प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9

34परिमाप और क्षेत्रफल

पिछले साल हमने जाल के खाने गिने थे (अध्याय 28); यह अध्याय क्षेत्रफल का पहला सूत्र कमाता है — आयत के लिए लंबाई गुना चौड़ाई — और cm $^2$ तथा m $^2$ मात्रक सिखाता है। त्रिभुजों और दूसरी आकृतियों के सूत्र अध्याय 43 और अध्याय 53 में पकते हैं।

34.1 दो अलग-अलग माप

उदाहरण 34.1 (सीमा बनाम सतह)

माली को बाड़ ख़रीदने के लिए परिमाप चाहिए और घास का बीज ख़रीदने के लिए क्षेत्रफल। दोनों एक-दूसरे के पीछे नहीं चलते: किसी आयत को पतला और लंबा खींचने पर उसका क्षेत्रफल वही रह सकता है जबकि परिमाप बढ़ जाता है — $6 \times 2$ और $4 \times 3$ के आयत मिलाकर देखो (क्षेत्रफल दोनों का $12$ , परिमाप $16$ और $14$ )।

34.2 आयत का सूत्र

प्रतिज्ञप्ति 34.2 (आयत का क्षेत्रफल)

लंबाई $L$ और चौड़ाई $w$ (एक ही मात्रक में) वाले आयत का क्षेत्रफल

A = L \times w ,

वर्ग मात्रकों में होता है: cm $^2$ ( $1$ cm भुजा वाले वर्ग), m $^2$ ( $1$ m भुजा वाले वर्ग), …

गिनकर, क्यों. आयत को इकाई वर्गों से ढको: $L$ - $L$ वर्गों की $w$ पंक्तियाँ, यानी कुल $L \times w$ वर्ग — ठीक वही गुणा वाला आयत जो अध्याय 16 में था। ∎

छह-छह सेंटीमीटर-वर्गों की तीन पंक्तियाँ: सूत्र L × w वही गिनती है, बस हमेशा के लिए लिख दी गई। — छह-छह सेंटीमीटर-वर्गों की तीन पंक्तियाँ: सूत्र $L \times w$ वही गिनती है, बस हमेशा के लिए लिख दी गई।

उदाहरण 34.3

एक क़ालीन $2.5$ m गुणा $2$ m का है: क्षेत्रफल $2.5 \times 2 = 5$ m $^2$ । एक डाक-टिकट $3$ cm गुणा $2.4$ cm का है: क्षेत्रफल $3 \times 2.4 = 7.2$ cm $^2$ । सूत्र वही, मात्रक कोई भी — बस दोनों भुजाओं का मात्रक एक ही हो।

उदाहरण 34.4 (वर्ग मात्रक सौ के हिसाब से बदलते हैं)

$1$ m $= 100$ cm, पर $1$ m $^2 = 100 \times 100 = 10\,000$ cm $^2$ : एक वर्ग मीटर, वर्ग सेंटीमीटरों का $100$ गुणा $100$ का जाल है। क्षेत्रफल के मात्रक सौ-सौ की छलाँग लगाते हैं, दस-दस की नहीं।

34.3 जोड़-तोड़ वाली आकृतियाँ

विधि 34.5 (काटो, जोड़ो, घटाओ)

आयतों से बनी किसी आकृति (L, T, एक चौखटा) के लिए:

उसे आयतों में काटो, या उसे पूरा करके एक बड़ा आयत बना लो;
हर आयताकार क्षेत्रफल सूत्र से निकालो;
टुकड़े जोड़ दो — या बड़े आयत में से छेद घटा दो;
जाल के खानों की मोटी-मोटी गिनती से जाँच लो।

उदाहरण 34.6

L-आकार का एक कमरा: $6$ m $\times$ $4$ m का आयत, जिसका $2$ m $\times$ $2$ m का कोना ग़ायब है।

\text{क्षेत्रफल} = 6 \times 4 - 2 \times 2 = 24 - 4 = 20 \text{ m}^2 .

या L को $6 \times 2$ की और $4 \times 2$ की पट्टियों में काट लो: $12 + 8 = 20$ m $^2$ — दो रास्ते, एक ही उत्तर।

उदाहरण 34.7 (आयत का आधा)

किसी आयत को विकर्ण पर काटने से बराबर क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुज बनते हैं: हर एक आयत का आधा। इसलिए $6$ cm और $4$ cm भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{6 \times 4}{2} = 12$ cm $^2$ है — यह चित्र अध्याय 43 के लिए याद रखने लायक़ है, जहाँ यह सूत्र बन जाता है।

विकर्ण 6 × 4 के आयत को 12-12 खानों वाले दो बराबर त्रिभुजों में काट देता है। — विकर्ण $6 \times 4$ के आयत को $12$ - $12$ खानों वाले दो बराबर त्रिभुजों में काट देता है।

34.4 अभ्यास

अभ्यास 34.1 ★

$8$ cm $\times$ $5$ cm के आयत का क्षेत्रफल और परिमाप निकालो। कौन-सा उत्तर cm में है, कौन-सा cm $^2$ में?

हल

हल — अभ्यास 34.1.

क्षेत्रफल: $8 \times 5 = 40$ cm $^2$ । परिमाप: $2 \times (8 + 5) = 26$ cm।

अभ्यास 34.2 ★

क्षेत्रफल निकालो: $9$ cm भुजा वाला वर्ग; $12$ m $\times$ $7$ m का आयत; $4.5$ cm $\times$ $6$ cm का आयत।

हल

हल — अभ्यास 34.2.

$9 \times 9 = 81$ cm $^2$ ; $12 \times 7 = 84$ m $^2$ ; $4.5 \times 6 = 27$ cm $^2$ ।

अभ्यास 34.3 ★

एक आयत का क्षेत्रफल $63$ cm $^2$ और लंबाई $9$ cm है। उसकी चौड़ाई निकालो, फिर उसका परिमाप।

हल

हल — अभ्यास 34.3.

चौड़ाई: $63 \div 9 = 7$ cm। परिमाप: $2 \times (9 + 7) = 32$ cm।

अभ्यास 34.4 ★

जाल वाले काग़ज़ पर $24$ खानों के क्षेत्रफल वाले दो अलग-अलग आयत बनाओ, और दोनों के परिमाप निकालो। क्षेत्रफल वही — परिमाप भी वही?

हल

हल — अभ्यास 34.4.

जैसे $6 \times 4$ (परिमाप $20$ ) और $8 \times 3$ (परिमाप $22$ ): क्षेत्रफल वही $24$ , परिमाप अलग।

अभ्यास 34.5 ★

बदलो: $3$ m $^2$ को cm $^2$ में; $50\,000$ cm $^2$ को m $^2$ में। (उदाहरण 34.4 याद रखो: सौ-सौ के हिसाब से!)

हल

हल — अभ्यास 34.5.

$3$ m $^2 = 30\,000$ cm $^2$ ; $50\,000$ cm $^2 = 5$ m $^2$ ।

अभ्यास 34.6 ★

T-आकार की एक आकृति $2 \times 5$ की खड़ी पट्टी के ऊपर रखी $8 \times 2$ की आड़ी पट्टी से बनी है (cm में)। दो आयत जोड़कर उसका क्षेत्रफल निकालो।

हल

हल — अभ्यास 34.6.

आड़ी पट्टी: $8 \times 2 = 16$ cm $^2$ ; खड़ी: $2 \times 5 = 10$ cm $^2$ ; कुल $26$ cm $^2$ ।

अभ्यास 34.7 ★

एक तस्वीर का चौखटा: $30$ cm $\times$ $20$ cm का आयत, जिसमें से $24$ cm $\times$ $14$ cm का आयताकार झरोखा काट दिया गया है। चौखटे में कितने क्षेत्रफल की लकड़ी लगी है?

हल

हल — अभ्यास 34.7.

$30 \times 20 - 24 \times 14 = 600 - 336 = 264$ cm $^2$ लकड़ी।

अभ्यास 34.8 ★

$8$ cm और $6$ cm भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालो (आयत का आधा, उदाहरण 34.7)।

हल

हल — अभ्यास 34.8.

$8 \times 6$ के आयत का आधा: $48 \div 2 = 24$ cm $^2$ ।

अभ्यास 34.9 ★

एक आयताकार क्यारी $7$ m गुणा $4$ m की है। बीज $2$ प्रति वर्ग मीटर का है, और बाड़ $3$ प्रति मीटर। बीज का ख़र्च निकालो, फिर बाड़ का ख़र्च।

हल

हल — अभ्यास 34.9.

बीज: क्षेत्रफल $7 \times 4 = 28$ m $^2$ , ख़र्च $28 \times 2 = 56$ । बाड़: परिमाप $2 \times (7 + 4) = 22$ m, ख़र्च $22 \times 3 = 66$ ।

अभ्यास 34.10 ★★

एक गलियारे का फ़र्श $12$ m लंबा और $2$ m चौड़ा है, और उस पर $50$ cm भुजा वाली वर्गाकार टाइलें लगानी हैं। कितनी टाइलें चाहिए? (पहले मात्रक बदलो, या हर दिशा में टाइलें गिनो।)

हल

हल — अभ्यास 34.10.

$50$ cm की दो टाइलें मिलकर एक मीटर बनाती हैं: $12$ m लंबाई पर $24$ टाइलें; $2$ m चौड़ाई पर $4$ टाइलें। कुल: $24 \times 4 = 96$ टाइलें।

अभ्यास 34.11 ★★

$4$ cm $\times$ $3$ cm के आयत की भुजाएँ दुगुनी कर दो। उसके परिमाप का क्या होता है? क्षेत्रफल का? (पहले और बाद, दोनों निकालो — दोनों उत्तर अलग हैं!)

हल

हल — अभ्यास 34.11.

पहले: परिमाप $2 \times (4 + 3) = 14$ cm, क्षेत्रफल $12$ cm $^2$ । बाद में (भुजाएँ $8$ और $6$ ): परिमाप $28$ cm, क्षेत्रफल $48$ cm $^2$ । परिमाप दुगुना हुआ; क्षेत्रफल चार गुना ( $2 \times 2$ ): लंबाइयाँ और क्षेत्रफल एक ही ढंग से नहीं बढ़ते।