प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9
15जोड़ और घटाव
जोड़ना यानी मिलाना; घटाना यानी निकालना, या यह पता करना कि कितना कम है। यह अध्याय खानों वाले दोनों तरीक़े सिखाता है — अपने मशहूर हासिल और उधार के साथ — और वे मानसिक तरकीबें भी, जिनसे अक्सर खाने बनाने की ज़रूरत ही नहीं पड़ती।
15.1 खानों में जोड़
विधि 15.1 (खानों में जोड़ना)
- संख्याएँ एक के नीचे एक लिखो, इकाई के नीचे इकाई, दहाई के नीचे दहाई (दाईं ओर से मिलाकर);
- इकाइयाँ जोड़ो; योगफल से आगे निकले तो उसका इकाई अंक लिखो और दहाई को अगले खाने में हासिल भेजो (छोटा );
- इसी तरह दहाई, सैकड़ा, … करते जाओ, हर बार हासिल जोड़ते हुए।
उदाहरण 15.2
निकालो:
इकाई: : लिखो, हासिल। दहाई: : लिखो, हासिल। सैकड़ा: । नतीजा: ।
उदाहरण 15.3 (मन-ही-मन जोड़)
खानों तक पहुँचने से पहले मिलनसार संख्याएँ ढूँढ़ो:
- दहाई बनाओ: ;
- हिस्सों में छलाँग: ;
- क्रम बदलो: ।
15.2 खानों में घटाव
विधि 15.4 (खानों में घटाना)
- बड़ी संख्या ऊपर लिखो, दाईं ओर से मिलाकर;
- इकाई से शुरू करके खाना-दर-खाना घटाओ;
- ऊपर का अंक छोटा पड़े तो उधार लो: ऊपर वाली पंक्ति के अगले स्थान से एक लो (इस खाने में वह दस के बराबर होता है);
- जाँचो: नतीजे में घटाई गई संख्या जोड़ने पर ऊपर वाली संख्या वापस मिलनी चाहिए।
उदाहरण 15.5
निकालो:
इकाई: नहीं हो सकता; उधार लेकर आगे बढ़ो: बन जाता है सैकड़ा, दहाई, इकाई। फिर ; दहाई ; सैकड़ा । नतीजा: । जाँच: ।
उदाहरण 15.6 (घटाव यानी लापता हिस्सा)
“लीला के पास कंचे हैं, टॉम के पास : टॉम के पास कितने ज़्यादा?” यह घटाव है। मन-ही-मन से आगे गिनो: पर , फिर पर ; कुल । आगे गिनना अक्सर उधार लेने से आसान होता है।
15.3 परिमाण की कोटि
विधि 15.7 (गणना से पहले अंदाज़ा)
खानों में कोई भी गणना करने से पहले संख्याओं को मिलनसार संख्याओं तक गोल करके एक अंदाज़ा लगा लो। गणना के बाद तुलना करो: अंदाज़े से बहुत दूर का नतीजा किसी ग़लती का संकेत है।
उदाहरण 15.8
के लिए अंदाज़ा है। खानों का नतीजा उसके पास है: भरोसेमंद। अगर मिला होता (खाने ग़लत मिलाने पर), तो अंदाज़ा चेतावनी दे देता।
15.4 अभ्यास
अभ्यास 15.1 ★
खानों में निकालो: ; ; ।
हल
हल — अभ्यास 15.1.
; ; ।
अभ्यास 15.2 ★
खानों में निकालो, फिर जोड़ से जाँचो: ; ; ।
हल
हल — अभ्यास 15.2.
(जाँच: )।
(जाँच: )।
(जाँच: )।
अभ्यास 15.3 ★
दहाई बनाकर मन-ही-मन निकालो: ; ; ( जोड़ो, घटाओ)।
हल
हल — अभ्यास 15.3.
; ; ।
अभ्यास 15.4 ★
छलाँगों से मन-ही-मन निकालो: ; ; ; ।
हल
हल — अभ्यास 15.4.
; ; ; ।
अभ्यास 15.5 ★
को आगे गिनकर निकालो (जैसे उदाहरण 15.6 में), फिर खानों में जाँचो।
हल
हल — अभ्यास 15.5.
से तक: ; से तक: ; कुल । खाने पुष्टि करते हैं: ।
अभ्यास 15.6 ★
पहले अंदाज़ा लगाओ (सैकड़ों तक गोल करो), फिर ठीक-ठीक निकालो: ; ।
हल
हल — अभ्यास 15.6.
: अंदाज़ा ; ठीक-ठीक ।
: अंदाज़ा ; ठीक-ठीक ।
अभ्यास 15.7 ★
एक विद्यालय में लड़कियाँ और लड़के हैं। कुल कितने विद्यार्थी? संक्रिया लिखो, निकालो, और एक वाक्य में उत्तर दो।
हल
हल — अभ्यास 15.7.
। विद्यालय में विद्यार्थी हैं।
अभ्यास 15.8 ★
एक किताब में पन्ने हैं; नोरा ने पढ़ लिए हैं। कितने पन्ने पढ़ने बाक़ी हैं?
हल
हल — अभ्यास 15.8.
। नोरा को अभी पन्ने पढ़ने हैं।
अभ्यास 15.9 ★
ख़ाली जगह भरो (खाना-दर-खाना काम करो):
क्या तीनों जगह भरने का सिर्फ़ एक ही तरीक़ा है? समझाओ।
हल
हल — अभ्यास 15.9.
इकाई: नहीं हो सकता, इसलिए : इकाई की ख़ाली जगह है, हासिल। दहाई: : दहाई की ख़ाली जगह है (कोई हासिल नहीं)। सैकड़ा: : सैकड़े की ख़ाली जगह है। तो , और हर जगह के लिए ठीक एक ही अंक बनता है — तरीक़ा एक ही है।
अभ्यास 15.10 ★★
एक नानबाई ने सुबह बन और दोपहर में बेचे; दुकान बंद करते समय बन बिना बिके बचे। उस दिन कुल कितने बन बने थे? (दो कदम।)
हल
हल — अभ्यास 15.10.
बिके: बन। बने: बिके और बिना बिके मिलाकर, बन।
अभ्यास 15.11 ★★
थियो कहता है: “ निकालने के लिए मैं निकालता हूँ और फिर जोड़ देता हूँ।” क्या वह सही है? दोनों तरीक़ों से निकालो, और उसकी तरकीब समझाओ।
हल
हल — अभ्यास 15.11.
वह सही है: , और जोड़ने पर ; खानों में भी । घटाने पर एक ज़्यादा निकल जाता है, इसलिए एक वापस देना पड़ता है — मिलनसार पड़ोसी को घटाकर सुधार कर लेना अक्सर उधार लेने से तेज़ होता है।