do capítulo (as duas com perímetro $12$ ; áreas $8$ e $6$ ). Mesma área, perímetros diferentes: o quadrado $4 \times 4$ e o retângulo $8 \times 2$ (as duas com área $16$ ; perímetros $16$ e $20$ ).