71सांख्यिकी और प्रायिकता

हल — समस्या 71.1.

1. हर फेंक में $6$ में से $5$ परिणाम छक्के के अलावा हैं; $6 \times 6$ की सारणी में $36$ में से $5 \times 5 = 25$ परिणाम छक्के से ख़ाली हैं: $\P(\text{कोई छक्का नहीं}) = \frac{25}{36}$, इसलिए $\P(\text{कम से कम एक}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0.31$।

2. $\frac13 = \frac{12}{36} \neq \frac{11}{36}$। वह जोड़ परिणाम “छक्का फिर छक्का” को दोनों $\frac16$ में एक-एक बार गिन जाता है: यानी एक बार ज़्यादा। जो घटनाएँ एक साथ हो सकती हैं, उनकी प्रायिकताएँ यूँ ही नहीं जुड़तीं।

3. योगफल $7$: छह परिणाम $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$: $\P = \frac{6}{36} = \frac16$। योगफल $2$: सिर्फ़ $(1,1)$: $\frac{1}{36}$। सात के होने के सबसे ज़्यादा रास्ते हैं — योगफलों की सारणी का मोटा बीच।

4. योगफल $9$: $(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)$ — चार परिणाम, $\frac{4}{36}$। योगफल $10$: $(4,6), (5,5), (6,4)$ — तीन, $\frac{3}{36}$। नौ ज़्यादा संभव है: फ़ैसला परिणामों की गिनती करती है, यह नहीं कि बिना क्रम वाले फलकों से वह योगफल कितने ढंग से “लिखा” जा सकता है।

5. वृक्ष का हर स्तर “छक्का नहीं” की प्रायिकता को $\frac56$ से गुणा कर देता है, पहले चाहे जो हुआ हो: यानी $n$ फेंकों के बाद $\P(\text{एक भी छक्का नहीं}) = \left(\frac56\right)^n$, और पूरक का नियम सूत्र दे देता है।

6. $\left(\frac56\right)^4 = \frac{625}{1296} \approx 0.482$, इसलिए शेवालिए $1 - 0.482 = 0.518$ प्रायिकता से जीतते थे — हर खेल पर क़रीब $2\,\%$ की चुपचाप, टिकाऊ बढ़त: शानदार बाज़ी, और उसी ने उनकी बग्घियों का ख़र्च उठाया।

7. $7$ फेंकों पर उनका नियम $\frac76$ देता है — यानी $1$ से बड़ी प्रायिकता, जो बेतुकी है। यह सवाल 2 वाली दोहरी गिनती ही है, और भी बढ़ी हुई: अलग-अलग फेंकों की सफलताएँ आपस में ऊपर-नीचे पड़ती हैं, और उनके मौक़े जोड़ते जाने से वे साझे हिस्से बार-बार गिने जाते हैं।

8. $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{24} \approx 1 - 0.5086 = 0.491$: यानी आधे से नीचे। $49.1\,\%$ वाली घटना पर बराबर दाँव लगाकर शेवालिए औसतन हर $100$ खेलों में क़रीब $2$ खेल हारते थे — धीरे-धीरे, (उनके लिए) रहस्यमय ढंग से, और लाज़मी तौर पर।

9. $1 - \left(\frac{35}{36}\right)^{25} \approx 1 - 0.494 = 0.506$: $25$ फेंकों पर बाज़ी उनके हक़ में हो जाती। सिर्फ़ एक फेंक शेवालिए को मुनाफ़े से अलग कर रही थी।

10. किसी प्रायिकता को कोशिशों की गिनती से गुणा कर देने पर ऊपर-नीचे पड़ती सफलताएँ कई बार गिनी जाती हैं, और आख़िरकार $1$ से बड़े नामुमकिन जवाब निकल आते हैं। सही रास्ता हमेशा पूरक से होकर जाता है: नाकामी की प्रायिकताओं को गुणा करके एक लड़ी में बाँधो, फिर $1$ में से घटा दो।

11. माध्य: $\frac{9 \times 2\,000 + 20\,000}{10} = \frac{38\,000}{10} = 3\,800$ यूरो। माध्यिका: बीच के दोनों वेतन $2\,000$ हैं: यानी माध्यिका $2\,000$ यूरो। विज्ञापन में माध्यिका ही छपनी चाहिए — दसों में से नौ काम करने वालों को $3\,800$ जैसा कुछ कभी दिखता ही नहीं; माध्य को अकेले एक बाहरी मान ने ऊपर खींच रखा है (उदाहरण 71.3 भार के बारे में चेता चुका है)।

12. जैसे $2, 8, 15, 17, 18$: माध्यिका $15$ (बीच वाला मान), माध्य $\frac{60}{5} = 12$। माध्यिका से नीचे पड़ा माध्य बताता है कि नीचे के कुछ अंकों की पूँछ औसत को नीचे खींच रही है, जबकि ऊपर वाला आधा हिस्सा ऊँचा बैठा है।

13. पहले तीन गुणक: $1 \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \approx 0.992$। हर नए विद्यार्थी को एक और घिरी हुई तारीख़ से बचना पड़ता है, इसलिए गुणक सिकुड़ते जाते हैं: तेईसवें के लिए $\frac{343}{365} \approx 0.94$। पूरा गुणनफल गिरकर क़रीब $0.493$ रह जाता है — इसलिए

यानी आधे से भी ज़्यादा, और वह भी सिर्फ़ $23$ की कक्षा में। अटकल कहती है “$23$ लोग, $365$ दिन, कोई मौक़ा नहीं”; गणित कहता है “सिक्का उछाल लो”।

14. $\frac{23 \times 22}{2} = 253$ जोड़े। हर जोड़ा संयोग का एक नया मौक़ा है, और $\frac{1}{365}$ वाले $253$ मौक़े कोई छोटी बात नहीं रह जाते: लोगों के बजाय जोड़े गिनते ही हैरानी घुल जाती है।

15. एक नमूना तरीक़ा: पासे को चार-चार फेंकों के गुच्छों में फेंको और हर गुच्छे के लिए नोट करो कि उसमें छक्का आया या नहीं, ऐसे $100$ गुच्छे; या फिर क़रीब $23$-$23$ विद्यार्थियों वाली कई कक्षाओं की जन्मदिन-सूचियाँ जुटाओ और जिनमें संयोग निकला उनका अनुपात नोट करो। देखी गई आवृत्ति डगमगाएगी, पर दोहराव बढ़ने के साथ उसे निकाली हुई प्रायिकताओं ($0.518$; $0.507$) के और भी पास जा बैठना चाहिए — आवृत्तियाँ प्रायिकताओं की ओर अभिसरित होती हैं: यही बृहत् संख्याओं का नियम है, जो यहाँ एक उम्मीद के तौर पर कहा गया है और हाई-स्कूल खंड में सिद्ध होता है।