Mathematics · किताब 1 · Grades 1–9

प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित

प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9

21बड़ी संख्याएँ

अध्याय 14 में छत हज़ार तक थी; अब वह मिलियन तक उठ जाती है। बहुत बड़ी संख्याओं को पढ़ने लायक़ बनाने की तरकीब यह है कि उनके अंकों को तीन-तीन के अंक-समूहों में काट दिया जाए।

21.1 तीन अंकों के समूह

परिभाषा 21.1 (अंक-समूह)

दाईं ओर से शुरू करके संख्या के अंक तीन-तीन में बाँटे जाते हैं; ऐसे हर तीन अंकों को एक अंक-समूह कहते हैं: इकाई का समूह, हज़ार का समूह, मिलियन का समूह। हर समूह की अपनी इकाई, दहाई और सैकड़ा होती है। जैसे

6 309 452=6 मिलियन+309 हज़ार+452 इकाई,6\,309\,452 = 6 \text{ मिलियन} + 309 \text{ हज़ार} + 452 \text{ इकाई},

जिसे “छह मिलियन तीन सौ नौ हज़ार चार सौ बावन” पढ़ते हैं।

6\,309\,452 की समूह-सारणी (सै = हर समूह का सैकड़ा, दह = दहाई, इक = इकाई)। बड़ी संख्या पढ़ने का मतलब है हर समूह पढ़ना और उसके बाद उसका नाम कहना।
6 309 4526\,309\,452 की समूह-सारणी (सै == हर समूह का सैकड़ा, दह == दहाई, इक == इकाई)। बड़ी संख्या पढ़ने का मतलब है हर समूह पढ़ना और उसके बाद उसका नाम कहना।

उदाहरण 21.2 (अंक-समूहों से लिखना)

“बारह मिलियन चालीस हज़ार पाँच सौ” में मिलियन के समूह में 1212 है, हज़ार के समूह में 040040, और इकाई के समूह में 500500:

12 040 500.12\,040\,500 .

040040 के शून्य ज़रूरी हैं: सबसे बाएँ वाले को छोड़कर हर समूह को अपने तीनों अंक दिखाने पड़ते हैं।

उदाहरण 21.3 (कितने हज़ार?)

संख्या 6 309 4526\,309\,452 में 6 3096\,309 हज़ार समाए हैं (इकाई के समूह के बाईं ओर का सब कुछ): 6 309 452=6 309×1 000+4526\,309\,452 = 6\,309 \times 1\,000 + 452। “कितने हज़ार” पूछना किसी एक अंक के बारे में पूछना नहीं, बल्कि संख्या के पूरे अगले हिस्से के बारे में पूछना है।

21.2 तुलना और गोल करना

विधि 21.4 (बड़ी संख्याओं की तुलना)

ठीक वैसे ही जैसे विधि 14.4 में, बस अंक-समूह एक छोटा रास्ता दे देते हैं: ज़्यादा अंक वाली बड़ी; अंक बराबर हों तो बाईं ओर से — समूह-दर-समूह, फिर अंक-दर-अंक।

उदाहरण 21.5

2 145 8902\,145\,890 और 2 148 5402\,148\,540: मिलियन बराबर (22), हज़ार का समूह 145<148145 < 148, इसलिए

2 145 890<2 148 540.2\,145\,890 < 2\,148\,540 .

परिभाषा 21.6 (गोल करना)

किसी संख्या को नज़दीकी हज़ार तक (या दहाई, सैकड़ा, मिलियन … तक) गोल करना यानी उसकी जगह 1 0001\,000 का सबसे नज़दीकी गुणज रख देना। संख्या ठीक बीच में पड़े तो ऊपर की ओर गोल करो। व्यवहार में: गोल करने वाले स्थान से ठीक नीचे का अंक देखो — 55 या उससे ज़्यादा हो तो ऊपर, 44 या उससे कम हो तो नीचे।

उदाहरण 21.7

37 61437\,614 को नज़दीकी हज़ार तक गोल करो: सैकड़े का अंक 66 है, इसलिए ऊपर गोल करो: 38 00038\,000। नज़दीकी सैकड़े तक: 37 60037\,600। नज़दीकी दस हज़ार तक: 40 00040\,000।

37\,614 को नज़दीकी हज़ार तक गोल करना: वह बीच के निशान 37\,500 से आगे पड़ता है, इसलिए ऊपर गोल होकर 38\,000 बनता है।
37 61437\,614 को नज़दीकी हज़ार तक गोल करना: वह बीच के निशान 37 50037\,500 से आगे पड़ता है, इसलिए ऊपर गोल होकर 38 00038\,000 बनता है।

उदाहरण 21.8 (दुनिया में परिमाण की कोटि)

बड़ी संख्याएँ असल में गोल करके ही इस्तेमाल होती हैं: 67 842 59167\,842\,591 निवासियों वाला देश “लगभग 6868 मिलियन” का है; 214 376214\,376 लोगों का शहर “लगभग 200 000200\,000” का। ठीक-ठीक आँकड़ा तो रोज़ बदलता रहता है — काम की जानकारी गोल की हुई संख्या ही देती है।

21.3 अभ्यास

अभ्यास 21.1 ★

अंक-समूह अलग करके अंकों में लिखो: “तीन मिलियन पाँच सौ बीस हज़ार”; “सात मिलियन आठ”; “दो सौ चालीस हज़ार साठ”।

हल

हल — अभ्यास 21.1.

3 520 0003\,520\,000; 7 000 0087\,000\,008; 240 060240\,060।

अभ्यास 21.2 ★

शब्दों में लिखो: 5 204 3005\,204\,300; 10 050 00010\,050\,000; 999 999999\,999।

हल

हल — अभ्यास 21.2.

5 204 3005\,204\,300: पाँच मिलियन दो सौ चार हज़ार तीन सौ।

10 050 00010\,050\,000: दस मिलियन पचास हज़ार।

999 999999\,999: नौ सौ निन्यानवे हज़ार नौ सौ निन्यानवे।

अभ्यास 21.3 ★

8 472 1568\,472\,156 में: दस हज़ार का अंक कौन-सा है? मिलियन समूह का सैकड़ा? संख्या में कितने हज़ार समाए हैं (देखो उदाहरण 21.3)?

हल

हल — अभ्यास 21.3.

दस हज़ार का अंक: 77। मिलियन समूह का सैकड़ा: सात अंकों की संख्या में सौ-मिलियन का अंक होता ही नहीं — 8 472 1568\,472\,156 के मिलियन समूह में केवल अंक 88 है (मिलियन की इकाई)। समाए हुए हज़ार: 8 4728\,472 (क्योंकि 8 472 156=8 472×1 000+1568\,472\,156 = 8\,472 \times 1\,000 + 156)।

अभ्यास 21.4 ★

उतार कर << या >> से पूरा करो:

980 000  ?  1 020 000,3 456 000  ?  3 465 000,7 090 050  ?  7 090 500.980\,000 \;?\; 1\,020\,000, \qquad 3\,456\,000 \;?\; 3\,465\,000, \qquad 7\,090\,050 \;?\; 7\,090\,500 .
हल

हल — अभ्यास 21.4.

980 000<1 020 000980\,000 < 1\,020\,000; 3 456 000<3 465 0003\,456\,000 < 3\,465\,000 (हज़ार समूह 456<465456 < 465); 7 090 050<7 090 5007\,090\,050 < 7\,090\,500।

अभ्यास 21.5 ★

सबसे छोटी से सबसे बड़ी के क्रम में लिखो: 2 300 0002\,300\,000; 980 500980\,500; 2 030 0002\,030\,000; 2 299 9992\,299\,999।

हल

हल — अभ्यास 21.5.

980 500<2 030 000<2 299 999<2 300 000980\,500 < 2\,030\,000 < 2\,299\,999 < 2\,300\,000।

अभ्यास 21.6 ★

63 78263\,782 को गोल करो: नज़दीकी दहाई तक; नज़दीकी सैकड़े तक; नज़दीकी हज़ार तक; नज़दीकी दस हज़ार तक।

हल

हल — अभ्यास 21.6.

दहाई तक: 63 78063\,780। सैकड़े तक: 63 80063\,800। हज़ार तक: 64 00064\,000। दस हज़ार तक: 60 00060\,000।

अभ्यास 21.7 ★

नज़दीकी मिलियन तक गोल करो: 4 721 0004\,721\,000; 6 499 9996\,499\,999; 9 500 0009\,500\,000।

हल

हल — अभ्यास 21.7.

5 000 0005\,000\,000; 6 000 0006\,000\,000 (499 999499\,999 आधे मिलियन से कम पड़ता है); 10 000 00010\,000\,000 (ठीक बीच वाला ऊपर गोल होता है)।

अभ्यास 21.8 ★

कदम-दर-कदम गिनो: 998 500998\,500 से 1 0001\,000 के तीन कदम; 950 000950\,000 से 100 000100\,000 के दो कदम। मिलियन पार करते ही अंक-समूहों का क्या होता है?

हल

हल — अभ्यास 21.8.

998 500→999 500→1 000 500→1 001 500998\,500 \to 999\,500 \to 1\,000\,500 \to 1\,001\,500: दूसरा कदम मिलियन पार कर जाता है, और बाईं ओर एक नया समूह जग जाता है।

950 000→1 050 000→1 150 000950\,000 \to 1\,050\,000 \to 1\,150\,000: यहाँ पहला ही कदम पार कर जाता है।

अभ्यास 21.9 ★

एक स्टेडियम में 81 33881\,338 दर्शक आते हैं। एक अख़बार लिखता है “80 00080\,000 से ज़्यादा प्रशंसक”; एक रेडियो कहता है “लगभग 81 00081\,000”। क्या दोनों सही हैं? किसने किस स्थान तक गोल किया?

हल

हल — अभ्यास 21.9.

दोनों सही हैं। “80 00080\,000 से ज़्यादा” दस हज़ार तक नीचे गोल करता है (81 338→80 00081\,338 \to 80\,000); “लगभग 81 00081\,000” नज़दीकी हज़ार तक गोल करता है (81 338→81 00081\,338 \to 81\,000)।

अभ्यास 21.10 ★★

अंकों 11 से 77 तक हर एक को ठीक एक बार लेकर सात अंकों की सबसे बड़ी संख्या, सबसे छोटी संख्या, और 4 000 0004\,000\,000 के सबसे नज़दीक वाली संख्या लिखो।

हल

हल — अभ्यास 21.10.

सबसे बड़ी: 7 654 3217\,654\,321। सबसे छोटी: 1 234 5671\,234\,567। 4 000 0004\,000\,000 के सबसे नज़दीक: नीचे की ओर सबसे अच्छी 3 765 4213\,765\,421 है, जो 234 579234\,579 दूर है, जबकि ऊपर की ओर 4 123 5674\,123\,567 केवल 123 567123\,567 दूर है: सबसे नज़दीक 4 123 5674\,123\,567 है।

अभ्यास 21.11 ★★

नज़दीकी हज़ार तक गोल करने पर 50 00050\,000 बनने वाली सबसे बड़ी पूर्ण संख्या कौन-सी है? और सबसे छोटी?

हल

हल — अभ्यास 21.11.

नज़दीकी हज़ार तक गोल करने पर 49 50049\,500 (ठीक बीच वाली ऊपर जाती है) से 50 49950\,499 तक की सारी संख्याएँ 50 00050\,000 देती हैं। सबसे बड़ी: 50 49950\,499; सबसे छोटी: 49 50049\,500।

इस अध्याय में परिभाषित शब्द

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