प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Basisschool en onderbouw

51त्रिभुज और कोण

क्या तुम $10$ , $3$ और $2$ भुजाओं का त्रिभुज बना सकते हो? और $80^\circ$ , $70^\circ$ तथा $50^\circ$ कोणों वाला? यह अध्याय दोनों सवालों का जवाब समतल ज्यामिति के दो सबसे काम के तथ्यों से देता है: त्रिभुज असमिका और कोणों का $180^\circ$ योगफल — और साथ में वह कोण-शब्दावली जो कटती तथा समांतर रेखाओं के साथ आती है।

51.1 कटती रेखाओं के आसपास के कोण

परिभाषा 51.1 (कोणों के जोड़े)

दो कोण पूरक तब होते हैं जब उनके माप जुड़कर $90^\circ$ बनाएँ, और संपूरक तब जब वे जुड़कर $180^\circ$ बनाएँ।
जब दो रेखाएँ कटती हैं, तो कटान-बिंदु के पार एक-दूसरे के सामने पड़ने वाले कोण शीर्षाभिमुख कोण कहलाते हैं।
जब कोई रेखा दो और रेखाओं को काटती है, तो दोनों कटानों पर एक ही जगह बैठे कोण संगत कोण कहलाते हैं; और दोनों रेखाओं के बीच, काटने वाली रेखा की उलटी-उलटी तरफ़ पड़ने वाले कोण एकांतर कोण।

प्रमेय 51.2 (कोणों की बराबरी)

शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
अगर दो रेखाएँ समांतर हों, तो संगत कोण बराबर होते हैं, और एकांतर कोण भी बराबर होते हैं। उलटे तरफ़ से: संगत (या एकांतर) कोणों का बराबर होना रेखाओं को समांतर होने पर मजबूर कर देता है।

1 का प्रमाण. किसी रेखा की एक ही तरफ़ पड़े दो कोण $\widehat{1}$ और $\widehat{2}$ मिलकर एक ऋजु कोण बनाते हैं: $\widehat 1 + \widehat 2 = 180^\circ$ । $\widehat 1$ का शीर्षाभिमुख कोण $\widehat 3$ भी उसी कारण से $\widehat 2 + \widehat 3 = 180^\circ$ मानता है। इसलिए $\widehat 1 = 180^\circ - \widehat 2 = \widehat 3$ । बात 2 इस स्तर पर मान ली जाती है। ∎

बाएँ: शीर्षाभिमुख कोण 1 = 3 (दोनों 2 के संपूरक हैं)। दाएँ: एक तीसरी रेखा से कटी हुई समांतर रेखाएँ — संगत कोण a और b बराबर हैं। — बाएँ: शीर्षाभिमुख कोण $\widehat 1 = \widehat 3$ (दोनों $\widehat 2$ के संपूरक हैं)। दाएँ: एक तीसरी रेखा से कटी हुई समांतर रेखाएँ — संगत कोण $\widehat a$ और $\widehat b$ बराबर हैं।

51.2 त्रिभुज के कोणों का योग

प्रमेय 51.3 (कोणों का योग)

प्रत्येक त्रिभुज में तीनों कोण जुड़कर $180^\circ$ बनाते हैं।

उपपत्ति. मान लो $ABC$ एक त्रिभुज है। $A$ से होकर $(BC)$ के समांतर रेखा खींचो। शीर्ष $A$ पर तीन कोण इस समांतर रेखा के साथ क़तार में बैठते हैं और एक ऋजु कोण, $180^\circ$ , बनाते हैं: बीच वाला $\widehat{A}$ है, और बाहर के दोनों $\widehat B$ तथा $\widehat C$ के एकांतर कोण हैं (रेखाएँ समांतर हैं!), इसलिए वे $\widehat B$ और $\widehat C$ के बराबर हैं। यानी $\widehat B + \widehat A + \widehat C = 180^\circ$ । ∎

एक ही चित्र में प्रमाण: A से होकर (BC) के समांतर रेखा के साथ कोण B, A, C (मिलते रंगों में एकांतर कोण) एक ऋजु कोण भर देते हैं। — एक ही चित्र में प्रमाण: $A$ से होकर $(BC)$ के समांतर रेखा के साथ कोण $\widehat B$ , $\widehat A$ , $\widehat C$ (मिलते रंगों में एकांतर कोण) एक ऋजु कोण भर देते हैं।

उदाहरण 51.4

किसी त्रिभुज के दो कोण $67^\circ$ और $58^\circ$ के हैं। तीसरा कोण होगा

180 - (67 + 58) = 180 - 125 = 55^\circ .

याद रखने लायक़ ख़ास स्थितियाँ: समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण $180 \div 3 = 60^\circ$ होता है; समकोण त्रिभुज के दोनों न्यून कोण पूरक होते हैं (वे जुड़कर $180 - 90 = 90^\circ$ बनाते हैं); और समद्विबाहु त्रिभुज के आधार वाले कोण बराबर होते हैं, इसलिए प्रत्येक $\frac{180 - \text{शिखर कोण}}{2}$ होता है।

उदाहरण 51.5 (दो समकोण वाला त्रिभुज होता ही नहीं)

जिस त्रिभुज के दो कोण $90^\circ$ के हों वह अकेले उन्हीं में $180^\circ$ ख़र्च कर देगा, और तीसरे के लिए $0^\circ$ बचेगा — असंभव। कोणों का योगफल एक साथ बहुत सारे त्रिभुजों को मना कर देता है।

51.3 त्रिभुज असमिका

प्रमेय 51.6 (त्रिभुज असमिका)

प्रत्येक त्रिभुज में हर भुजा बाक़ी दो के योगफल से छोटी होती है: भुजाओं $a$ , $b$ , $c$ वाले त्रिभुज के लिए,

a < b + c .

उलटे तरफ़ से: तीन लंबाइयों में अगर सबसे बड़ी बाक़ी दो के योगफल से छोटी हो, तो उनसे त्रिभुज हमेशा बनाया जा सकता है। और अगर सबसे बड़ी बाक़ी दो के योगफल के बराबर हो, तो “त्रिभुज” चपटा हो जाता है: तीनों शीर्ष एक ही रेखा पर आ जाते हैं।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

उदाहरण 51.7

क्या भुजाएँ $10$ , $3$ और $2$ हो सकती हैं? सबसे बड़ी को जाँचो: क्या $10 < 3 + 2 = 5$ ? नहीं — ऐसा कोई त्रिभुज है ही नहीं। परकार इसका कारण दिखा देता है: $10$ लंबे रेखाखंड के दोनों सिरों से खींचे गए $3$ और $2$ त्रिज्या के चाप कभी मिलते ही नहीं।

भुजाएँ $7$ , $5$ और $4$ ? सबसे बड़ी: $7 < 5 + 4 = 9$ : हाँ, त्रिभुज बनता है (सबसे बड़ी भुजा जाँच लेना काफ़ी है)।

10, 3, 2 भुजाओं का त्रिभुज बनाने की कोशिश: परकार के दोनों चाप बुरी तरह दूर रह जाते हैं, क्योंकि 3 + 2 < 10। — $10$ , $3$ , $2$ भुजाओं का त्रिभुज बनाने की कोशिश: परकार के दोनों चाप बुरी तरह दूर रह जाते हैं, क्योंकि $3 + 2 < 10$ ।

विधि 51.8 (त्रिभुज का होना और उसकी रचना)

तीन लंबाइयाँ दी हों तो:

सबसे बड़ी की तुलना बाक़ी दो के योगफल से करो; अगर वह सचमुच छोटी न हो तो रुक जाओ: त्रिभुज नहीं बनेगा;
नहीं तो विधि 41.2 की तरह रचना करो (आधार रेखाखंड, परकार के दो चाप);
कोणों से कोई रचना करने के बाद मन ही मन जाँच लो कि दिए हुए कोणों का योग $180^\circ$ से कम है — और तीसरा कोण मिलकर ठीक $180^\circ$ बनाता है।

51.4 अभ्यास

अभ्यास 51.1 ★

इनके पूरक ( $90^\circ$ तक) और संपूरक ( $180^\circ$ तक) बताओ: $30^\circ$ ; $45^\circ$ ; $72^\circ$ ।

हल

हल — अभ्यास 51.1.

पूरक: $60^\circ$ ; $45^\circ$ ; $18^\circ$ । संपूरक: $150^\circ$ ; $135^\circ$ ; $108^\circ$ ।

अभ्यास 51.2 ★

दो रेखाएँ कटती हैं; बने चार कोणों में से एक $35^\circ$ का है। बाक़ी तीनों के माप बताओ, और हर एक का कारण भी।

हल

हल — अभ्यास 51.2.

शीर्षाभिमुख कोण भी $35^\circ$ का है (प्रमेय 51.2); बाक़ी दोनों कोण उसके संपूरक हैं: $180 - 35 = 145^\circ$ प्रत्येक।

अभ्यास 51.3 ★

उस त्रिभुज का तीसरा कोण निकालो जिसके पहले दो कोण इतने हैं: (a) $40^\circ$ और $60^\circ$ ; (b) $90^\circ$ और $28^\circ$ ; (c) $75^\circ$ और $75^\circ$ ।

हल

हल — अभ्यास 51.3.

(a) $180 - 100 = 80^\circ$ . (b) $180 - 118 = 62^\circ$ . (c) $180 - 150 = 30^\circ$ .

अभ्यास 51.4 ★

एक समद्विबाहु त्रिभुज का शिखर कोण $40^\circ$ है। उसके दोनों आधार कोण निकालो। एक दूसरे समद्विबाहु त्रिभुज का आधार कोण $70^\circ$ है: उसका शिखर कोण निकालो।

हल

हल — अभ्यास 51.4.

शिखर $40^\circ$ : आधार वाले दोनों कोण $180 - 40 = 140^\circ$ को बराबर बाँट लेते हैं: प्रत्येक $70^\circ$ ।

आधार कोण $70^\circ$ : आधार वाले दोनों कोण बराबर हैं, इसलिए शिखर कोण $180 - 2 \times 70 = 40^\circ$ ।

अभ्यास 51.5 ★

इनमें से कौन-कौन सी तिकड़ी किसी त्रिभुज की भुजाएँ हो सकती है? त्रिभुज असमिका से कारण बताओ (सबसे बड़ी भुजा देखो!):

(6,\ 8,\ 12); \qquad (5,\ 5,\ 11); \qquad (4,\ 9,\ 13); \qquad (7,\ 7,\ 7).

हल

हल — अभ्यास 51.5.

$(6, 8, 12)$ : $12 < 6 + 8 = 14$ : त्रिभुज बनता है।

$(5, 5, 11)$ : $11 > 5 + 5 = 10$ : असंभव।

$(4, 9, 13)$ : $13 = 4 + 9$ : चपटा “त्रिभुज” — बिंदु एक ही रेखा पर हैं, सच्चा त्रिभुज नहीं।

$(7, 7, 7)$ : $7 < 14$ : समबाहु त्रिभुज।

अभ्यास 51.6 ★

किसी त्रिभुज के कोण $x$ , $2x$ और $3x$ हैं। $x$ और तीनों कोण निकालो। यह किस तरह का त्रिभुज है?

हल

हल — अभ्यास 51.6.

$x + 2x + 3x = 6x = 180^\circ$ , इसलिए $x = 30^\circ$ : कोण $30^\circ$ , $60^\circ$ और $90^\circ$ हैं — एक समकोण त्रिभुज।

अभ्यास 51.7 ★

$BC = 6$ cm, $\widehat{ABC} = 50^\circ$ और $\widehat{ACB} = 60^\circ$ वाला त्रिभुज $ABC$ बनाओ ( $B$ और $C$ पर चाँदा रखकर)। बनाने से पहले $\widehat{BAC}$ का माप बताओ, फिर अपनी आकृति पर जाँचो।

हल

हल — अभ्यास 51.7.

पहले से बताया गया माप: $\widehat{BAC} = 180 - (50 + 60) = 70^\circ$ ; बनी हुई आकृति पर चाँदा इसकी पुष्टि कर देता है।

अभ्यास 51.8 ★★

दो समांतर रेखाओं को एक तीसरी रेखा काटती है और पहले कटान पर (काटने वाली रेखा और एक समांतर रेखा के बीच) $54^\circ$ का कोण बनता है। स्थिति का चित्र बनाओ और बने आठों कोणों के माप बताओ।

हल

हल — अभ्यास 51.8.

पहले कटान पर चारों कोण $54^\circ$ , $126^\circ$ , $54^\circ$ , $126^\circ$ हैं (शीर्षाभिमुख जोड़े और संपूरक)। समांतर रेखा दूसरे कटान पर वही चारों माप दोहरा देती है (संगत कोण): कुल आठ कोण, चार $54^\circ$ के और चार $126^\circ$ के।

अभ्यास 51.9 ★★

किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ $8$ cm और $3$ cm की हैं। तीसरी भुजा किन दो मानों के बीच होनी चाहिए? एक ऐसी पूर्ण-संख्या लंबाई बताओ जो चलती है और एक जो नहीं चलती।

हल

हल — अभ्यास 51.9.

मान लो तीसरी भुजा $c$ है। त्रिभुज असमिका माँगती है कि $c < 8 + 3 = 11$ हो और साथ ही $8 < c + 3$ , यानी $c > 5$ । तो $5 < c < 11$ : $7$ cm की लंबाई चलती है; $12$ cm (या $4$ cm) की नहीं चलती।

अभ्यास 51.10 ★★

किसी त्रिभुज $ABC$ में $\widehat A = 2\widehat B$ और $\widehat C = 90^\circ$ है। $\widehat A$ और $\widehat B$ निकालो।

हल

हल — अभ्यास 51.10.

$\widehat A + \widehat B = 180 - 90 = 90^\circ$ , और $\widehat A = 2\widehat B$ , इसलिए $3\widehat B = 90^\circ$ : $\widehat B = 30^\circ$ और $\widehat A = 60^\circ$ ।

अभ्यास 51.11 ★★★

किसी भी चतुर्भुज $ABCD$ को एक विकर्ण के साथ काटकर दो त्रिभुजों में बाँटा जा सकता है, और तब उसके कोण पढ़े जा सकते हैं। इससे सिद्ध करो कि प्रत्येक चतुर्भुज के चारों कोण जुड़कर $360^\circ$ बनाते हैं, और फिर पंचभुज (पाँच भुजाएँ) के कोणों का योगफल निकालो।

हल

हल — अभ्यास 51.11.

विकर्ण $[AC]$ , $ABCD$ को त्रिभुजों $ABC$ और $ACD$ में बाँट देता है। चतुर्भुज के चारों कोण ठीक वही छह कोण हैं जो दोनों त्रिभुजों के हैं, बस नए सिरे से जुड़े हुए ( $A$ और $C$ वाले कोण दो-दो हिस्सों में बँट जाते हैं)। कुल: $180 + 180 = 360^\circ$ । पंचभुज एक शीर्ष से तीन त्रिभुजों में बँटता है: $3 \times 180 = 540^\circ$ ।

51.5 समस्या: मुहल्ले का एक चक्कर

समस्या 51.1

सप्ताहांत समस्या — किसी भी बहुभुज के कोण: भीतर $(n-2) \times 180^\circ$ , बाहर हमेशा $360^\circ$ का घूमना, और सिर्फ़ तीन सम आकार ही फ़र्श क्यों ढक पाते हैं

अभ्यास 51.11 ने एक चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में काटकर $360^\circ$ पाया था। यह समस्या उसी सोच को कितनी भी भुजाओं वाले बहुभुजों तक ले जाती है, फिर एक दूसरा, बिलकुल अलग प्रमाण खोजती है — आकृति के चारों ओर चलकर और घुमावों को जोड़कर — और आख़िर में तुम्हारे स्नानघर के फ़र्श पर पहुँचती है: सारे सम बहुभुजों में से ठीक तीन ही समतल को बिना खाली जगह और बिना ऊपर चढ़े ढक सकते हैं, और मधुमक्खियों ने अपना चुन लिया है।

भाग I — भीतर के कोण।

किसी षट्भुज (छह भुजाएँ) के एक शीर्ष से उस शीर्ष को छोड़ते सारे विकर्ण खींचो। षट्भुज कितने त्रिभुजों में कटता है, और उसके सारे भीतरी कोणों का योगफल कितना है (प्रमेय 51.3)?
आम बात कहो: $n$ भुजाओं वाले किसी बहुभुज के एक शीर्ष से विकर्णों का पंखा कितने त्रिभुज बनाता है? इससे भीतरी कोणों के योगफल का सूत्र निकालो, और उसे $n = 3$ , $4$ , $5$ , $6$ पर जाँचो।
एक दशभुज ( $10$ भुजाएँ) और एक द्वादशभुज ( $12$ भुजाएँ) के भीतरी कोणों का योगफल निकालो।
सम बहुभुज में सारे भीतरी कोण बराबर होते हैं। समबाहु त्रिभुज, वर्ग, सम पंचभुज, सम षट्भुज और सम अष्टभुज का भीतरी कोण निकालो।
बिना किसी सूत्र के समझाओ कि बहुभुज में एक शीर्ष बढ़ते ही कोणों का योगफल ठीक $180^\circ$ क्यों बढ़ जाता है।

भाग II — मुहल्ले का चक्कर। किसी बहुभुजाकार मुहल्ले की सीमा पर हमेशा आगे की ओर चलो। हर कोने पर तुम किसी कोण से मुड़ते हो — उस कोने का बहिष्कोण; और मुड़ना तब तक चलता है जब तक तुम अपनी शुरुआती जगह पर, शुरुआती दिशा में मुँह किए, वापस नहीं आ जाते।

जिस कोने का भीतरी कोण $\widehat A$ है, वहाँ तुम कितना मुड़ते हो? (भीतरी और बाहरी कोण संपूरक होते हैं।) $40^\circ$ , $60^\circ$ , $80^\circ$ कोणों वाले त्रिभुज के तीनों घुमाव निकालो।
सवाल 6 के तीनों घुमाव जोड़ो। पूरे चक्कर के बारे में कौन-सी बात दिखती है?
समझाओ कि किसी भी बहुभुज — तीन भुजाओं वाला हो या तीस — के पूरे चक्कर के घुमाव जुड़कर हमेशा ठीक $360^\circ$ क्यों बनते हैं। (वापस पहुँचने तक, सारे घुमाव मिलाकर, तुम्हारी नाक ने क्या किया?)
भीतरी कोणों वाला सूत्र दूसरी बार निकालो: $n$ कोनों में से हर एक पर भीतरी कोण $+$ घुमाव $= 180^\circ$ ; सारे कोनों पर जोड़ो और सवाल 8 का इस्तेमाल करो।
सम बहुभुज में सारे घुमाव बराबर होते हैं, इसलिए प्रत्येक बहिष्कोण $\frac{360^\circ}{n}$ होता है। इससे तुरंत जवाब दो: किस सम बहुभुज के भीतरी कोण $150^\circ$ के होते हैं? और किसी भी सम बहुभुज के भीतरी कोण $155^\circ$ के क्यों नहीं हो सकते?

भाग III — फ़र्श ढकना। ढके हुए फ़र्श के प्रत्येक बिंदु के चारों ओर, वहाँ मिलने वाली टाइलों के कोने जुड़कर ठीक $360^\circ$ बनाने चाहिए — न कोई ख़ाली जगह, न कोई चढ़ाव (समस्या 40.1)।

समबाहु त्रिभुज, वर्ग और सम षट्भुज — तीनों के लिए: ढकाई के एक कोने-बिंदु पर कितनी टाइलें मिलती हैं? हर बार $360^\circ$ जाँचो।
दिखाओ कि सम पंचभुज फ़र्श नहीं ढक सकते: तीन कोने मिलकर कितना बनाते हैं, और चार कितना बनाते?
दिखाओ कि छह से ज़्यादा भुजाओं वाला कोई सम बहुभुज फ़र्श नहीं ढक सकता: हर कोने पर कम से कम तीन टाइलें मिलनी ही चाहिए (हर कोण $180^\circ$ से छोटा है), और $135^\circ$ या उससे बड़े तीन कोनों का क्या होता है? सम ढकने वालों की पूरी सूची बताओ।
स्नानघर के फ़र्श अक्सर सम अष्टभुजों के साथ छोटे वर्ग मिलाते हैं। जाँचो कि यह कोना चलता है: $135^\circ + 135^\circ + 90^\circ$ । एक और जाना-पहचाना मेल हर कोने पर एक वर्ग, एक सम षट्भुज और एक सम द्वादशभुज रखता है: उसे भी जाँचो (द्वादशभुज का भीतरी कोण सवाल 10 के तरीक़े से निकल आता है)।
मधुमक्खियों की पसंद: छत्ते के ख़ाने सम षट्भुज होते हैं। उनके कोने जाँचो ( $3$ कोण), और एक वाक्य में — रानी दीदो की खोज (समस्या 43.1) की मदद से — समझाओ कि तीनों संभव सम टाइलों में से षट्भुज ही उतने शहद के लिए सबसे कम मोम क्यों माँगता है।

हल

हल — समस्या 51.1.

1. षट्भुज के एक शीर्ष से खींचे गए विकर्ण उसे $4$ त्रिभुजों में काट देते हैं, इसलिए भीतरी कोणों का कुल $4 \times 180 = 720^\circ$ है।

2. एक शीर्ष से विकर्ण उस शीर्ष और उसके दोनों पड़ोसियों को छोड़कर बाक़ी सारे शीर्षों तक जाते हैं: $n - 3$ विकर्ण, जो बहुभुज को $n - 2$ त्रिभुजों में काटते हैं। बहुभुज का प्रत्येक भीतरी कोण इन्हीं त्रिभुजों में बँट जाता है, इसलिए योगफल है

(n - 2) \times 180^\circ .

जाँच: $n = 3$ : $180^\circ$ ; $n = 4$ : $360^\circ$ (अभ्यास 51.11); $n = 5$ : $540^\circ$ ; $n = 6$ : $720^\circ$ ।

3. दशभुज: $8 \times 180 = 1\,440^\circ$ । द्वादशभुज: $10 \times 180 = 1\,800^\circ$ ।

4. $n$ से भाग देने पर: त्रिभुज $60^\circ$ ; वर्ग $90^\circ$ ; पंचभुज $\frac{540}{5} = 108^\circ$ ; षट्भुज $\frac{720}{6} = 120^\circ$ ; अष्टभुज $\frac{1080}{8} = 135^\circ$ ।

5. एक शीर्ष बढ़ने से पंखे में एक त्रिभुज और जुड़ जाता है: नए बहुभुज को $n - 1$ त्रिभुज चाहिए जहाँ पुराने को $n - 2$ चाहिए थे। एक त्रिभुज ज़्यादा, यानी $180^\circ$ ज़्यादा।

6. चलने वाला संपूरक कोण से मुड़ता है: $180^\circ - \widehat A$ । $40$ – $60$ – $80$ वाले त्रिभुज में घुमाव $140^\circ$ , $120^\circ$ और $100^\circ$ हैं।

7. $140 + 120 + 100 = 360^\circ$ : एक पूरा चक्कर।

8. पूरे चक्कर में तुम्हारी नाक जिस दिशा से शुरू होती है उसी दिशा में लौट आती है, और बीच में ठीक एक बार चारों ओर घूम जाती है: कोनों पर किया गया सारा मुड़ना मिलकर एक पूरा चक्कर, $360^\circ$ , बनता है — कोनों की संख्या और मुहल्ले की शक्ल चाहे जो हो। (यह बात $n$ से बिलकुल आज़ाद है, और यही इसकी ख़ूबसूरती है।)

9. प्रत्येक कोने पर भीतरी कोण $+$ घुमाव $= 180^\circ$ । $n$ कोनों पर जोड़ने से:

\text{(भीतरी कोणों का योग)} + 360^\circ = 180^\circ \times n, \qquad\text{इसलिए}\qquad \text{भीतरी कोणों का योग} = (n - 2) \times 180^\circ

— सवाल 2 वाला सूत्र, चलकर दोबारा सिद्ध हुआ।

10. भीतरी कोण $150^\circ$ का मतलब है कि प्रत्येक घुमाव $30^\circ$ है, और $n = \frac{360}{30} = 12$ : सम द्वादशभुज। भीतरी कोण $155^\circ$ का मतलब होता $25^\circ$ के घुमाव, और $\frac{360}{25} = 14.4$ कोनों की पूरी संख्या नहीं है: ऐसा कोई सम बहुभुज है ही नहीं।

11. त्रिभुज ( $60^\circ$ ): $6$ मिलते हैं, $6 \times 60 = 360$ । वर्ग ( $90^\circ$ ): $4$ मिलते हैं। षट्भुज ( $120^\circ$ ): $3$ मिलते हैं, $3 \times 120 = 360$ । तीनों पूरी तरह बंद हो जाते हैं।

12. पंचभुज के तीन कोने: $3 \times 108 = 324^\circ$ — $36^\circ$ की ख़ाली जगह बच जाती है। चार कोने: $4 \times 108 = 432^\circ > 360^\circ$ — चढ़ाव। दोनों में से कुछ नहीं चलता: सम पंचभुज समतल नहीं ढक सकते।

13. ढकाई के किसी कोने पर कम से कम $3$ टाइलें मिलती हैं। छह से ज़्यादा भुजाओं वाले सम बहुभुज के भीतरी कोण $120^\circ$ से बड़े होते हैं (सवाल 4, और $n$ के साथ कोण का बढ़ना), इसलिए तीन कोने मिलकर $3 \times 120 = 360^\circ$ से ऊपर निकल जाते हैं: चढ़ाव, यानी असंभव। ठीक छह भुजाओं पर $3 \times 120 = 360$ चलता है; छह से नीचे के मामले सवाल 11 और 12 निपटा देते हैं। सम ढकने वालों की पूरी सूची: त्रिभुज, वर्ग, षट्भुज।

14. अष्टभुज और वर्ग: $135 + 135 + 90 = 360^\circ$ : कोना बंद हो जाता है — गलियों वाला जाना-पहचाना नमूना। वर्ग, षट्भुज, द्वादशभुज: द्वादशभुज का घुमाव $\frac{360}{12} = 30^\circ$ है, इसलिए उसका भीतरी कोण $150^\circ$ , और $90 + 120 + 150 = 360^\circ$ : यह भी चलता है।

15. छत्ते के कोने: $3 \times 120 = 360^\circ$ , बिलकुल ठीक। बराबर क्षेत्रफल वाली त्रिभुज, वर्ग और षट्भुज टाइलों में षट्भुज की सीमा सबसे छोटी होती है — तीनों में वही रानी दीदो के वृत्त के सबसे पास है (समस्या 43.1) — इसलिए षट्भुजाकार ख़ाने उतने ही शहद को सबसे कम मोम में बंद कर लेते हैं: मधुमक्खियाँ ज्यामिति जानने वालों की तरह फ़र्श ढकती हैं।