प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9

40रेखाएँ, वृत्त और कोण

ज्यामिति मापपट्टी, समकोण पट्टिका और परकार से शुरू होती है। यह अध्याय शब्दावली पक्की करता है — बिंदु, रेखाखंड, किरणें, रेखाएँ, वृत्त — रेखाओं की दो ख़ास स्थितियाँ (समांतर और लंब) सामने लाता है, और कोण नापना तथा बनाना सिखाता है।

40.1 बिंदु, रेखाखंड, रेखाएँ

परिभाषा 40.1 (बुनियादी वस्तुएँ)

दो अलग-अलग बिंदुओं $A$ और $B$ से होकर जाते हैं:

रेखाखंड $[AB]$ : रेखा का वह भाग जो $A$ और $B$ के बीच है (उसकी एक लंबाई होती है, जिसे $AB$ लिखते हैं);
किरण $[AB)$ : $A$ से शुरू होती है, $B$ से होकर जाती है और हमेशा आगे बढ़ती रहती है;
रेखा $(AB)$ : दोनों ओर अनंत तक फैली रहती है। दो बिंदु ठीक एक ही रेखा तय करते हैं।

एक ही रेखा पर पड़े बिंदु संरेख कहलाते हैं।

वही दो बिंदु, तीन अलग वस्तुएँ। कोष्ठक बताते हैं कि क्या रुकता है और क्या चलता रहता है: [ रुकता है, ( चलता रहता है। — वही दो बिंदु, तीन अलग वस्तुएँ। कोष्ठक बताते हैं कि क्या रुकता है और क्या चलता रहता है: $[$ रुकता है, $($ चलता रहता है।

40.2 समांतर और लंब रेखाएँ

परिभाषा 40.2 (लंब, समांतर)

दो रेखाएँ लंब तब होती हैं जब वे समकोण पर काटती हैं; हम $d_1 \perp d_2$ लिखते हैं और समकोण को एक छोटे वर्ग से अंकित करते हैं। दो रेखाएँ समांतर तब होती हैं जब वे कितनी भी आगे बढ़ाई जाएँ, कभी नहीं मिलतीं; हम $d_1 \parallel d_2$ लिखते हैं।

समकोण पर एक कटान (छोटे वर्ग से अंकित) और दो समांतर रेखाएँ: वही दिशा, कोई कटान-बिंदु नहीं।

प्रतिज्ञप्ति 40.3 (दो काम के तथ्य)

दो रेखाएँ किसी तीसरी रेखा पर लंब हों, तो वे आपस में समांतर होती हैं।
दो रेखाएँ समांतर हों, तो उनमें से एक पर लंब हर रेखा दूसरी पर भी लंब होती है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

विधि 40.4 (समकोण पट्टिका से बनाना)

किसी रेखा $d$ पर बिंदु $P$ से होकर लंब खींचने के लिए:

समकोण पट्टिका के समकोण का एक किनारा $d$ पर रखो;
पट्टिका को $d$ के साथ तब तक सरकाओ जब तक उसका दूसरा किनारा $P$ तक न पहुँचे;
उस किनारे के साथ रेखा खींचो, और समकोण अंकित करो।

$P$ से होकर समांतर रेखा के लिए: पहले $d$ पर लंब खींचो, फिर उस रेखा पर $P$ से होकर लंब (प्रतिज्ञप्ति 40.3)।

40.3 वृत्त

परिभाषा 40.5 (वृत्त)

केंद्र $O$ और त्रिज्या $r$ वाला वृत्त उन सारे बिंदुओं से बनता है जो $O$ से ठीक $r$ दूरी पर हैं। केंद्र से वृत्त तक का रेखाखंड त्रिज्या है; वृत्त के दो बिंदुओं को केंद्र से होकर जोड़ने वाला रेखाखंड व्यास है — उसकी लंबाई $2r$ है; वृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड जीवा है।

एक वृत्त, जिसमें त्रिज्या [OM], व्यास [AB] (केंद्र से होकर जाती जीवा, त्रिज्या से दुगुनी) और जीवा [CD] है। — एक वृत्त, जिसमें त्रिज्या $[OM]$ , व्यास $[AB]$ (केंद्र से होकर जाती जीवा, त्रिज्या से दुगुनी) और जीवा $[CD]$ है।

उदाहरण 40.6

“केंद्र $O$ वाला वह वृत्त बनाओ जो $A$ से होकर जाए”: परकार को $O$ से $A$ तक खोलो — त्रिज्या दूरी $OA$ है — और घुमा दो। इस वृत्त का हर बिंदु $O$ से उतनी ही दूरी पर है जितनी $A$ ।

40.4 कोण

परिभाषा 40.7 (कोण)

एक ही शुरुआती बिंदु $A$ वाली दो किरणें $[AB)$ और $[AC)$ मिलकर कोण $\widehat{BAC}$ बनाती हैं; बिंदु $A$ उसका शीर्ष है (हमेशा बीच वाला अक्षर!)। कोण डिग्री ( $^\circ$ ) में नापे जाते हैं, पूरे घुमाव के लिए $0^\circ$ से $360^\circ$ तक। कोई कोण होता है:

समकोण, अगर वह $90^\circ$ का हो;
न्यून, अगर वह $90^\circ$ से कम का हो;
अधिक, अगर वह $90^\circ$ और $180^\circ$ के बीच का हो;
सरल, अगर वह $180^\circ$ का हो (दोनों किरणें मिलकर एक रेखा बना देती हैं)।

कोणों के चार परिवार। समकोण (90) ही कसौटी है: न्यून यानी उससे छोटा, अधिक यानी उससे बड़ा। — कोणों के चार परिवार। समकोण ( $90^\circ$ ) ही कसौटी है: न्यून यानी उससे छोटा, अधिक यानी उससे बड़ा।

विधि 40.8 (चाँदे से कोण नापना)

चाँदे का केंद्र ठीक कोण के शीर्ष पर रखो;
उसकी $0^\circ$ वाली रेखा कोण की एक भुजा पर मिलाओ;
दूसरी भुजा जिस अंकन को काटती है वही पढ़ो — उसी पैमाने से जो मिलाई गई भुजा पर $0$ से शुरू होता है;
आँख से मोटी जाँच करो: न्यून कोण $90^\circ$ से कम पढ़ा जाना चाहिए, अधिक कोण उससे ज़्यादा।

उदाहरण 40.9

नापने से पहले अंदाज़ा लगाओ! काग़ज़ की शीट के कोने से ज़रा ज़्यादा खुला कोण $90^\circ$ से थोड़ा ऊपर होता है; समकोण का आधा $45^\circ$ है; समकोण की तिहाई $30^\circ$ । किसी न्यून दिखने वाले कोण के लिए तुम्हारा चाँदा $150^\circ$ बताए, तो तुमने ग़लत पैमाना पढ़ा: सही नाप $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$ है।

40.5 अभ्यास

अभ्यास 40.1 ★

तीन ऐसे बिंदु $A$ , $B$ , $C$ बनाओ जो संरेख न हों। अलग-अलग रंगों से बनाओ: रेखाखंड $[AB]$ , किरण $[CA)$ , रेखा $(BC)$ ।

हल

हल — अभ्यास 40.1.

मुक्त रचना। रेखाखंड $A$ और $B$ पर रुक जाता है; किरण $C$ से शुरू होकर $A$ के आगे चलती रहती है; रेखा $B$ और $C$ दोनों ओर चलती रहती है।

अभ्यास 40.2 ★

सही या ग़लत? “ $[AB]$ और $[BA]$ एक ही रेखाखंड हैं।” “ $[AB)$ और $[BA)$ एक ही किरण हैं।” “ $(AB)$ और $(BA)$ एक ही रेखा हैं।” हर उत्तर समझाओ।

हल

हल — अभ्यास 40.2.

“ $[AB] = [BA]$ ”: सही — दोनों बिंदुओं के बीच का भाग क्रम पर निर्भर नहीं करता।

“ $[AB) = [BA)$ ”: ग़लत — $[AB)$ , $A$ से शुरू होती है, $[BA)$ , $B$ से; वे उलटी दिशाओं में जाती हैं।

“ $(AB) = (BA)$ ”: सही — दोनों नाम एक ही असीम रेखा बताते हैं।

अभ्यास 40.3 ★

एक रेखा $d$ और $d$ से बाहर एक बिंदु $P$ बनाओ। समकोण पट्टिका से बनाओ: $P$ से होकर $d$ पर लंब, फिर $P$ से होकर $d$ के समांतर रेखा। अपने कदम बताओ।

हल

हल — अभ्यास 40.3.

कदम: समकोण पट्टिका को $d$ के साथ तब तक सरकाओ जब तक उसका लंब वाला किनारा $P$ से होकर न जाए; वह लंब खींचो, उसे $p$ कहो। फिर उसी तरह $P$ से होकर $p$ पर लंब खींचो: प्रतिज्ञप्ति 40.3 से वह $d$ के समांतर है।

अभ्यास 40.4 ★

रेखाएँ $a$ और $b$ दोनों किसी रेखा $c$ पर लंब हैं, और एक चौथी रेखा $e$ , $a$ पर लंब है। $a$ और $b$ के बारे में क्या कह सकते हो? $e$ और $c$ के बारे में? प्रतिज्ञप्ति 40.3 से पक्का करो।

हल

हल — अभ्यास 40.4.

$a$ और $b$ दोनों एक ही रेखा $c$ पर लंब हैं, इसलिए $a \parallel b$ (तथ्य 1)। $e$ और $c$ के लिए: दोनों एक ही रेखा $a$ पर लंब हैं (हमें बताया गया है कि $e \perp a$ , और $a \perp c$ का मतलब $c \perp a$ भी है), इसलिए तथ्य 1 फिर लागू होता है: $e \parallel c$ ।

अभ्यास 40.5 ★

केंद्र $O$ और त्रिज्या $3$ cm का वृत्त बनाओ। वृत्त पर एक बिंदु $M$ , भीतर एक बिंदु $N$ , बाहर एक बिंदु $P$ रखो। दूरियों $OM$ , $ON$ , $OP$ के बारे में $3$ cm की तुलना में क्या कह सकते हो?

हल

हल — अभ्यास 40.5.

$OM = 3$ cm ठीक-ठीक ( $M$ वृत्त पर है); $ON < 3$ cm ( $N$ भीतर); $OP > 3$ cm ( $P$ बाहर)।

अभ्यास 40.6 ★

एक वृत्त का व्यास $9$ cm है। उसकी त्रिज्या क्या है? दूसरे की त्रिज्या $2.6$ cm है: उसका व्यास क्या है?

हल

हल — अभ्यास 40.6.

त्रिज्या $= 9 \div 2 = 4.5$ cm। व्यास $= 2 \times 2.6 = 5.2$ cm।

अभ्यास 40.7 ★

अंकित कोण को तीन अक्षरों में नाम दो, फिर उसे छाँटो (न्यून, समकोण, अधिक, सरल): शीर्ष $R$ पर $S$ और $T$ की ओर जाती किरणों के बीच $72^\circ$ का कोण; शीर्ष $B$ पर $A$ और $C$ की ओर जाती किरणों के बीच $148^\circ$ का कोण; शीर्ष $O$ पर $M$ और $N$ की ओर जाती किरणों के बीच $90^\circ$ का कोण।

हल

हल — अभ्यास 40.7.

$\widehat{SRT} = 72^\circ$ : न्यून। $\widehat{ABC} = 148^\circ$ : अधिक। $\widehat{MON} = 90^\circ$ : समकोण। (शीर्ष हमेशा बीच वाला अक्षर होता है।)

अभ्यास 40.8 ★

अपने बनाए किसी त्रिभुज के तीनों कोणों का पहले अंदाज़ा लगाओ, फिर चाँदे से नापो। तीनों नाप जोड़ो: क्या मिलता है? (अपना उत्तर अध्याय 51 के लिए सँभालकर रखो।)

हल

हल — अभ्यास 40.8.

नाप बनाए गए त्रिभुज पर निर्भर करते हैं, पर तीनों कोणों का योगफल हमेशा (बहुत क़रीब से) $180^\circ$ होता है — छोटे अंतर नापने की कमी से आते हैं। अध्याय 51 सिद्ध करता है कि योगफल ठीक-ठीक $180^\circ$ है।

अभ्यास 40.9 ★

चाँदे से $65^\circ$ का कोण $\widehat{xOy}$ बनाओ, फिर $130^\circ$ का कोण। बिना चाँदे के दूसरा कोण पहले से कैसे पा सकते हो?

हल

हल — अभ्यास 40.9.

मुक्त रचना। बिना चाँदे के $65^\circ$ से $130^\circ$ पाने के लिए: $65^\circ$ के कोण की दो बार अगल-बगल नक़ल करो ( $65 + 65 = 130$ ), जैसे अनुरेखण काग़ज़ से या परकार-मापपट्टी वाली कोण-नक़ल से।

अभ्यास 40.10 ★★

नक़्शे पर दो गाँव $A$ और $B$ बने हैं। वे बिंदु कहाँ हैं जो $A$ से $3$ cm और $B$ से $2$ cm दूर हैं? एक चित्र बनाकर दिखाओ कि ऐसे बिंदु कितने हो सकते हैं (दूरी $AB$ के अनुसार $0$ , $1$ या $2$ )।

हल

हल — अभ्यास 40.10.

$A$ से $3$ cm दूर के बिंदु केंद्र $A$ और त्रिज्या $3$ cm वाला वृत्त बनाते हैं; $B$ से $2$ cm दूर के बिंदु केंद्र $B$ और त्रिज्या $2$ cm वाला वृत्त। माँगे गए बिंदु दोनों वृत्तों के कटान हैं: दो बिंदु अगर वृत्त काटते हों ( $AB$ ठीक $1$ और $5$ cm के बीच), एक अगर वे छूते हों ( $AB = 5$ cm या $AB = 1$ cm), कोई नहीं अगर वे बहुत दूर हों या एक दूसरे के भीतर हो।

अभ्यास 40.11 ★★

एक घड़ी में 3 बजे हैं: दोनों सुइयों के बीच कोण क्या है? यही सवाल 5 बजे के लिए, और 6 बजे के लिए। (पूरा घुमाव $12$ घंटों के लिए $360^\circ$ है।)

हल

हल — अभ्यास 40.11.

$12$ घंटा-निशान पूरे घुमाव को $360 \div 12 = 30^\circ$ के $12$ कोणों में बाँटते हैं। 3 बजे सुइयाँ $3$ निशान घेरती हैं: $90^\circ$ (एक समकोण)। 5 बजे: $5 \times 30 = 150^\circ$ । 6 बजे: $180^\circ$ (एक सरल कोण)।

अभ्यास 40.12 ★★★

$6$ cm का रेखाखंड $[AB]$ बनाओ। केवल परकार से वह बिंदु $C$ बनाओ जिसके लिए $AC = BC = 6$ cm हो, और कोण $\widehat{CAB}$ नापो। तुमने कौन-सा त्रिभुज बनाया, और उसके कोणों के बारे में तुम्हारा अनुमान क्या है?

हल

हल — अभ्यास 40.12.

$A$ और $B$ को केंद्र मानकर $6$ cm त्रिज्या के दो चाप खींचो; उनका कटान-बिंदु $C$ है। तीनों भुजाएँ $6$ cm की हैं: त्रिभुज समबाहु है, और हर कोण $60^\circ$ का है (नाप इसकी पुष्टि करता है)। अनुमान: समबाहु त्रिभुज के तीनों कोण बराबर, $60^\circ$ के होते हैं।

40.6 समस्या: घड़ी के चेहरे की ज्यामिति

समस्या 40.1

सप्ताहांत समस्या — कोण घुमाव की भिन्नों के रूप में: उन्हें घड़ी पर पढ़ना, वे क्षण खोजना जब सुइयाँ मिलती हैं, और एक दिन को वृत्त-आलेख में काटना

घड़ी एक ऐसा चाँदा है जो समय बताता है: उसका चेहरा $360^\circ$ का पूरा घुमाव है, जिसे बारह घंटा-निशान बारह बराबर कोणों में काट देते हैं। अभ्यास 40.11 में 3 बजे और 6 बजे सुइयाँ नापी गई थीं; यह समस्या पूरा सिद्धांत बनाती है — उन समयों समेत जब कोई भी सुई किसी निशान पर नहीं होती — एक ऐसे सवाल का उत्तर देती है जो कम ही बड़े ठीक बता पाते हैं (“दोनों सुइयाँ ठीक एक के ऊपर एक कितनी बार आती हैं?”), और अंत में पूरे दिन को वृत्त-आलेख में काट देती है।

भाग I — घुमाव की भिन्नें।

पूरा घुमाव $360^\circ$ का होता है। आधा घुमाव, चौथाई घुमाव और बारहवाँ घुमाव कितनी डिग्री का है?
बारह घंटा-निशान घड़ी के चेहरे को केंद्र पर बारह बराबर कोणों में काटते हैं। दो पड़ोसी निशानों के बीच कितनी डिग्री? निशान गिनकर अभ्यास 40.11 का 3 बजे वाला उत्तर फिर से पाओ।
1 बजे, 4 बजे और 7 बजे सुइयों के बीच कोण बताओ। (7 बजे सुइयाँ चेहरे को दो कोणों में बाँटती हैं; “सुइयों के बीच का कोण” हमेशा छोटे वाले को कहते हैं।)
मिनट की सुई $60$ मिनट में पूरा घुमाव लेती है। वह हर मिनट कितनी डिग्री बुहारती है?
घंटे की सुई एक निशान से अगले तक — $30^\circ$ — $60$ मिनट में जाती है। वह हर मिनट कितनी डिग्री बुहारती है? (एक दशमलव संख्या, अध्याय 38।)

भाग II — वे समय जब कुछ भी किसी निशान पर नहीं होता।

3:30 पर मिनट की सुई $6$ पर है। घंटे की सुई ठीक कहाँ है? $12$ से (घड़ी की दिशा में नापते हुए) हर सुई का कोण निकालो, और उससे सुइयों के बीच का कोण निकालो।
6:30 पर कई लोग सोचते हैं कि सुइयाँ एक के ऊपर एक हैं। पहले अंदाज़ा लगाओ, फिर प्रश्न 6 की तरह कोण निकालो। कौन सही था?
9:15 पर सुइयों के बीच का कोण निकालो।
समझाओ कि 1:00 और 1:10 के बीच कहीं दोनों सुइयाँ ठीक एक के ऊपर एक क्यों होनी ही चाहिए: 1:00 पर मिनट की सुई घंटे की सुई के मुक़ाबले कहाँ है, और 1:10 पर कहाँ? कौन-सी सुई तेज़ चलती है, और इससे बात कैसे तय हो जाती है?
बारह घंटों में दोनों सुइयाँ ठीक एक के ऊपर एक कितनी बार आती हैं? (लगातार घंटों के बीच हर टुकड़े में एक मुलाक़ात होती है — एक अपवाद के साथ: 11 और 12 के बीच क्या होता है? मुलाक़ातों के लगभग समय गिनाओ और गिनती करो।) पूरे दिन में कितनी बार?

भाग III — किसी बिंदु के चारों ओर कोण: वृत्त-आलेख।

घड़ी के चेहरे के बारहों खंड मिलकर चेहरा भर देते हैं: उनके कोणों का योग $360^\circ$ है। समझाओ कि यह किसी भी ऐसे कोण-संग्रह के लिए क्यों सही है जिनका शीर्ष साझा हो और जो उसके चारों ओर पूरा घुमाव भर दें, न कहीं ओवरलैप हो, न कहीं ख़ाली जगह।
ज़ोई अपने $24$ घंटों का दिन लिखती है: नींद $9$ घंटे, विद्यालय $6$ घंटे, खेल $3$ घंटे, भोजन $2$ घंटे, बाक़ी सब $4$ घंटे। उसे एक वृत्त-आलेख चाहिए: एक चक्र जिसमें हर काम को एक खंड मिले, और कोण समयों के समानुपाती हों। हर काम दिन की कौन-सी भिन्न है, और उसके खंड को कितनी डिग्री मिलती हैं? जाँचो कि पाँचों कोण मिलकर $360^\circ$ बनते हैं।
कदम-दर-कदम बताओ कि ज़ोई का वृत्त-आलेख परकार और चाँदे से कैसे बनाया जाए (विधि 40.8): पहली त्रिज्या कहाँ जाती है, और हर नया खंड वहीं से कैसे शुरू होता है जहाँ पिछला ख़त्म हुआ।
किसी दूसरे दिन के वृत्त-आलेख में एक खंड ठीक $90^\circ$ का है। वह चक्र की कौन-सी भिन्न है, और कितने घंटे दिखाता है?
आख़िरी सवाल, फिर घड़ी पर: $24$ घंटों में घंटे की सुई कितने पूरे घुमाव लेती है? मिनट की सुई? सेकंड की सुई? (इनमें से एक उत्तर हज़ार से ऊपर है।)

हल

हल — समस्या 40.1.

1. आधा घुमाव: $360 \div 2 = 180^\circ$ । चौथाई: $360 \div 4 = 90^\circ$ । बारहवाँ: $360 \div 12 = 30^\circ$ ।

2. $360^\circ$ भरते बारह बराबर कोण: पड़ोसी निशानों के बीच $30^\circ$ । 3 बजे सुइयाँ $3$ निशान घेरती हैं: $3 \times 30 = 90^\circ$ — एक समकोण, जैसा अभ्यास 40.11 में मिला था।

3. 1 बजे: $1 \times 30 = 30^\circ$ । 4 बजे: $4 \times 30 = 120^\circ$ । 7 बजे सुइयाँ एक ओर $7$ निशान घेरती हैं, $7 \times 30 = 210^\circ$ , इसलिए सुइयों के बीच का कोण दूसरी ओर वाला है: $360 - 210 = 150^\circ$ ।

4. $60$ मिनट में $360^\circ$ : प्रति मिनट $360 \div 60 = 6^\circ$ ।

5. $60$ मिनट में $30^\circ$ : प्रति मिनट $30 \div 60 = 0.5^\circ$ — आधी डिग्री। घंटे की सुई रेंगती है, मिनट की सुई लंबे डग भरती है।

6. 3:00 के बाद के $30$ मिनटों में घंटे की सुई $3$ से $30 \times 0.5 = 15^\circ$ आगे बढ़ चुकी है: वह ठीक $3$ और $4$ के बीचों-बीच है, $12$ से $90 + 15 = 105^\circ$ पर। मिनट की सुई $6$ पर है: $180^\circ$ । सुइयों के बीच का कोण: $180 - 105 = 75^\circ$ ।

7. गणना अंदाज़े को हरा देती है: मिनट की सुई $180^\circ$ पर है, पर घंटे की सुई $6$ छोड़ चुकी है — वह $6 \times 30 + 30 \times 0.5 = 180 + 15 = 195^\circ$ पर है। सुइयों के बीच का कोण $195 - 180 = 15^\circ$ है: पास, पर एक के ऊपर एक नहीं।

8. मिनट की सुई $3$ पर: $90^\circ$ । घंटे की सुई: $9 \times 30 + 15 \times 0.5 = 270 + 7.5 = 277.5^\circ$ । अंतर: $277.5 - 90 = 187.5^\circ$ , इसलिए सुइयों के बीच का कोण $360 - 187.5 = 172.5^\circ$ है — लगभग एक सरल कोण।

9. 1:00 पर मिनट की सुई ( $0^\circ$ ) घंटे की सुई ( $30^\circ$ ) से पीछे है। 1:10 पर मिनट की सुई ( $60^\circ$ ) उससे आगे है ( $30 + 10 \times 0.5 = 35^\circ$ )। मिनट की सुई तेज़ चलती है ( $6^\circ$ प्रति मिनट बनाम $0.5^\circ$ ), इसलिए 1:00 और 1:10 के बीच वह घंटे की सुई को पकड़कर पार कर जाती है — पार करने के उसी क्षण दोनों सुइयाँ ठीक एक के ऊपर एक होती हैं।

10. यही पकड़ना बार-बार होता है: सुइयाँ ठीक 12:00 पर मिलती हैं, फिर लगभग 1:05, 2:11, 3:16, 4:22, 5:27, 6:33, 7:38, 8:44, 9:49 और 10:55 पर। 11 और 12 के बीच जिस मुलाक़ात की उम्मीद हो, वह ठीक 12:00 पर पड़ती है, जो अगला चक्र शुरू कर देती है — इसलिए बारह घंटों में सुइयाँ $11$ बार मिलती हैं, $12$ बार नहीं। पूरे दिन में: $22$ बार।

11. एक ही शीर्ष वाले कोण, जिनमें न ओवरलैप हो न ख़ाली जगह, उस शीर्ष के चारों ओर पूरा घुमाव भर देते हैं: बिंदु के चारों ओर एक बार घूमने पर हर कोण ठीक एक बार पार होता है, और पूरा घुमाव $360^\circ$ का है। इसलिए नाप मिलकर $360^\circ$ बनते हैं — चाहे कोण कितने भी हों और कितने भी बड़े-छोटे।

12. दिन का हर घंटा $360 \div 24 = 15^\circ$ का है। तो:

\text{नींद } 9 \times 15 = 135^\circ, \quad \text{विद्यालय } 90^\circ, \quad \text{खेल } 45^\circ, \quad \text{भोजन } 30^\circ, \quad \text{बाक़ी } 60^\circ,

और $135 + 90 + 45 + 30 + 60 = 360^\circ$ : वृत्त पूरा भर जाता है, न ख़ाली जगह न ओवरलैप (प्रश्न 11)।

13. परकार से एक वृत्त और एक त्रिज्या (शुरू की रेखा) खींचो। चाँदे का केंद्र वृत्त के केंद्र पर रखो, उसकी $0^\circ$ वाली रेखा उस त्रिज्या पर, और $135^\circ$ अंकित करो; नई त्रिज्या खींचो: नींद वाला खंड बन गया। फिर $0^\circ$ वाली रेखा उसी नई त्रिज्या पर रखकर विद्यालय के लिए $90^\circ$ अंकित करो, और ऐसे ही आगे — हर खंड वहीं से शुरू होता है जहाँ पिछला ख़त्म हुआ। आख़िरी खंड के बाद चित्र ठीक शुरू वाली त्रिज्या पर बंद हो जाता है।

14. $90^\circ$ , चक्र का $\frac{90}{360} = \frac14$ है (विधि 39.7), इसलिए वह दिन की एक चौथाई दिखाता है: $24 \div 4 = 6$ घंटे।

15. घंटे की सुई $12$ घंटों में एक घुमाव लेती है: दिन में $2$ घुमाव। मिनट की सुई हर घंटे एक घुमाव: $24$ घुमाव। सेकंड की सुई हर मिनट एक घुमाव: दिन में $24 \times 60 = 1\,440$ घुमाव।