Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

26Retas e polígonos

Com régua, esquadro e compasso, a geometria vira um ofício. Este capítulo ensina as duas posições especiais de retas — perpendiculares e paralelas — no nível das ferramentas, e faz um passeio pela família dos polígonos. (A teoria dessas noções vem no Capítulo 40.)

26.1 Perpendiculares e paralelas

Definição 26.1 (Perpendiculares, paralelas)

Duas retas são perpendiculares quando se cruzam formando um ângulo reto (conferido com o esquadro, marcado com um quadradinho). Duas retas são paralelas quando seguem a mesma direção e nunca se cruzam — como os dois trilhos de uma ferrovia, sempre à mesma distância uma da outra.

Método 26.2 (Traçar com o esquadro)

Perpendicular a uma reta $d$ passando por um ponto $P$ : apoie uma das bordas do ângulo reto sobre $d$ , deslize até a outra borda alcançar $P$ e trace.

Paralela a $d$ passando por $P$ : apoie a borda do esquadro sobre $d$ , encoste a régua em outra borda para servir de trilho, deslize o esquadro ao longo da régua até $P$ e trace.

As duas construções. Retas paralelas mantêm distância constante: medir essa distância em dois lugares é uma boa conferência.

Exemplo 26.3 (Reconhecê-las nas figuras)

Num retângulo, cada lado é perpendicular aos dois vizinhos e paralelo ao lado oposto. O papel quadriculado é uma rede pronta de paralelas e perpendiculares — é o que o torna tão confortável para desenhar.

26.2 Polígonos

Definição 26.4 (Polígono)

Um polígono é uma figura fechada cujo contorno é feito de segmentos de reta, os seus lados; os pontos dos cantos são os vértices. Os polígonos recebem nome pelo número de lados: triângulo ( $3$ ), quadrilátero ( $4$ ), pentágono ( $5$ ), hexágono ( $6$ ), octógono ( $8$ ).

A família dos polígonos (o pentágono e o hexágono desenhados aqui são regulares: lados iguais e cantos iguais). O círculo não é um polígono: o contorno dele não é feito de segmentos. — A família dos polígonos (o pentágono e o hexágono desenhados aqui são *regulares*: lados iguais e cantos iguais). O círculo não é um polígono: o contorno dele não é feito de segmentos.

Exemplo 26.5 (Descrever um polígono)

Uma brincadeira útil: descrever uma figura com tanta precisão que um colega consiga redesenhá-la sem vê-la. “Um quadrilátero $ABCD$ com $AB = 5$ cm, o ângulo em $A$ reto, $AD = 3$ cm …” — é o vocabulário que faz a mensagem funcionar.

26.3 O círculo e o compasso

Definição 26.6 (Círculo)

O círculo de centro $O$ e raio $3$ cm é o conjunto de todos os pontos que estão a exatamente $3$ cm de $O$ . O compasso o traça: ponta seca em $O$ , abertura de $3$ cm, gire. Um diâmetro é um segmento que passa pelo centro e liga dois pontos do círculo; ele mede o dobro do raio.

Exemplo 26.7 (O compasso como guardador de distâncias)

O compasso faz mais do que traçar círculos: ele transporta distâncias. Para marcar todos os pontos a $4$ cm de um ponto $A$ , trace o círculo de centro $A$ e raio $4$ cm; para comparar dois segmentos sem régua, abra o compasso sobre um e teste-o no outro.

Método 26.8 (Reproduzir uma figura na malha)

Escolha um vértice de partida e a posição dele na malha vazia;
percorra a figura vértice por vértice, contando os passos da malha (“ $3$ para a direita, $2$ para cima”);
ligue os vértices em ordem e compare com o modelo: mesmos comprimentos, mesmas direções.

26.4 Exercícios

Exercício 26.1 ★

Trace uma reta $d$ e um ponto $P$ fora dela. Construa a perpendicular a $d$ por $P$ e depois a paralela a $d$ por $P$ (com o método da régua-trilho). Marque o ângulo reto.

Solução

Solução de Exercício 26.1.

Construções com o Método 26.2; o quadradinho marca o ângulo reto entre $d$ e a perpendicular.

Exercício 26.2 ★

Observe as letras maiúsculas E, H, N, T, Z. Em cada uma, encontre um par de traços paralelos e um par de traços perpendiculares, quando existirem.

Solução

Solução de Exercício 26.2.

E: os três traços horizontais são paralelos; cada um é perpendicular ao traço vertical. H: os dois traços verticais são paralelos, e a barra do meio é perpendicular aos dois. N: os dois traços verticais são paralelos; a diagonal não é nem uma coisa nem outra. T: os dois traços são perpendiculares. Z: o traço de cima e o de baixo são paralelos; a diagonal não é nem uma coisa nem outra.

Exercício 26.3 ★

Dê o nome de cada polígono: $6$ lados; $4$ lados; $3$ lados; $8$ lados; $5$ lados. Quantos vértices cada um tem?

Solução

Solução de Exercício 26.3.

Hexágono; quadrilátero; triângulo; octógono; pentágono. Um polígono tem tantos vértices quantos lados: $6$ , $4$ , $3$ , $8$ , $5$ .

Exercício 26.4 ★

Trace um pentágono qualquer (não necessariamente regular) e nomeie os vértices $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , $E$ . Quantos lados ele tem? Trace as diagonais que saem de $A$ (segmentos que ligam $A$ a vértices não vizinhos): quantas são?

Solução

Solução de Exercício 26.4.

Um pentágono tem $5$ lados. A partir de $A$ , os vértices não vizinhos são $C$ e $D$ : duas diagonais, $[AC]$ e $[AD]$ .

Exercício 26.5 ★

Trace um círculo de centro $O$ e raio $4$ cm; um diâmetro $[AB]$ ; e um ponto $M$ do círculo fora de $[AB]$ . Dê os comprimentos $OA$ , $OM$ e $AB$ sem medir.

Solução

Solução de Exercício 26.5.

$OA = 4$ cm (raio); $OM = 4$ cm (todo ponto do círculo); $AB = 8$ cm (um diâmetro é o dobro do raio).

Exercício 26.6 ★

Com o compasso como guardador de distâncias (Exemplo 26.7), compare os lados de um triângulo traçado por um colega e decida se ele tem dois lados iguais.

Solução

Solução de Exercício 26.6.

Abra o compasso sobre um dos lados e leve essa abertura aos outros dois: se o vão entre ponta seca e grafite couber exatamente num segundo lado, esses dois lados são iguais.

Exercício 26.7 ★

No papel quadriculado, reproduza este caminho e feche-o num polígono: comece num ponto $A$ ; ande $4$ para a direita; $2$ para cima; $3$ para a esquerda; $2$ para cima; depois volte a $A$ em linha reta. Qual é o nome do polígono que você obtém (conte os lados)?

Solução

Solução de Exercício 26.7.

O caminho se fecha num polígono de $5$ lados — um pentágono (não regular!).

Exercício 26.8 ★

Verdadeiro ou falso? Explique com um desenho. “Duas retas perpendiculares sempre se cruzam.” “Duas retas paralelas nunca se cruzam.” “Uma reta pode ser paralela a uma reta e perpendicular a outra.”

Solução

Solução de Exercício 26.8.

“Retas perpendiculares sempre se cruzam”: verdadeiro — elas se cruzam no próprio ângulo reto.

“Retas paralelas nunca se cruzam”: verdadeiro — é a definição delas.

“Uma reta pode ser paralela a uma reta e perpendicular a outra”: verdadeiro — no papel quadriculado, uma linha horizontal é paralela a toda linha horizontal e perpendicular a toda linha vertical.

Exercício 26.9 ★★

Trace uma reta $d$ , depois uma reta $e$ perpendicular a $d$ , depois uma reta $f$ perpendicular a $e$ . Olhe para $d$ e $f$ : o que você percebe? (Essa observação vira um teorema no Capítulo 40.)

Solução

Solução de Exercício 26.9.

As retas $d$ e $f$ parecem paralelas — e sempre são: duas retas perpendiculares a uma mesma reta são paralelas (Proposição 40.3 torna isso oficial).

Exercício 26.10 ★★

Descreva a figura abaixo com palavras para um colega, sem mostrá-la: um quadrado de lado $4$ cm, com um círculo de raio $2$ cm centrado no meio do quadrado (tocando os quatro lados). Escreva a descrição como instruções numeradas.

Solução

Solução de Exercício 26.10.

Um programa correto: “1. Trace um quadrado $ABCD$ de lado $4$ cm. 2. Marque o ponto $O$ onde as diagonais dele se cruzam. 3. Trace o círculo de centro $O$ e raio $2$ cm.” O círculo toca cada lado no meio dele.

Exercício 26.11 ★★

Quantas diagonais tem um quadrilátero? E um pentágono? E um hexágono? Desenhe os três casos, conte com cuidado e descreva o padrão que você observa.

Solução

Solução de Exercício 26.11.

Quadrilátero: $2$ diagonais. Pentágono: $5$ . Hexágono: $9$ . Cada vértice novo acrescenta mais e mais diagonais — as contagens crescem cada vez mais depressa ( $+3$ , depois $+4$ , …).