68थेल्स प्रमेय

समस्या 68.1

सप्ताहांत समस्या — काम पर थेल्स: किसी भी रेखाखंड को बराबर टुकड़ों में बाँटना, जूते के डिब्बे से सूरज नापना, और वह समलंब जिसमें तीनों मशहूर माध्य आ मिलते हैं

थेल्स प्रमेय किरणों का गणित है: सूरज की किरणें, छोटे-से छेद से गुज़रती रोशनी की किरणें, किसी शीर्ष से निकलती पेंसिल की किरणें। यह समस्या उसे तीन तरह से बरतती है — रचना के औज़ार की तरह (किसी भी लंबाई का रेखाखंड, यहाँ तक कि $\sqrt2$ लंबाई का भी, बिलकुल बराबर टुकड़ों में बाँटना), नापने के यंत्र की तरह (जूते के डिब्बे और एक सिक्के से सूरज का व्यास), और अभ्यास 68.9 वाले समलंब पर आवर्धक शीशे की तरह, जहाँ समांतर, गुणोत्तर और हरात्मक — तीनों माध्य एक ही चित्र में आ जुटते हैं।

भाग I — बिना निशान की पट्टी से बाँटना।

1. $7$ cm का रेखाखंड $[AB]$ खींचो। परकार और बिना निशान की पट्टी से उसे तीन बराबर टुकड़ों में काटने के लिए: $A$ से कोई किरण खींचो (जो $B$ से होकर न जाए); उस पर परकार से तीन बराबर लंबाइयाँ नापते जाओ, जिससे बिंदु $P_1$, $P_2$, $P_3$ मिलें; $P_3$ को $B$ से जोड़ो; फिर $P_1$ और $P_2$ से होकर $(P_3 B)$ के समांतर रेखाएँ खींचो। यह रचना करके निशान लगाओ कि वे समांतर रेखाएँ $[AB]$ को कहाँ काटती हैं।
2. प्रमेय 68.1 से कारण दो कि दोनों निशान लगे बिंदु $[AB]$ को ठीक उसके तिहाई बिंदुओं पर काटते हैं।
3. इसी विधि को बदलकर किसी रेखाखंड को $5$ बराबर टुकड़ों में बाँटो, फिर किसी दिए हुए रेखाखंड का $\frac35$ बनाओ।
4. $[AB]$ का वह बिंदु $M$ बनाओ जिसके लिए $\frac{AM}{MB} = \frac23$ हो (यानी $M$, $A$ से रास्ते के $\frac25$ पर)। किरण पर कितने बराबर क़दम चाहिए, और कौन-सा बिंदु $B$ से जोड़ा जाएगा?
5. यह रचना नापने वाली पट्टी से नाप लेने से बेहतर क्यों है? $\sqrt2$ लंबाई का रेखाखंड सोचो (एक इकाई वर्ग का विकर्ण, जो समस्या 65.1 के अनुसार अपरिमेय है): नापने से क्या मिलता, और थेल्स क्या देती है?

भाग II — सूक्ष्मछिद्र कैमरा। किसी बंद डिब्बे के एक फलक में सुई से छेद करो: सामने वाले फलक पर दुनिया की उलटी तस्वीर उभर आती है। वस्तु का कोई बिंदु, छेद, और तस्वीर का बिंदु — तीनों एक ही रेखा पर होते हैं, क्योंकि रोशनी सीधी चलती है — इसलिए वस्तु (ऊँचाई $H$, छेद के सामने $D$ दूरी पर) और उसकी तस्वीर (ऊँचाई $h$, छेद के पीछे $d$ गहराई पर पिछली दीवार पर) थेल्स के तितली विन्यास में बैठती हैं।

6. छेद के चारों ओर तितली में थेल्स लगाकर सूक्ष्मछिद्र सूत्र $h = H \times \frac dD$ निकालो।
7. $12$ m ऊँचा कोई पेड़ $20$ cm गहरे जूते के डिब्बे से $30$ m दूर खड़ा है। उसकी तस्वीर कितनी ऊँची बनेगी, और सीधी या उलटी?
8. डिब्बे को सूरज की ओर करो: छेद के $d = 1$ m पीछे सूरज की तस्वीर क़रीब $9$ mm व्यास की एक चकती बनती है। सूरज की दूरी $D = 1.5 \times 10^{11}$ m मानकर उसका व्यास वैज्ञानिक लेखन में निकालो (समस्या 63.1 वाला लेखन काम पर)। असली मान $1.39 \times 10^9$ m से तुलना करो।
9. अब चाँद: व्यास $3.5 \times 10^6$ m, दूरी $3.8 \times 10^8$ m। चाँद के लिए और सूरज के लिए $\frac{\text{व्यास}}{\text{दूरी}}$ अनुपात निकालो। दोनों संख्याएँ किस भाग्यशाली संयोग की ओर इशारा करती हैं — और वह कौन-सा शानदार नज़ारा मुमकिन बनाता है?
10. एक-दो वाक्यों में: सूक्ष्मछिद्र की तस्वीर उलटी क्यों होती है, और छेद बड़ा करने पर वह चमकीली तो हो जाती है पर धुँधली भी क्यों पड़ जाती है?

भाग III — तीन माध्यों वाला समलंब। $ABCD$ वही समलंब है जो अभ्यास 68.9 में था: $(AB) \parallel (CD)$, $AB = 4$, $CD = 6$, और विकर्ण $O$ पर कटते हैं, जहाँ $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD} = \frac{4}{6} = \frac23$ है।

11. तितली का अभ्यास: दो रेखाएँ $O$ पर कटती हैं और $(MN) \parallel (PQ)$ तितली की स्थिति में हैं; $OM = 3$, $OP = 7.5$, $MN = 4$ और $OQ = 6$। $PQ$ तथा $ON$ निकालो।
12. समझाओ कि $\frac12$ अनुपात के साथ लगाई गई थेल्स में प्रमेय 59.1 की मध्यबिंदु प्रमेय एक ख़ास हालत की तरह समाई हुई है।
13. $O$ से होकर आधारों के समांतर रेखा खींचो; वह $[AD]$ को $E$ पर मिलती है। त्रिभुज $ACD$ में काम करते हुए ($\frac{AO}{AC} = \frac25$ पर ध्यान दो) $EO$ निकालो।

14. त्रिभुज $BDC$ में वैसी ही दर्पण-गणना से टुकड़ा $OF$ ($F$ बिंदु $[BC]$ पर) उतना ही लंबा निकलता है। इससे नतीजा निकालो कि

    $$EF = 2 \times \frac{4 \times 6}{4 + 6} = 4.8 :$$

    यानी विकर्णों के कटान-बिंदु से गुज़रती समांतर रेखा आधारों का हरात्मक माध्य नापती है — समस्या 61.1 वाला आने-जाने का माध्य, जो यहाँ शुद्ध ज्यामिति में फिर से आ खड़ा होता है।

15. भव्य समापन: आधारों $4$ और $6$ के तीनों शास्त्रीय माध्य निकालो — समांतर $\frac{4+6}{2}$, गुणोत्तर $\sqrt{4 \times 6}$, हरात्मक $\frac{2 \times 4 \times 6}{4 + 6}$ — और उन्हें क्रम में लगाओ। हर एक समलंब में बसता है: समांतर माध्य वह मध्य रेखा है जो असमांतर भुजाओं के मध्यबिंदुओं को जोड़ती है (समस्या 53.1), हरात्मक माध्य तुम्हारा रेखाखंड $EF$ है, और गुणोत्तर माध्य वह समांतर रेखा है जो समलंब को दो समरूप समलंबों में काट देती है (उसका मान कैलकुलेटर से जाँचो; प्रमाण एक प्यारी अतिरिक्त चुनौती है)। इन तीनों के बीच की असमिका इस किताब में कहाँ सिद्ध हुई है (समस्या 60.1, समस्या 61.1)?