प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9

36समस्याएँ और आलेख

साल का आख़िरी अध्याय सब कुछ काम पर लगा देता है: पैसों, मात्राओं और अवधियों वाली कई कदमों की समस्याएँ, और वे आलेख जो जानकारी एक नज़र में सामने रख देते हैं। सबसे बड़ा विचार है “एक का” — एक चीज़ की क़ीमत निकालना — जो अध्याय 44 में समानुपात बन जाएगा।

36.1 कई कदमों वाली समस्याएँ

विधि 36.1 (लंबी समस्या को साधना)

अंत तक पढ़ो; बताओ कि आख़िरी सवाल क्या है;
उलटा योजना बनाओ: उसका उत्तर देने के लिए पहले क्या चाहिए?
कदमों को क्रम से हल करो, हर कदम पर एक संक्रिया और एक छोटा वाक्य लिखते हुए;
आख़िरी उत्तर को समझ और अंदाज़े, दोनों से जाँचो।

उदाहरण 36.2

“एक विद्यालय $6$ - $6$ की $25$ - $25$ किताबों के $4$ डिब्बे मँगाता है, और ऊपर से $180$ ढुलाई के देता है। कुल ख़र्च कितना हुआ?”

किताबें: $4 \times 25 = 100$ किताबें।
किताबों का दाम: $100 \times 6 = 600$ ।
कुल: $600 + 180 = 780$ ।

अंदाज़े से जाँच: लगभग सौ किताबें $6$ - $6$ की यानी लगभग $600$ , और लगभग $200$ ऊपर से: लगभग $800$ — उत्तर $780$ भरोसेमंद है।

उदाहरण 36.3 (एक का)

“ $5$ एक जैसे मग $12.50$ के हैं; $8$ मग कितने के होंगे?” पहले एक मग का दाम निकालो:

12.50 \div 5 = 2.50, \qquad\text{फिर}\qquad 8 \times 2.50 = 20 .

एक के ज़रिए सब कुछ पहुँच में आ जाता है — यह दो कदमों वाला प्रतिरूप समस्याओं के पूरे परिवार को हल करता है (पाकविधि, चाल, दाम), और अध्याय 44 का बीज है।

उदाहरण 36.4 (बाक़ी पैसे और बजट)

ज़ोई के पास $30$ हैं। वह $12.40$ की एक किताब और $2.30$ - $2.30$ की दो क़लमें ख़रीदती है। क्या वह $13$ का बोर्ड-खेल भी ले सकती है?

क़लमें: $2 \times 2.30 = 4.60$ ।
अब तक ख़र्च: $12.40 + 4.60 = 17$ ।
बचे: $30 - 17 = 13$ — खेल के लिए ठीक-ठीक इतने ही, कुछ बचे बिना।

36.2 आलेख पढ़ना

विधि 36.5 (कोई भी आलेख पढ़ना)

शीर्षक पढ़ो: गिना क्या जा रहा है?
अक्ष या कुंजी पढ़ो: एक अंकन, एक पट्टी, एक चिह्न किसके बराबर है?
तभी सवालों का उत्तर दो — ऊँचाइयाँ ठीक-ठीक पढ़ने के लिए आलेख पर मापपट्टी रखना मदद करता है।

उदाहरण 36.6

एक क़स्बे में महीने-दर-महीने वर्षा:

वर्षा का पट्टी-आलेख। एक अंकन = 20 mm। — वर्षा का पट्टी-आलेख। एक अंकन $= 20$ mm।

पढ़ना: सबसे ज़्यादा वर्षा मई में ( $80$ mm); जून में अप्रैल की आधी वर्षा हुई ( $30$ बनाम $70$ ? नहीं — $70$ का आधा $35$ है, इसलिए पूरी तरह आधी नहीं: ठीक-ठीक पढ़ना ज़रूरी है!); छह महीनों का कुल: $60 + 45 + 55 + 70 + 80 + 30 = 340$ mm।

उदाहरण 36.7 (बदलती हुई राशि)

हर हफ़्ते नापी गई एक पौधे की ऊँचाई:

नापने के बिंदुओं को जोड़ने पर बढ़त दिखती है: टुकड़ा जितना खड़ा, पौधा उस हफ़्ते उतनी तेज़ी से बढ़ा। — नापने के बिंदुओं को जोड़ने पर *बढ़त* दिखती है: टुकड़ा जितना खड़ा, पौधा उस हफ़्ते उतनी तेज़ी से बढ़ा।

पौधा सबसे तेज़ी से हफ़्ते $3$ और $4$ के बीच बढ़ा ( $+5$ cm) और अंत में धीमा पड़ गया (हफ़्ते $6$ में $+2$ cm)।

36.3 अभ्यास

अभ्यास 36.1 ★

कदमों में हल करो: “एक क्लब $240$ में बस किराए पर लेता है और $7$ - $7$ के $32$ संग्रहालय टिकट ख़रीदता है। सैर का कुल ख़र्च कितना?”

हल

हल — अभ्यास 36.1.

टिकट: $32 \times 7 = 224$ । कुल: $240 + 224 = 464$ ।

अभ्यास 36.2 ★

“एक का” तरीक़े से हल करो: “ $3$ kg सेब $7.50$ के हैं। $5$ kg कितने के होंगे?”

हल

हल — अभ्यास 36.2.

एक kg का: $7.50 \div 3 = 2.50$ । पाँच kg: $5 \times 2.50 = 12.50$ ।

अभ्यास 36.3 ★

हल करो: “छह दोस्त पिकनिक का $87$ ख़र्च बराबर बाँटते हैं। हर एक कितना देता है?”

हल

हल — अभ्यास 36.3.

$87 \div 6 = 14.5$ : हर एक $14.50$ देता है।

अभ्यास 36.4 ★

सैम के पास $25$ हैं। वह $13.90$ की एक टी-शर्ट और $8.50$ की एक टोपी ख़रीदता है। उसके पास कितने पैसे बचे?

हल

हल — अभ्यास 36.4.

ख़र्च: $13.90 + 8.50 = 22.40$ । बचे: $25 - 22.40 = 2.60$ ।

अभ्यास 36.5 ★

उदाहरण 36.6 के वर्षा-आलेख से: किन महीनों में $50$ mm से ज़्यादा वर्षा हुई? मई में जून से कितनी ज़्यादा वर्षा हुई?

हल

हल — अभ्यास 36.5.

$50$ mm से ज़्यादा: जनवरी ( $60$ ), मार्च ( $55$ ), अप्रैल ( $70$ ), मई ( $80$ )। मई में से जून: $80 - 30 = 50$ mm।

अभ्यास 36.6 ★

उदाहरण 36.7 के पौधे वाले आलेख से: हफ़्ते $2$ में पौधा कितना ऊँचा था? किन हफ़्तों के बीच वह ठीक $4$ cm बढ़ा?

हल

हल — अभ्यास 36.6.

हफ़्ता $2$ : $6$ cm। $4$ cm की बढ़त: हफ़्ते $2$ और $3$ के बीच ( $6 \to 10$ ), और हफ़्ते $4$ और $5$ के बीच ( $15 \to 19$ )।

अभ्यास 36.7 ★

एक टीम के बनाए गोलों का पट्टी-आलेख बनाओ: सितंबर $4$ , अक्टूबर $7$ , नवंबर $3$ , दिसंबर $6$ । अंकन चुनो, और कुल बताओ।

हल

हल — अभ्यास 36.7.

$4$ , $7$ , $3$ , $6$ ऊँचाइयों की चार पट्टियाँ (अंकन हर $1$ या $2$ गोल पर)। कुल: $4 + 7 + 3 + 6 = 20$ गोल।

अभ्यास 36.8 ★

$8$ दही के एक पैकेट का दाम $3.20$ है; अकेला बिकने पर एक दही $0.50$ का। पैकेट में “एक का” दाम निकालो, और यह भी कि पैकेट लेने से हर दही पर कितनी बचत होती है।

हल

हल — अभ्यास 36.8.

पैकेट में एक का: $3.20 \div 8 = 0.40$ । हर दही पर बचत: $0.50 - 0.40 = 0.10$ (दस सेंट)।

अभ्यास 36.9 ★★

“एक सिनेमाघर ने शनिवार को $9.50$ - $9.50$ के $148$ टिकट और रविवार को उसी दाम के $95$ टिकट बेचे। शनिवार को रविवार से कितने पैसे ज़्यादा मिले?” इसे दो तरह से हल करो: दोनों दिनों की कमाई निकालकर, या टिकटों के अंतर से गणना करके — और जाँचो कि दोनों उत्तर मिलते हैं।

हल

हल — अभ्यास 36.9.

पहला तरीक़ा: शनिवार $148 \times 9.50 = 1\,406$ ; रविवार $95 \times 9.50 = 902.50$ ; अंतर $503.50$ ।

दूसरा तरीक़ा: $148 - 95 = 53$ टिकट ज़्यादा, हर एक $9.50$ का: $53 \times 9.50 = 503.50$ । वही उत्तर — कमाइयों का अंतर, अंतर की कमाई ही है।

अभ्यास 36.10 ★★

$4$ लोगों की एक पाकविधि में $300$ g चावल लगते हैं। आलीन $10$ लोगों के लिए पकाती है। उसे कितने चावल चाहिए? (पहले एक व्यक्ति के लिए — दशमलव चलेंगे।)

हल

हल — अभ्यास 36.10.

एक व्यक्ति के लिए: $300 \div 4 = 75$ g। दस के लिए: $10 \times 75 = 750$ g चावल।

अभ्यास 36.11 ★★

पैसों वाली तीन कदमों की अपनी एक समस्या बनाओ जिसका आख़िरी उत्तर $5.50$ हो, विधि 36.1 की शैली में उसका पूरा हल लिखो, और किसी सहपाठी पर आज़माओ।

हल

हल — अभ्यास 36.11.

कई सही समस्याएँ बन सकती हैं — जैसे: “मिलो $1.20$ - $1.20$ के $3$ जूस और $3.40$ का एक सैंडविच ख़रीदता है। वह $12.50$ का एक कूपन देता है। कूपन में कितना बचा?” हल: जूस $3 \times 1.20 = 3.60$ ; कुल ख़र्च $3.60 + 3.40 = 7$ ; बचा $12.50 - 7 = 5.50$ ।