प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9

28माप और परिमाप

पिछले साल हमने मापपट्टी, तराज़ू और घड़ी से मापा था (अध्याय 19); यह अध्याय मात्रक-सारणी जोड़ता है — वह मशीन जो सब कुछ बदल देती है — और चपटी आकृति नापने के दो तरीक़े: उसकी सीमा की लंबाई (परिमाप) और उसके भीतर की जगह (क्षेत्रफल, फ़िलहाल खानों में गिना हुआ)।

28.1 मात्रक-सारणी

विधि 28.1 (सारणी से मात्रक बदलना)

लंबाइयों के लिए हर स्तंभ अगले स्तंभ से दस गुना है:

$\mathrm{km}$	$\mathrm{hm}$	$\mathrm{dam}$	$\mathrm{m}$	$\mathrm{dm}$	$\mathrm{cm}$	$\mathrm{mm}$
			$3$	$4$	$0$

संख्या इस तरह लिखो कि हर स्तंभ में एक अंक आए, और माप का इकाई अंक अपने मात्रक के स्तंभ में हो (यहाँ $3.4$ m: $3$ , m के नीचे);
संख्या को नए मात्रक में पढ़ो: $3.4$ m $= 340$ cm (ख़ाली स्तंभ शून्य से भरो);
द्रव्यमान (kg … g) और धारिता (L … cL) भी इसी तरह चलते हैं।

उदाहरण 28.2

$5$ km $= 5\,000$ m; $270$ cm $= 2.7$ m ( $2$ , m के नीचे आता है); $3$ kg $250$ g $= 3\,250$ g; $2.5$ L $= 250$ cL।

28.2 परिमाप

परिभाषा 28.3 (परिमाप)

किसी बहुभुज का परिमाप उसकी सीमा की कुल लंबाई है: उसकी सारी भुजाओं की लंबाइयाँ जोड़ दो (एक ही मात्रक में!)। जानी-पहचानी आकृतियों के छोटे रास्ते:

\text{आयत: } P = 2 \times (L + w), \qquad \text{वर्ग: } P = 4 \times c .

उदाहरण 28.4

$12$ m गुणा $7$ m का आयताकार बग़ीचा:

P = 2 \times (12 + 7) = 2 \times 19 = 38 \text{ m}

बाड़ चाहिए। $18$ cm भुजा वाला वर्गाकार फ़ोटो-चौखटा: $P = 4 \times 18 = 72$ cm।

28.3 क्षेत्रफल: खाने गिनना

परिभाषा 28.5 (गिनकर क्षेत्रफल)

जाल पर बनी किसी आकृति का क्षेत्रफल उन जाल-खानों की संख्या है जिन्हें वह ढकती है। दो आधे खाने मिलकर एक गिने जाते हैं। क्षेत्रफल “कितनी सतह” का उत्तर देता है, परिमाप “सीमा कितनी लंबी” का — दो अलग सवाल!

जाल पर दो आकृतियाँ: क्षेत्रफल 8 और 6 खाने। अब सीमाओं पर चलकर इकाइयाँ गिनो: दोनों के लिए 12! परिमाप वही, क्षेत्रफल अलग। — जाल पर दो आकृतियाँ: क्षेत्रफल $8$ और $6$ खाने। अब सीमाओं पर चलकर इकाइयाँ गिनो: दोनों के लिए $12$ ! परिमाप वही, क्षेत्रफल अलग।

उदाहरण 28.6 (आधे खाने)

जाल पर $4$ और $2$ भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज $3$ पूरे खाने और $2$ आधे खाने ढकता है … ध्यान से गिनो: उसका क्षेत्रफल $4 \times 2$ के आयत का आधा है, यानी $4$ खाने। किसी आयत को उसके विकर्ण पर काटने से हमेशा बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुज बनते हैं।

उदाहरण 28.7 (वही क्षेत्रफल, अलग परिमाप)

$4 \times 4$ का वर्ग और $8 \times 2$ का आयत दोनों $16$ खाने ढकते हैं — क्षेत्रफल वही। सीमाएँ: वर्ग के लिए $16$ इकाई, आयत के लिए $20$ । कोई भी माप दूसरे को तय नहीं करता: लंबी-पतली आकृति में थोड़ी-सी सतह के लिए बहुत सारी सीमा होती है।

28.4 अवधियाँ

विधि 28.8 (घंटे के पार समय जोड़ना)

अवधियाँ जोड़नी या घटानी हों तो पूरे घंटों से होकर छलाँगों में काम करो (याद रहे $1$ घंटा $= 60$ मिनट):

9\text{ घं }40 + 35 \text{ मिनट}: \quad 9\text{ घं }40 \xrightarrow{+20} 10\text{ घं }00 \xrightarrow{+15} 10\text{ घं }15 .

मिनट $60$ के पार बिना बदले कभी मत जोड़ो: $40 + 35 = 75$ मिनट $= 1$ घंटा $15$ मिनट।

उदाहरण 28.9

रेलगाड़ी $8{:}47$ पर चलती है और $11{:}05$ पर पहुँचती है। अवधि: $8{:}47 \to 9{:}00$ पर $13$ मिनट; $9{:}00 \to 11{:}00$ पर $2$ घंटे; $11{:}00 \to 11{:}05$ पर $5$ मिनट। कुल: $2$ घंटे $18$ मिनट।

28.5 अभ्यास

अभ्यास 28.1 ★

मात्रक-सारणी से बदलो: $7$ m को cm में; $3.2$ km को m में; $85$ mm को cm में; $4\,500$ m को km में।

हल

हल — अभ्यास 28.1.

$7$ m $= 700$ cm; $3.2$ km $= 3\,200$ m; $85$ mm $= 8.5$ cm; $4\,500$ m $= 4.5$ km।

अभ्यास 28.2 ★

बदलो: $2$ kg को g में; $1\,800$ g को kg और g में; $3.5$ L को cL में; $25$ cL को L में।

हल

हल — अभ्यास 28.2.

$2$ kg $= 2\,000$ g; $1\,800$ g $= 1$ kg $800$ g; $3.5$ L $= 350$ cL; $25$ cL $= 0.25$ L।

अभ्यास 28.3 ★

परिमाप निकालो: $9$ cm $\times$ $5$ cm का आयत; $7.5$ cm भुजा वाला वर्ग; $6$ cm, $8$ cm और $10$ cm भुजाओं वाला त्रिभुज।

हल

हल — अभ्यास 28.3.

आयत: $2 \times (9 + 5) = 28$ cm। वर्ग: $4 \times 7.5 = 30$ cm। त्रिभुज: $6 + 8 + 10 = 24$ cm।

अभ्यास 28.4 ★

एक आयत का परिमाप $26$ cm और लंबाई $8$ cm है। उसकी चौड़ाई निकालो (पहले लंबाई $+$ चौड़ाई निकालो)।

हल

हल — अभ्यास 28.4.

लंबाई $+$ चौड़ाई $= 26 \div 2 = 13$ cm, इसलिए चौड़ाई $13 - 8 = 5$ cm है।

अभ्यास 28.5 ★

जाल वाले काग़ज़ पर ठीक $10$ खाने ढकने वाली L-आकार की आकृति बनाओ, और उसके परिमाप की इकाइयाँ गिनो।

हल

हल — अभ्यास 28.5.

कई L-आकार चलते हैं; $4 \times 2$ के आयत और $2 \times 1$ के पैर से बने $10$ -खाने वाले L की सीमा पर चलने पर $16$ इकाइयाँ मिलती हैं। (कोई भी सही आकृति और ध्यान से की गई गिनती सही है; परिमाप चुने हुए L पर निर्भर करता है।)

अभ्यास 28.6 ★

$12$ खानों के क्षेत्रफल वाले दो अलग-अलग आयत बनाओ। हर एक का परिमाप निकालो। कौन “ज़्यादा गोल” है, कौन “ज़्यादा पतला”?

हल

हल — अभ्यास 28.6.

$3 \times 4$ : परिमाप $14$ । $2 \times 6$ : परिमाप $16$ । ( $1 \times 12$ : परिमाप $26$ ।) आकृति वर्ग के जितनी पास होगी, उसी क्षेत्रफल के लिए परिमाप उतना ही छोटा होगा।

अभ्यास 28.7 ★

जाल पर $6$ और $3$ भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज बना है। खानों में उसका क्षेत्रफल कितना है? (उदाहरण 28.6 का उपयोग करो।)

हल

हल — अभ्यास 28.7.

$6 \times 3$ के आयत का आधा: $18 \div 2 = 9$ खाने।

अभ्यास 28.8 ★

अवधियाँ निकालो: $10{:}20$ से $12{:}45$ तक; $7{:}35$ से $9{:}10$ तक। एक फ़िल्म $1$ घंटा $50$ मिनट की है और $20{:}30$ पर शुरू होती है: वह कब ख़त्म होगी?

हल

हल — अभ्यास 28.8.

$10{:}20 \to 12{:}45$ : $2$ घंटे $25$ मिनट। $7{:}35 \to 9{:}10$ : $1$ घंटा $35$ मिनट। फ़िल्म: $20{:}30 + 1$ घंटा $50$ मिनट $= 22{:}20$ ।

अभ्यास 28.9 ★

किम $60$ m गुणा $45$ m के आयताकार मैदान के $3$ चक्कर दौड़ती है। वह कितने मीटर दौड़ती है?

हल

हल — अभ्यास 28.9.

एक चक्कर: $2 \times (60 + 45) = 210$ m। तीन चक्कर: $3 \times 210 = 630$ m।

अभ्यास 28.10 ★★

एक किसान $85$ m भुजा वाले वर्गाकार खेत में बाड़ लगाना चाहता है, और $4$ m का फाटक बिना बाड़ छोड़ना चाहता है। कितने मीटर बाड़ चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 28.10.

परिमाप: $4 \times 85 = 340$ m; फाटक घटाकर: $340 - 4 = 336$ m बाड़।

अभ्यास 28.11 ★★

सही या ग़लत, जाल के उदाहरणों के साथ: “दो आकृतियों का परिमाप एक हो तो उनका क्षेत्रफल भी एक होता है”; “दो आकृतियों का क्षेत्रफल एक हो तो उनका परिमाप भी एक होता है”। (उदाहरण 28.7 और इस अध्याय की आकृति मदद करेगी।)

हल

हल — अभ्यास 28.11.

दोनों दावे ग़लत हैं। परिमाप वही, क्षेत्रफल अलग: $4 \times 2$ का आयत और इस अध्याय की आकृति वाला L-आकार (दोनों का परिमाप $12$ ; क्षेत्रफल $8$ और $6$ )। क्षेत्रफल वही, परिमाप अलग: $4 \times 4$ का वर्ग और $8 \times 2$ का आयत (दोनों का क्षेत्रफल $16$ ; परिमाप $16$ और $20$ )।