Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

49Proporcionalidade

O Ano 6 conheceu as tabelas proporcionais (Capítulo 44); este capítulo transforma a proporcionalidade numa ferramenta completa: a regra da cruz para encontrar um quarto valor, as porcentagens e as escalas de mapas e maquetes. A velocidade, a mais famosa de todas as proporcionalidades, é estudada no Capítulo 61.

49.1 Reconhecer e completar tabelas

Definição 49.1 (Tabela de proporcionalidade)

Uma tabela de duas linhas é uma tabela de proporcionalidade quando os números da segunda linha são os da primeira multiplicados por um número fixo, o coeficiente. Dito de outro modo: todos os quocientes de coluna $\frac{\text{de baixo}}{\text{de cima}}$ são iguais.

Exemplo 49.2

de cima	$4$	$10$	$14$
de baixo	$6$	$15$	$21$

Quocientes: $\frac64 = 1.5$ , $\frac{15}{10} = 1.5$ , $\frac{21}{14} = 1.5$ : proporcional, com coeficiente $1.5$ .

Teorema 49.3 (Regra da cruz)

Numa tabela de proporcionalidade com colunas $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ e $\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ , os produtos cruzados são iguais:

a \times d = b \times c .

Por consequência, o quarto valor pode ser calculado a partir dos outros três: $d = \dfrac{b \times c}{a}$ .

Demonstração. Seja $k$ o coeficiente: $b = ka$ e $d = kc$ . Então

a \times d = a \times kc = k \times ac, \qquad b \times c = ka \times c = k \times ac :

os dois produtos cruzados valem $k \times ac$ . Dividindo $ad = bc$ por $a$ , obtém-se a fórmula de $d$ . ∎

Exemplo 49.4 (Quarta proporcional)

Se $7$ livros iguais pesam $2.8$ kg, quanto pesam $12$ livros desses? Tabela e regra da cruz:

livros	$7$	$12$
kg	$2.8$	$m$

7 \times m = 2.8 \times 12 \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{2.8 \times 12}{7} = \frac{33.6}{7} = 4.8 \text{ kg}.

Conferência pela unidade: um livro pesa $0.4$ kg, e doze pesam $4.8$ kg.

49.2 Porcentagens

Método 49.5 (Aplicar e encontrar porcentagens)

Aplicar $t\,\%$ : multiplique por $\frac{t}{100}$ ( $12\,\%$ de $350$ é $0.12 \times 350 = 42$ );
encontrar a porcentagem que uma parte representa: calcule $\frac{\text{parte}}{\text{todo}}$ e reescreva sobre $100$ ( $21$ em $60$ : $\frac{21}{60} = \frac{35}{100} = 35\,\%$ );
pergunte sempre: porcentagem de quê? O todo de referência importa.

Exemplo 49.6

Numa escola, $180$ dos $400$ alunos são meninas. Porcentagem:

\frac{180}{400} = \frac{180 \div 4}{400 \div 4} = \frac{45}{100} = 45\,\% .

No outro sentido: quantos são os $55\,\%$ de meninos? $0.55 \times 400 = 220$ . Confere: $180 + 220 = 400$ .

49.3 Escalas

Definição 49.7 (Escala)

Num mapa ou numa maquete de escala $\frac{1}{n}$ (escrita $1 : n$ ), as distâncias no mapa são proporcionais às distâncias reais, com coeficiente $\frac1n$ :

\text{distância no mapa} = \frac{1}{n} \times \text{distância real},

as duas medidas na mesma unidade.

Exemplo 49.8

Num mapa $1 : 50\,000$ , duas cidades estão a $7$ cm uma da outra. Distância real:

7 \times 50\,000 = 350\,000 \text{ cm} = 3\,500 \text{ m} = 3.5 \text{ km}.

Ao contrário, uma trilha de $12$ km mede no mapa: $12$ km $= 1\,200\,000$ cm, logo $1\,200\,000 \div 50\,000 = 24$ cm.

Uma escala é uma proporcionalidade: as distâncias no mapa contra as distâncias reais se alinham numa reta que passa pela origem (aqui, 1 cm 4 km; o tracejado lê 7 cm 28 km). — Uma escala é uma proporcionalidade: as distâncias no mapa contra as distâncias reais se alinham numa reta que passa pela origem (aqui, $1$ cm $\leftrightarrow$ $4$ km; o tracejado lê $7$ cm $\leftrightarrow$ $28$ km).

Observação 49.9

Os gráficos são o teste mais rápido de proporcionalidade (Capítulo 44): pontos numa reta que passa pela origem significam grandezas proporcionais; uma reta que não passa pela origem (como a tarifa de um táxi com bandeirada fixa) significa que elas não são proporcionais, mesmo sendo uma reta. As funções afins, no Capítulo 67, vão tornar isso preciso.

49.4 Exercícios

Exercício 49.1 ★

Que tabelas são tabelas de proporcionalidade? Dê o coeficiente quando ele existir.

	$3$	$7$	$11$
	$7.5$	$17.5$	$27.5$

	$2$	$5$	$9$
	$6$	$15$	$28$

Solução

Solução de Exercício 49.1.

Primeira tabela: quocientes $\frac{7.5}{3} = 2.5$ , $\frac{17.5}{7} = 2.5$ , $\frac{27.5}{11} = 2.5$ : proporcional, com coeficiente $2.5$ .

Segunda tabela: $\frac62 = 3$ e $\frac{15}{5} = 3$ , mas $\frac{28}{9} \approx 3.1$ : não é proporcional.

Exercício 49.2 ★

Complete usando a regra da cruz, escrevendo o cálculo: $5$ kg de batata custam $6$ reais; quanto custam $8$ kg?

Solução

Solução de Exercício 49.2.

Com a regra da cruz: $5 \times p = 6 \times 8$ , então $p = \frac{48}{5} = 9.60$ reais.

Exercício 49.3 ★

Uma impressora imprime $36$ páginas em $3$ minutos. No mesmo ritmo, quantas páginas em $5$ minutos? E quanto tempo para $96$ páginas?

Solução

Solução de Exercício 49.3.

Ritmo: $36 \div 3 = 12$ páginas por minuto. Em $5$ minutos: $60$ páginas. Para $96$ páginas: $96 \div 12 = 8$ minutos.

Exercício 49.4 ★

Calcule: $30\,\%$ de $250$ ; $15\,\%$ de $60$ ; o $t\,\%$ tal que $t\,\%$ de $80$ seja $20$ .

Solução

Solução de Exercício 49.4.

$30\,\%$ de $250$ : $0.3 \times 250 = 75$ . $15\,\%$ de $60$ : $0.15 \times 60 = 9$ . $t\,\%$ de $80$ igual a $20$ : $\frac{20}{80} = \frac{25}{100}$ , logo $t = 25$ .

Exercício 49.5 ★

Em $25$ arremessos, uma jogadora de basquete acertou $18$ . Qual é a porcentagem de acerto dela? (Reescreva a fração sobre $100$ .)

Solução

Solução de Exercício 49.5.

$\frac{18}{25} = \frac{18 \times 4}{25 \times 4} = \frac{72}{100} = 72\,\%$ .

Exercício 49.6 ★

Num mapa $1 : 25\,000$ , uma trilha mede $9$ cm. Qual é o comprimento real dela, em km? Um lago tem $2$ km de comprimento: que comprimento ele tem no mapa?

Solução

Solução de Exercício 49.6.

Trilha: $9 \times 25\,000 = 225\,000$ cm $= 2.25$ km. Lago: $2$ km $= 200\,000$ cm no terreno, então $200\,000 \div 25\,000 = 8$ cm no mapa.

Exercício 49.7 ★

Um carrinho de coleção é feito na escala $1 : 43$ . O carro real tem $4.3$ m de comprimento. Que comprimento tem o carrinho, em cm?

Solução

Solução de Exercício 49.7.

$4.3$ m $= 430$ cm, e $430 \div 43 = 10$ cm.

Exercício 49.8 ★★

Uma receita usa $240$ g de chocolate para $8$ porções. Aline tem $300$ g de chocolate. Para quantas porções isso dá (número inteiro de porções)?

Solução

Solução de Exercício 49.8.

Chocolate por porção: $240 \div 8 = 30$ g. Com $300$ g: $300 \div 30 = 10$ porções exatamente.

Exercício 49.9 ★★

O preço de uma jaqueta cai de $80$ para $60$ reais.

De quanto é o desconto em reais? E em porcentagem do preço original?
Mais tarde o preço volta de $60$ para $80$ reais. Explique por que essa alta não é de $25\,\%$ — calcule a porcentagem correta de aumento.

Solução

Solução de Exercício 49.9.

1. Desconto: $20$ reais, ou seja, $\frac{20}{80} = 25\,\%$ do preço original.

2. A alta de $20$ reais agora é comparada com a nova referência $60$ : $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$ . Uma porcentagem sempre se refere a um todo; o todo mudou, então a porcentagem também.

Exercício 49.10 ★★

Duas linhas de uma tabela são proporcionais:

	$4$	$x$	$10$
	$y$	$10.5$	$17.5$

Encontre o coeficiente e depois $x$ e $y$ .

Solução

Solução de Exercício 49.10.

Coeficiente pela coluna completa: $\frac{17.5}{10} = 1.75$ . Então $y = 4 \times 1.75 = 7$ e $x = \frac{10.5}{1.75} = 6$ .

Exercício 49.11 ★★★

Uma copiadora reduz os documentos a $80\,\%$ do tamanho deles. Um segmento de $10$ cm é copiado e depois a cópia é copiada de novo com o mesmo ajuste.

Que comprimento tem o segmento depois de uma cópia? E depois de duas?
Por que a resposta depois de duas cópias não é $60\,\%$ do original? Que porcentagem única corresponde a duas cópias?

Solução

Solução de Exercício 49.11.

1. Depois de uma cópia: $10 \times 0.8 = 8$ cm. Depois de duas: $8 \times 0.8 = 6.4$ cm.

2. A segunda redução incide sobre a cópia já reduzida, e não sobre o original: os fatores se multiplicam, $0.8 \times 0.8 = 0.64$ , então duas cópias reduzem a $64\,\%$ do original — e não a $60\,\%$ .

49.5 Problema: medir a Terra com uma vara

Problema 49.1

Problema de fim de semana — as sombras são uma proporcionalidade, e como Eratóstenes calculou o comprimento da Terra em 240 a.C.

Vinte e dois séculos atrás, sem telescópio, sem satélite e sem calculadora, o bibliotecário de Alexandria mediu a Terra — usando uma vara, um poço, uma caravana de camelos e a matemática deste capítulo. Este problema refaz os passos dele: primeiro a proporcionalidade das sombras, depois a famosa conta em si e, por fim, o que a resposta dele parece em escala humana.

Parte I — A sombra de uma vara. O Sol está tão longe que os raios dele chegam até nós paralelos uns aos outros. Num dado momento, todos os objetos verticais e as sombras deles são, portanto, proporcionais.

Ao meio-dia, uma vara vertical de $1$ m projeta uma sombra de $0.4$ m, e a sombra de uma árvore mede $3.2$ m. Que altura tem a árvore (Teorema 49.3)?
No mesmo momento, uma torre projeta uma sombra de $26$ m: que altura tem a torre? E que comprimento tem a sombra de uma criança de $1.5$ m?
Explique em uma frase por que todas essas contas só valem no mesmo momento do dia.
Conta a lenda que Tales mediu a Grande Pirâmide esperando o momento em que a própria sombra dele ficasse exatamente do tamanho da altura dele. Qual é o coeficiente de proporcionalidade nesse momento, e que altura tem a pirâmide se a ponta da sombra dela fica a $147$ m do ponto do chão que está logo abaixo do ápice?
Resuma a Parte I: num dado momento, que grandeza é a mesma para a vara, a árvore, a torre e a pirâmide (Definição 49.1)?

Parte II — A conta de Eratóstenes. Eratóstenes conhecia dois fatos. Na cidade de Siena, ao meio-dia do solstício de verão, o Sol ficava exatamente a pino: a luz alcançava o fundo dos poços mais profundos, e as varas verticais não projetavam sombra. Em Alexandria, $800$ km ao norte, no mesmo momento, uma vara vertical projetava sombra, e os raios do Sol faziam um ângulo de $7.2^\circ$ com a vertical.

Explique por que essas duas observações, juntas, provam que o chão de Siena e o chão de Alexandria não são paralelos — isto é, que a superfície da Terra é curva. (O que raios paralelos fariam com duas varas numa Terra plana?)
Num desenho da Terra redonda com raios de Sol paralelos, os $7.2^\circ$ de Alexandria reaparecem no centro da Terra, como o ângulo entre as direções das duas cidades. Faça o desenho e convença-se disso (a justificativa limpa usa os pares de ângulos iguais do Capítulo 51).
Que fração de uma volta completa são $7.2^\circ$ ?
O arco de Siena até Alexandria ( $800$ km) corresponde a $7.2^\circ$ ; o comprimento inteiro corresponde a $360^\circ$ . Monte a proporcionalidade e calcule o comprimento da Terra.
Deduza o diâmetro da Terra, usando $\pi \approx 3.14$ (Proposição 43.3) e arredondando à centena de quilômetros mais próxima. (O valor moderno é $12\,742$ km — quão perto chegou um homem com uma vara em 240 a.C.?)

Parte III — A Terra em escala humana.

Um globo é construído na escala $1 : 40\,000\,000$ . Usando o comprimento encontrado na questão 9, mostre que o comprimento do globo é exatamente $1$ m. Qual é o diâmetro dele, ao centímetro mais próximo?
O Monte Branco sobe cerca de $4.8$ km. Converta $4.8$ km em centímetros, divida por $40\,000\,000$ e expresse a altura da montanha no globo em milímetros. O que a resposta diz sobre o quanto a Terra é de fato “cheia de bolotas”?
Um caminhante percorre $40$ km por dia. Nesse ritmo, quantos dias para o comprimento inteiro de Eratóstenes — e isso dá, mais ou menos, quantos anos?
A atmosfera respirável está concentrada, grosso modo, nos primeiros $10$ km acima do chão. Que porcentagem do raio da Terra (cerca de $6\,370$ km) é isso (Método 49.5)? Arredonde ao décimo de por cento.
Os historiadores estimam que o valor anunciado por Eratóstenes, convertido para unidades modernas, pode ter sido de cerca de $42\,000$ km. Tomando $40\,000$ km como valor verdadeiro, calcule a porcentagem de erro dele. Conclua em uma frase sobre varas, poços e proporcionalidade.

Solução

Solução de Problema 49.1.

1. Alturas e sombras são proporcionais, então, pela regra da cruz (Teorema 49.3), com a coluna da vara $(1,\ 0.4)$ e a da árvore $(h,\ 3.2)$ : $0.4 \times h = 1 \times 3.2$ , logo $h = \frac{3.2}{0.4} = 8$ m.

2. Torre: $\frac{26}{0.4} = 65$ m. Sombra da criança: $1.5 \times 0.4 = 0.6$ m (sombra $=$ altura $\times$ o coeficiente do momento, $0.4$ ).

3. À medida que o Sol atravessa o céu, o coeficiente que liga alturas a sombras muda; só medidas tomadas no mesmo momento compartilham o mesmo coeficiente.

4. Nesse momento o coeficiente é $1$ : toda altura é igual à sombra dela. O ápice da pirâmide está, portanto, a $147$ m de altura — a altura da Grande Pirâmide (basta a ponta da sombra dela, medida a partir do ponto abaixo do ápice).

5. O quociente de coluna $\frac{\text{sombra}}{\text{altura}}$ — o coeficiente de proporcionalidade do momento — é comum a todo objeto vertical: é exatamente isso que faz da tabela de alturas e sombras uma tabela de proporcionalidade (Definição 49.1).

6. Os raios de Sol chegam paralelos. Numa Terra plana, dois raios paralelos atingiriam duas varas verticais com o mesmo ângulo: as duas projetariam sombras proporcionais — ou as duas sem sombra, ou as duas com sombra. Uma vara sem sombra (Siena) e outra com sombra (Alexandria), no mesmo instante, é impossível numa Terra plana: as duas verticais têm de apontar em direções diferentes — a superfície é curva.

7. No desenho, a vertical de Siena aponta direto para o Sol; a vertical de Alexandria está inclinada pelo ângulo entre as direções das duas cidades, visto do centro. Como os raios são paralelos, essa inclinação é exatamente os $7.2^\circ$ medidos entre raio e vara em Alexandria.

8. $\frac{7.2}{360} = \frac{72}{3600} = \frac{1}{50}$ : um cinquenta avos de volta completa.

9. Os comprimentos de arco são proporcionais aos ângulos: se $7.2^\circ$ — um cinquenta avos da volta — correspondem a $800$ km, a volta inteira corresponde a

50 \times 800 = 40\,000 \text{ km}.

10. Diâmetro $= \frac{\text{comprimento}}{\pi} \approx \frac{40\,000}{3.14} \approx 12\,700$ km — contra os $12\,742$ km modernos: certo com folga dentro de um por cento, com uma vara.

11. $40\,000$ km $= 4\,000\,000\,000$ cm, e $4\,000\,000\,000 \div 40\,000\,000 = 100$ cm $= 1$ m de comprimento. Diâmetro: $100 \div 3.14 \approx 32$ cm — um belo globo de mesa.

12. $4.8$ km $= 480\,000$ cm, e $480\,000 \div 40\,000\,000 = 0.012$ cm $= 0.12$ mm. A montanha mais alta dos Alpes é um décimo de milímetro num globo de um metro de contorno: um grão de poeira. Nessa escala, a Terra é mais lisa que a maioria das bolas polidas.

13. $40\,000 \div 40 = 1\,000$ dias, e $1\,000 \div 365 \approx 2.7$ : quase três anos de caminhada.

14. $\frac{10}{6\,370} \approx 0.0016$ , ou seja, cerca de $0.2\,\%$ (mais precisamente $0.16\,\%$ ): a atmosfera é uma pele finíssima sobre o planeta.

15. Erro: $42\,000 - 40\,000 = 2\,000$ km, e $\frac{2\,000}{40\,000} = \frac{5}{100} = 5\,\%$ . Em uma frase: com uma vara, um poço, uma estrada medida e uma proporcionalidade, Eratóstenes mediu um planeta com poucos por cento de erro — a matemática viaja longe com muito pouco.