प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9

69समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमिति

किसी समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण जान लेने भर से उसकी शक्ल तय हो जाती है — सिर्फ़ नाप बदल सकती है। इसलिए उसकी भुजाओं के अनुपात भी सिर्फ़ कोण पर टिके होते हैं: यही अनुपात कोज्या, ज्या और स्पर्शज्या हैं। पाइथागोरस प्रमेय के साथ मिलकर ये बहुत थोड़ी-सी जानकारी से समकोण त्रिभुज की हर भुजा और हर कोण निकाल देते हैं।

69.1 पाइथागोरस प्रमेय, एक बार फिर

प्रमेय 69.1 (पाइथागोरस)

अगर त्रिभुज $ABC$ का $A$ पर समकोण हो, तो कर्ण का वर्ग दोनों समकोण भुजाओं के वर्गों के योगफल के बराबर होता है:

BC^2 = AB^2 + AC^2 .

और उलटे, अगर किसी त्रिभुज में $BC^2 = AB^2 + AC^2$ हो, तो उस त्रिभुज का $A$ पर समकोण होता है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

उदाहरण 69.2

किसी समकोण त्रिभुज की समकोण भुजाएँ $AB = 5$ और $AC = 12$ हैं। तब

BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, \qquad\text{यानी}\quad BC = \sqrt{169} = 13 .

कोई समकोण भुजा निकालनी हो: अगर $BC = 10$ और $AB = 6$ हों, तो $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 100 - 36 = 64$ , यानी $AC = 8$ ।

69.2 कोज्या, ज्या, स्पर्शज्या

किसी समकोण त्रिभुज में, किसी न्यून कोण $\theta$ के सापेक्ष तीनों भुजाओं के अपने-अपने नाम हैं: कर्ण (समकोण के सामने वाली, सबसे लंबी भुजा), $\theta$ की सम्मुख भुजा, और $\theta$ की संलग्न भुजा (वह समकोण भुजा जो $\theta$ को छूती है)।

परिभाषा 69.3 (त्रिकोणमितीय अनुपात)

किसी समकोण त्रिभुज के न्यून कोण $\theta$ की कोज्या, ज्या और स्पर्शज्या इस तरह परिभाषित होती हैं:

\cos\theta = \frac{\text{संलग्न भुजा}}{\text{कर्ण}}, \qquad \sin\theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{संलग्न भुजा}} .

ये अनुपात सिर्फ़ $\theta$ पर टिके हैं, त्रिभुज की नाप पर नहीं: एक ही न्यून कोण वाले सारे समकोण त्रिभुज, थेल्स के अनुसार, एक-दूसरे के घटे-बढ़े रूप हैं।

कोण = B से देखी गई तीनों भुजाएँ: कर्ण [BC], संलग्न भुजा [BA], सम्मुख भुजा [AC]। — कोण $\theta = \widehat B$ से देखी गई तीनों भुजाएँ: कर्ण $[BC]$ , संलग्न भुजा $[BA]$ , सम्मुख भुजा $[AC]$ ।

प्रतिज्ञप्ति 69.4 (पहले गुण)

हर न्यून कोण $\theta$ के लिए:

$0 < \cos\theta < 1$ और $0 < \sin\theta < 1$ (कोई भी समकोण भुजा कर्ण से छोटी होती है);
$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ ;
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ .

उपपत्ति. $\theta$ कोण वाले किसी समकोण त्रिभुज की संलग्न भुजा को $a$ , सम्मुख भुजा को $o$ और कर्ण को $h$ लिखो।

1. $0 < a < h$ और $0 < o < h$ हैं, इसलिए दोनों अनुपात $0$ और $1$ के बीच सख़्ती से पड़ते हैं।

2. पाइथागोरस से $a^2 + o^2 = h^2$ । सब कुछ $h^2$ से भाग दो:

\cos^2\theta + \sin^2\theta = \frac{a^2}{h^2} + \frac{o^2}{h^2} = \frac{a^2 + o^2}{h^2} = 1 .

3. $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{o/h}{a/h} = \dfrac oa = \tan\theta$ । ∎

विधि 69.5 (कोई भुजा निकालना)

एक भुजा और एक न्यून कोण ज्ञात हों, तब कोई अज्ञात भुजा निकालने के लिए:

ज्ञात कोण पर निशान लगाओ और तीनों भुजाओं के नाम उसी कोण से लिखो (कर्ण, सम्मुख, संलग्न);
वह अनुपात चुनो (कोज्या, ज्या या स्पर्शज्या) जिसमें ज्ञात भुजा और चाही गई भुजा, दोनों आती हों;
समीकरण लिखकर उसे हल करो;
समझदारी की जाँच: कर्ण सबसे लंबा निकलना चाहिए।

उदाहरण 69.6

किसी समकोण त्रिभुज का कर्ण $8$ नापता है और एक कोण $35^\circ$ का है; उसकी सम्मुख भुजा निकालो। सम्मुख भुजा और कर्ण को जोड़ने वाला अनुपात ज्या है:

\sin 35^\circ = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{8} \quad\Longrightarrow\quad \text{सम्मुख भुजा} = 8 \sin 35^\circ \approx 8 \times 0.574 \approx 4.6 .

संलग्न भुजा के लिए कोज्या लो: $8\cos 35^\circ \approx 8 \times 0.819 \approx 6.6$ । पाइथागोरस से जाँच: $4.6^2 + 6.6^2 \approx 21 + 43 \approx 64 = 8^2$ ।

विधि 69.7 (कोई कोण निकालना)

जब दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो उनका बना अनुपात निकालो, पहचानो कि वह अज्ञात कोण की कोज्या है, ज्या है या स्पर्शज्या, और उस अनुपात पर कैलकुलेटर का प्रतिलोम फलन ( $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ या $\tan^{-1}$ ) लगाओ।

उदाहरण 69.8

$5$ m लंबी कोई सीढ़ी दीवार से टिकी है, और उसका पैर दीवार से $1.4$ m दूर है। सीढ़ी तथा ज़मीन के बीच का कोण $\theta$ इस शर्त को मानता है

\cos\theta = \frac{1.4}{5} = 0.28, \qquad\text{यानी}\quad \theta = \cos^{-1}(0.28) \approx 73.7^\circ .

सीढ़ी वाली समस्या: संलग्न भुजा (1.4 m) और कर्ण (5 m) ज्ञात हैं, इसलिए कोज्या कोण बता देती है। — सीढ़ी वाली समस्या: संलग्न भुजा ( $1.4$ m) और कर्ण ( $5$ m) ज्ञात हैं, इसलिए कोज्या कोण बता देती है।

उदाहरण 69.9 (ख़ास कोण)

दो त्रिभुज बिलकुल सही मान देते हैं। भुजा $1$ वाले वर्ग का आधा (एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज) कर्ण $\sqrt2$ और $45^\circ$ के कोण देता है:

\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}, \qquad \tan 45^\circ = 1 .

भुजा $1$ वाले समबाहु त्रिभुज का आधा $30^\circ$ और $60^\circ$ के कोण देता है:

\cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \frac12, \qquad \cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}.

69.3 अभ्यास

अभ्यास 69.1 ★

किसी समकोण त्रिभुज की समकोण भुजाएँ $9$ और $12$ हैं। उसका कर्ण निकालो। एक दूसरे त्रिभुज का कर्ण $17$ है और एक समकोण भुजा $8$ : दूसरी समकोण भुजा निकालो।

हल

हल — अभ्यास 69.1.

कर्ण: $\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ ।

दूसरी समकोण भुजा: $\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ ।

अभ्यास 69.2 ★

किसी त्रिभुज की भुजाएँ $7$ , $24$ और $25$ हैं। क्या वह समकोण है? भुजाओं $5$ , $6$ और $8$ के लिए भी यही सवाल।

हल

हल — अभ्यास 69.2.

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$ : हाँ, समकोण है (पाइथागोरस की विलोम), और समकोण भुजा $25$ के सामने पड़ता है।

$5^2 + 6^2 = 61 \neq 64 = 8^2$ : समकोण नहीं है।

अभ्यास 69.3 ★

त्रिभुज $DEF$ का $D$ पर समकोण है, और $E$ पर बने कोण को $\theta$ कहा गया है: कर्ण कौन-सी भुजा है? $\theta$ की सम्मुख भुजा कौन-सी है? $\cos\theta$ , $\sin\theta$ और $\tan\theta$ को भुजाओं $DE$ , $DF$ , $EF$ के अनुपातों के रूप में लिखो।

हल

हल — अभ्यास 69.3.

कर्ण $[EF]$ है ( $D$ पर बने समकोण के सामने वाली भुजा)। $\theta = \widehat E$ की सम्मुख भुजा $[DF]$ है, और संलग्न भुजा $[DE]$ । इसलिए

\cos\theta = \frac{DE}{EF}, \qquad \sin\theta = \frac{DF}{EF}, \qquad \tan\theta = \frac{DF}{DE}.

अभ्यास 69.4 ★

किसी समकोण त्रिभुज का कर्ण $10$ नापता है और एक न्यून कोण $28^\circ$ का है। दोनों समकोण भुजाएँ निकालो (दसवें भाग तक गोल करो; $\cos 28^\circ \approx 0.883$ , $\sin 28^\circ \approx 0.469$ )।

हल

हल — अभ्यास 69.4.

सम्मुख समकोण भुजा: $10 \sin 28^\circ \approx 10 \times 0.469 = 4.7$ । संलग्न समकोण भुजा: $10 \cos 28^\circ \approx 10 \times 0.883 = 8.8$ । (जाँच: $4.7^2 + 8.8^2 \approx 22 + 77 \approx 100$ ।)

अभ्यास 69.5 ★

किसी समकोण त्रिभुज में कोण $\theta$ की संलग्न भुजा $6$ नापती है और सम्मुख भुजा $4.5$ । $\tan\theta$ निकालो, फिर $\theta$ (डिग्री तक गोल करो; $\tan^{-1}(0.75) \approx 36.9^\circ$ )।

हल

हल — अभ्यास 69.5.

$\tan\theta = \dfrac{4.5}{6} = 0.75$ , इसलिए $\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 37^\circ$ ।

अभ्यास 69.6 ★★

कोई ड्रोन $120$ m की ऊँचाई पर उड़ रहा है। ज़मीन पर खड़े किसी देखने वाले को वह $32^\circ$ के उन्नयन कोण पर दिखता है। ड्रोन उससे कितनी क्षैतिज दूरी पर है ( $\tan 32^\circ \approx 0.625$ )?

हल

हल — अभ्यास 69.6.

देखने वाले, ड्रोन के ठीक नीचे ज़मीन के बिंदु, और ड्रोन से बने समकोण त्रिभुज में: $120$ m की ऊँचाई उन्नयन कोण की सम्मुख भुजा है और क्षैतिज दूरी $d$ उसकी संलग्न भुजा। इसलिए

\tan 32^\circ = \frac{120}{d}, \qquad d = \frac{120}{\tan 32^\circ} \approx \frac{120}{0.625} = 192 \text{ m।}

अभ्यास 69.7 ★★

किसी ढालू रास्ते को $1.2$ m चढ़ना है, और क्षैतिज के साथ उसका कोण ज़्यादा से ज़्यादा $5^\circ$ हो सकता है। ढलान के साथ-साथ उसकी कम से कम लंबाई कितनी होनी चाहिए ( $\sin 5^\circ \approx 0.0872$ )? मीटर के दसवें भाग तक ऊपर की ओर गोल करो।

हल

हल — अभ्यास 69.7.

चढ़ाई ( $1.2$ m) कोण की सम्मुख भुजा है, और रास्ते की लंबाई $L$ कर्ण है:

\sin 5^\circ = \frac{1.2}{L}, \qquad L = \frac{1.2}{\sin 5^\circ} \approx \frac{1.2}{0.0872} \approx 13.8 \text{ m।}

इसलिए रास्ता कम से कम $13.8$ m लंबा होना चाहिए।

अभ्यास 69.8 ★★

प्रतिज्ञप्ति 69.4 की मदद से: किसी न्यून कोण $\theta$ के लिए $\cos\theta = 0.6$ है। $\theta$ निकाले बिना $\sin\theta$ निकालो, फिर $\tan\theta$ ।

हल

हल — अभ्यास 69.8.

$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ से: $\sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$ , और न्यून कोण के लिए $\sin\theta > 0$ होता है, इसलिए $\sin\theta = 0.8$ । तब $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{0.8}{0.6} = \dfrac43$ ।

अभ्यास 69.9 ★★★

उदाहरण 69.9 के बिलकुल सही मानों का कारण दो: समकोण भुजाएँ $1$ वाले समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में कर्ण निकालो; भुजा $1$ वाले समबाहु त्रिभुज में ऊँचाई निकालो, और उससे $30^\circ$ तथा $60^\circ$ की कोज्या और ज्या निकालो।

हल

हल — अभ्यास 69.9.

समकोण भुजाएँ $1$ वाला समद्विबाहु समकोण त्रिभुज: कर्ण $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ ; दोनों न्यून कोण $45^\circ$ के, और

\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} = \sin 45^\circ, \qquad \tan 45^\circ = \frac11 = 1 .

भुजा $1$ वाला समबाहु त्रिभुज: उसकी ऊँचाई उसे दो समकोण त्रिभुजों में बाँट देती है, जिनका कर्ण $1$ , आधार $\frac12$ और ऊँचाई $h = \sqrt{1 - \frac14} = \frac{\sqrt3}{2}$ है (पाइथागोरस)। कोण $60^\circ$ (आधार पर) और $30^\circ$ (शिखर पर) के हैं। अनुपात पढ़ने पर:

\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3/2}{1} = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac12 .

69.4 समस्या: जहाँ तक पहुँचा ही नहीं जा सकता, उसे नापना

समस्या 69.1

सप्ताहांत समस्या — जहाँ पहुँचा नहीं जा सकता ऐसी ऊँचाइयों के लिए भूमापकों की दो-ठिकाना विधि, सड़कों की चढ़ाई, क्षितिज की दूरी, और स्पर्शज्या की अनंत तक दौड़

किसी पहाड़ की चोटी तक, नदी के उस पार खड़ी मीनार के शिखर तक, या समंदर के क्षितिज तक कोई फ़ीता नहीं पहुँचता — पर एक कोणमापी और इस अध्याय के तीन अनुपात पहुँच जाते हैं। इस समस्या का केंद्र भूमापकों की मशहूर दो-ठिकाना विधि है, जो किसी ऊँचाई को उसकी जड़ के पास गए बिना ही निकाल देती है; उसके चारों ओर: सड़क के बोर्ड, सीढ़ियाँ, ज़ीने, धरती का गोलपन, और किसी फलन को अनंत की ओर फटते हुए देखने की पहली झलक।

भाग I — एक ठिकाना। (मान: $\tan 35^\circ \approx 0.700$ , $\sin 35^\circ \approx 0.574$ , $\cos 35^\circ \approx 0.819$ , $\tan 1^\circ \approx 0.0175$ ।)

किसी प्रकाशस्तंभ की जड़ से $60$ m दूर खड़े होने पर उसका शिखर $35^\circ$ के उन्नयन पर दिखता है (क्षैतिज से नापा गया, आँख की ऊँचाई पर)। शिखर आँख की ऊँचाई से कितना ऊपर है?
सड़क का कोई बोर्ड $12\,\%$ की चढ़ाई बताता है: हर $100$ m क्षैतिज चाल पर सड़क $12$ m चढ़ती है। सड़क क्षैतिज के साथ कितना कोण बनाती है? और $45^\circ$ वाली सड़क की चढ़ाई कितने प्रतिशत की होगी?
किसी समकोण त्रिभुज के दोनों न्यून कोण पूरक होते हैं, और एक की सम्मुख भुजा दूसरे की संलग्न भुजा होती है। इससे “को” वाली सर्वसमिकाएँ निकालो:

$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta, \qquad \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta .$
$8$ m की कोई सीढ़ी ज़मीन से $60^\circ$ पर टिकी है। उदाहरण 69.9 के बिलकुल सही मानों से बताओ कि वह कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है और उसका पैर दीवार से कितनी दूर है — पहले बिलकुल सही, फिर सेंटीमीटर तक।
$\theta = 35^\circ$ पर $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ को संख्याओं से जाँचो, और $\theta = 60^\circ$ पर बिलकुल सही-सही। यह सर्वसमिका (प्रतिज्ञप्ति 69.4) कैलकुलेटर के काम की जाँच के लिए अच्छी आदत क्यों है?

भाग II — दो ठिकाने। किसी पहाड़ की चोटी दिख रही है, पर उसकी जड़ तक पहुँचा नहीं जा सकता। बिंदु $A$ से चोटी का उन्नयन $30^\circ$ है; पहाड़ की ओर सीधे $200$ m चलकर $B$ पर पहुँचने पर उन्नयन $40^\circ$ हो जाता है। आँख की ऊँचाई से ऊपर चोटी की ऊँचाई को $h$ लिखो, और $B$ से चोटी की खड़ी रेखा तक की क्षैतिज दूरी को $x$ । ( $\tan 30^\circ \approx 0.577$ , $\tan 40^\circ \approx 0.839$ ।)

$\tan 40^\circ$ और $\tan 30^\circ$ को $h$ , $x$ तथा $x + 200$ की मदद से लिखो: दो अज्ञातों के लिए दो समीकरण।
हर समीकरण से क्षैतिज दूरी को $h$ के रूप में निकालो, दोनों को घटाओ, और दो-ठिकाना सूत्र तक पहुँचो:

$h = \frac{200} {\ \dfrac{1}{\tan 30^\circ} - \dfrac{1}{\tan 40^\circ}\ } .$

$h$ को नज़दीकी दहाई मीटर तक निकालो।
$x$ भी निकालो, और $A$ से लिए गए $30^\circ$ के दर्शन पर अपने दोनों उत्तरों की समझदारी जाँचो।
एक वाक्य में: यहाँ दो-ठिकाना विधि के बिना काम क्यों नहीं चलता — सवाल 1 वाली एक-ठिकाना विधि के लिए कौन-सी अकेली नाप चाहिए होती, जो यहाँ मुमकिन ही नहीं?
कोई मीनार $30^\circ$ पर दिखती है, और उसकी ओर $200$ m चलने पर $60^\circ$ पर। $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt3}$ तथा $\tan 60^\circ = \sqrt3$ लेकर ऊँचाई बिलकुल सही-सही निकालो — उत्तर $\sqrt3$ का एक गुणज है — और फिर मीटर तक।

भाग III — क्षितिज तक, और दीवार पर ऊपर।

क्षितिज कितनी दूर है? $R$ त्रिज्या वाली गोल धरती पर आँखें $h$ मीटर ऊँची रखकर खड़े हो: तुम्हारी दृष्टि-रेखा गोले को छूती हुई निकल जाती है, और वह रेखा, छूने वाले बिंदु तक की त्रिज्या तथा तुम्हारे पैरों तक की त्रिज्या मिलकर एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। पाइथागोरस (प्रमेय 69.1) से दिखाओ कि क्षितिज तक की दूरी $d$ शर्त $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ मानती है, और $1.80$ m ऊँची आँखों के लिए $d$ निकालो ( $R = 6.37 \times 10^6$ m)।
$324$ m ऊँची मीनार के शिखर से वही सवाल। (नाविकों का मोटा नियम: किलोमीटर में क्षितिज क़रीब $3.6\sqrt{h}$ होता है, जहाँ $h$ मीटर में है — अपने दोनों उत्तर इसी पर परखो।)
तुम्हारा अंगूठा, क़रीब $2$ cm चौड़ा, बाँह भर दूर यानी आँख से क़रीब $60$ cm पर: वह कितना कोण ढकता है? पूरा चाँद क़रीब $0.5^\circ$ ढकता है: तुम्हारे अंगूठे का कितना हिस्सा पूरे चाँद को छिपा देता है?
आरामदेह सीढ़ियों का हर क़दम $17$ cm ऊँचा और $29$ cm चौड़ा होता है। वे कितने कोण पर चढ़ती हैं? उदाहरण 69.9 वाले $30^\circ$ से तुलना करो, और $60^\circ$ पर खड़ी अटारी की सीढ़ी से भी: $29$ cm चौड़ाई पर उसे कितनी ऊँचाई चाहिए होती?
स्पर्शज्या की दौड़: कैलकुलेटर से $\tan 10^\circ$ , $\tan 45^\circ$ , $\tan 80^\circ$ , $\tan 89^\circ$ निकालो। कोण $90^\circ$ के पास पहुँचते ही क्या होता है, और क्यों (संलग्न भुजा के बारे में सोचो)? दीवार खड़ी है, अनुपात का कोई मान बचता ही नहीं, और आलेख अनंत की ओर छूट जाता है — यह तुम्हारा पहला अनंतस्पर्शी है, जिसे हाई-स्कूल खंड पास से देखता है।

हल

हल — समस्या 69.1.

1. आँख की ऊँचाई से ऊपर की ऊँचाई $35^\circ$ की सम्मुख भुजा है, जिसकी संलग्न भुजा $60$ m है: $h = 60 \tan 35^\circ \approx 60 \times 0.700 = 42$ m।

2. $\tan\theta = 0.12$ से $\theta = \tan^{-1}(0.12) \approx 6.8^\circ$ — किसी सड़क के लिए यह तीखा है, फिर भी कोण मामूली-सा। $45^\circ$ वाली सड़क पर $\tan 45^\circ = 1$ : यानी $100\,\%$ की चढ़ाई। (“सौ प्रतिशत” खड़ी दीवार से बहुत दूर है — रस्सी-गाड़ी वालों की मनपसंद ग़लतफ़हमी।)

3. $\theta$ और $90^\circ - \theta$ न्यून कोणों वाले किसी समकोण त्रिभुज में एक की सम्मुख भुजा दूसरे की संलग्न भुजा है, और कर्ण दोनों में साझा। इसलिए $\sin(90^\circ - \theta) = \frac{\text{उसकी सम्मुख भुजा}}{h} = \frac{\theta \text{ की संलग्न भुजा}}{h} = \cos\theta$ , और उसी तरह $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$ । नाम ख़ुद यही कहता है: कोज्या असल में कोटि की, यानी पूरक कोण की, ज्या है।

4. ऊँचाई: $8 \sin 60^\circ = 8 \times \frac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3 \approx 6.93$ m। पैर: $8 \cos 60^\circ = 4$ m, बिलकुल सही।

5. $0.574^2 + 0.819^2 = 0.329 + 0.671 = 1.000$ (गोलन तक); और $\left(\frac12\right)^2 + \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 = \frac14 + \frac34 = 1$ । जो जोड़ी इस सर्वसमिका पर खरी न उतरे, वह या तो ग़लत पढ़ी गई है या कैलकुलेटर ग़लत ढंग पर लगा है — यानी मुफ़्त की ग़लती-पकड़।

6. $\tan 40^\circ = \dfrac hx$ और $\tan 30^\circ = \dfrac{h}{x + 200}$ ।

7. $x = \dfrac{h}{\tan 40^\circ}$ और $x + 200 = \dfrac{h}{\tan 30^\circ}$ ; घटाने पर $200 = h\left(\frac{1}{\tan 30^\circ} - \frac{1}{\tan 40^\circ}\right)$ , और वहीं से सूत्र निकल आता है। संख्याएँ: $\frac{1}{0.577} \approx 1.732$ , $\frac{1}{0.839} \approx 1.192$ , अंतर $0.540$ : $h \approx \frac{200}{0.540} \approx 370$ m।

8. $x = \frac{h}{\tan 40^\circ} \approx \frac{370}{0.839} \approx 441$ m। $A$ से जाँच: $\frac{h}{x + 200} \approx \frac{370}{641} \approx 0.577 = \tan 30^\circ$ : मेल खाता है।

9. एक-ठिकाना विधि को चोटी के ठीक नीचे वाले बिंदु तक की क्षैतिज दूरी चाहिए — जो किसी खाई के पार या पहाड़ के भीतर नापी ही नहीं जा सकती। दो-ठिकाना विधि उसकी जगह वह दूरी ले लेती है जिसे तुम ख़ुद क़दमों से नाप सकते हो: अपने दोनों ठिकानों के बीच के $200$ m।

10. $h = \dfrac{200}{\sqrt3 - \frac{1}{\sqrt3}} = \dfrac{200}{\frac{2}{\sqrt3}} = 100\sqrt3 \approx 173$ m — यानी एफ़िल मीनार की दूसरी मंज़िल, दो नज़रों और एक सैर से नाप ली गई।

11. दृष्टि-रेखा $d$ , और त्रिज्याएँ $R$ (छूने वाले बिंदु तक, दृष्टि-रेखा पर लंब) तथा $R + h$ (आँख तक): पाइथागोरस से $d^2 + R^2 = (R + h)^2 = R^2 + 2Rh + h^2$ , यानी $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ ( $h$ , $R$ के आगे नगण्य है)। $1.80$ m ऊँची आँखों के लिए: $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 1.8} \approx 4\,800$ m — समंदर का क्षितिज मुश्किल से पाँच किलोमीटर दूर है।

12. $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 324} \approx 64$ km। नाविकों का नियम: $3.6\sqrt{1.8} \approx 4.8$ km और $3.6\sqrt{324} = 64.8$ km — दोनों मेल खाते हैं।

13. $\tan\theta = \frac{2}{60}$ से $\theta \approx 1.9^\circ$ । चाँद का $0.5^\circ$ अंगूठे के क़रीब चौथाई हिस्से जितना है: चाँद देखने में विशाल लगता है और नाख़ून भर से ढक जाता है — आँख बहुत बुरा चाँदा है।

14. सीढ़ियाँ: $\tan^{-1}\frac{17}{29} \approx 30^\circ$ — यानी आरामदेह सीढ़ियाँ ठीक उन्हीं ख़ास मानों वाले $30^\circ$ पर चढ़ती हैं। $29$ cm चौड़ाई पर $60^\circ$ चाहिए तो हर क़दम $29\tan 60^\circ = 29\sqrt3 \approx 50$ cm ऊँचा होगा: वे चढ़ने की सीढ़ियाँ नहीं रहीं, दीवार से टिकाने वाली सीढ़ी हो गईं।

15. $\tan 10^\circ \approx 0.18$ ; $\tan 45^\circ = 1$ ; $\tan 80^\circ \approx 5.7$ ; $\tan 89^\circ \approx 57.3$ । $\theta$ के $90^\circ$ की ओर बढ़ते ही संलग्न भुजा सिमटकर ख़त्म होने लगती है, जबकि सम्मुख भुजा टिकी रहती है: भागफल हर हद के पार चला जाता है। ठीक $90^\circ$ पर न कोई त्रिभुज बचता है, न कोई मान — स्पर्शज्या का आलेख एक खड़े अनंतस्पर्शी पर चढ़ जाता है, जो हाई-स्कूल खंड के ऐसे कई अनंतस्पर्शियों में पहला है।