प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Cursos 1–9

33ज्यामितीय रचनाएँ

मापपट्टी, समकोण पट्टिका, परकार: इन तीन औज़ारों और थोड़े-से तरीक़े से शब्दों में बताई गई कोई भी आकृति ठीक-ठीक बनाई जा सकती है। यह अध्याय लंब, समांतर रेखाएँ, त्रिभुज और ख़ास चतुर्भुज बनाता है — पहले हुनर, सिद्धांत बाद में (अध्याय 40 और 41)।

33.1 किसी बिंदु से होकर लंब और समांतर

विधि 33.1 (दो बुनियादी रचनाएँ)

$A$ से होकर $d$ पर लंब: समकोण पट्टिका को $d$ के साथ तब तक सरकाओ जब तक उसका दूसरा समकोण-किनारा $A$ तक न पहुँचे; खींच दो; समकोण अंकित करो।

$A$ से होकर $d$ के समांतर: $d$ पर रखी समकोण पट्टिका से मापपट्टी को लीक की तरह सटा दो; पट्टिका को $A$ तक सरकाओ; खींच दो। (जाँच: दोनों रेखाओं के बीच की दूरी हर जगह एक-सी है।)

उदाहरण 33.2 (रचनाओं की कड़ी)

कई आकृतियाँ इन्हीं दो चालों की कड़ियाँ हैं। $AB = 5$ cm और $BC = 3$ cm वाला आयत $ABCD$ : $[AB]$ खींचो; $A$ पर लंब; $B$ पर लंब; एक ही ओर $3$ cm पर $D$ और $C$ अंकित करो; जोड़ दो। हर कदम एक बुनियादी रचना है।

33.2 परकार से त्रिभुज

विधि 33.3 (तीन भुजाओं से त्रिभुज)

$6$ cm, $5$ cm, $4$ cm भुजाओं वाला त्रिभुज बनाने के लिए:

सबसे लंबी भुजा खींचो, $[AB]$ जिसमें $AB = 6$ cm;
केंद्र $A$ और त्रिज्या $5$ cm का चाप;
केंद्र $B$ और त्रिज्या $4$ cm का चाप;
उनका कटान-बिंदु तीसरा शीर्ष $C$ है; जोड़ दो।

परकार लंबाइयों की गारंटी देता है: पहले चाप का हर बिंदु $A$ से ठीक $5$ cm दूर है।

दो चाप, एक कटान: परकार से बना 6–5–4 का त्रिभुज। (अगर दोनों छोटी भुजाएँ मिलकर आधार से भी छोटी होतीं, तो चाप मिलते ही नहीं — इस पर और बात में।) — दो चाप, एक कटान: परकार से बना $6$ – $5$ – $4$ का त्रिभुज। (अगर दोनों छोटी भुजाएँ मिलकर आधार से भी छोटी होतीं, तो चाप मिलते ही नहीं — इस पर और बात अध्याय 51 में।)

उदाहरण 33.4 (समद्विबाहु और समबाहु मुफ़्त में)

दोनों चापों के लिए परकार का एक ही खुलाव $\Rightarrow$ समद्विबाहु त्रिभुज। खुलाव आधार के बराबर $\Rightarrow$ समबाहु। परकार नापता नहीं: वह लंबाइयाँ उतारता है, जो और भी अच्छा है।

33.3 ख़ास चतुर्भुज, रचना से

विधि 33.5 (परिवार बनाना)

आयत: समांतर रेखाओं के दो जोड़े जो समकोण पर काटें — या उदाहरण 33.2 वाली कड़ी;
वर्ग: वह आयत जिसकी चारों भुजाएँ एक ही लंबाई की हों — उसे परकार से उतार लो;
समचतुर्भुज: चारों भुजाएँ बराबर — एक भुजा खींचो, फिर उसके दोनों सिरों से एक ही खुलाव के दो चाप बाक़ी दोनों शीर्ष तय कर देते हैं (समचतुर्भुज एक विकर्ण पर जुड़े दो समद्विबाहु त्रिभुज ही है)।

बनाने के बाद हमेशा औज़ारों से जाँचो: कोनों पर समकोण पट्टिका, भुजाओं पर परकार।

उदाहरण 33.6 (वर्णन से पहचानना)

“चार-चार cm की चारों भुजाओं और एक समकोण वाला चतुर्भुज” — इसे बनाओ: चारों बराबर भुजाएँ आकार को समचतुर्भुज बना देती हैं, और एक कोने को समकोण बनाते ही बाक़ी सब सीधे हो जाते हैं: नतीजा एक वर्ग है। कुछ वर्णन चुपके से उससे भी ख़ास आकार बता देते हैं जितना वे बोलते हैं। (समकोण चारों कोनों तक क्यों फैल जाता है, यह अध्याय 52 में समझाया गया है।)

33.4 रचनाओं में वृत्त

उदाहरण 33.7 (औज़ार के रूप में वृत्त)

“ $A$ से $3$ cm दूर के सारे बिंदु ढूँढ़ो”: केंद्र $A$ और त्रिज्या $3$ cm का वृत्त। “ $A$ से $3$ cm और $B$ से $4$ cm दूर के सारे बिंदु ढूँढ़ो”: दोनों वृत्त बनाओ; उनके कटान (दो, एक या शून्य बिंदु) ही उत्तर हैं। ख़ज़ाने के नक़्शे और त्रिभुजों की रचनाएँ ठीक इसी विचार पर चलती हैं।

33.5 अभ्यास

अभ्यास 33.1 ★

एक रेखा $d$ और उससे लगभग $3$ cm दूर एक बिंदु $A$ बनाओ। $A$ से होकर $d$ पर लंब बनाओ, फिर $A$ से होकर $d$ के समांतर रेखा। समकोण अंकित करो।

हल

हल — अभ्यास 33.1.

दोनों रचनाएँ विधि 33.1 के अनुसार हैं; $A$ से होकर बनी लंब और समांतर रेखाएँ ख़ुद भी एक-दूसरे पर लंब हैं।

अभ्यास 33.2 ★

$AB = 7$ cm और $BC = 4$ cm वाला आयत $ABCD$ बनाओ, उदाहरण 33.2 के अनुसार। चौथे कोण को समकोण पट्टिका से जाँचो: रचना ठीक हो तो वह अपने-आप समकोण निकलेगा।

हल

हल — अभ्यास 33.2.

उदाहरण 33.2 की तरह लंबों की कड़ी। बनाए गए तीनों कोण ठीक समकोण हों और लंबाइयाँ ठीक हों, तो चौथे कोण के पास समकोण होने के सिवा कोई चारा नहीं — ठीक बना आयत अपनी जाँच ख़ुद कर लेता है।

अभ्यास 33.3 ★

$7$ cm, $6$ cm और $3$ cm भुजाओं वाला त्रिभुज बनाओ (विधि 33.3)।

हल

हल — अभ्यास 33.3.

$7$ cm का आधार $[AB]$ ; $6$ cm ( $A$ से) और $3$ cm ( $B$ से) त्रिज्या के चाप; कटान-बिंदु $C$ है।

अभ्यास 33.4 ★

$5$ cm आधार और $7$ - $7$ cm बराबर भुजाओं वाला समद्विबाहु त्रिभुज बनाओ; फिर $6$ cm भुजा वाला समबाहु त्रिभुज।

हल

हल — अभ्यास 33.4.

समद्विबाहु: आधार $5$ cm, दोनों चाप एक ही $7$ cm खुलाव के। समबाहु: आधार $6$ cm, दोनों चाप $6$ cm खुलाव के।

अभ्यास 33.5 ★

$5$ cm भुजा वाला वर्ग बनाओ। कौन-से औज़ार समकोणों की गारंटी देते हैं? कौन-से बराबर भुजाओं की?

हल

हल — अभ्यास 33.5.

समकोण पट्टिका समकोणों की गारंटी देती है; परकार (या मापपट्टी) $5$ cm की भुजा चारों भुजाओं तक पहुँचा देता है।

अभ्यास 33.6 ★

$4$ cm भुजा वाला ऐसा समचतुर्भुज बनाओ जो वर्ग न हो (पहले कोने के लिए अपनी पसंद का खुलाव चुनो)। परकार से चारों भुजाएँ जाँचो।

हल

हल — अभ्यास 33.6.

$4$ cm की एक भुजा $[AB]$ खींचो, $[AD]$ के लिए कोई दिशा चुनो (लंब नहीं, ताकि वर्ग न बने), $AD = 4$ cm; फिर $B$ और $D$ से $4$ cm के चाप $C$ पर काटते हैं। परकार चारों बराबर भुजाओं की पुष्टि कर देता है।

अभ्यास 33.7 ★

$AB = 5$ cm वाले दो बिंदु $A$ और $B$ बनाओ। वे सारे बिंदु बनाओ जो $A$ से $4$ cm और $B$ से $3$ cm दूर हों। वे कितने हैं?

हल

हल — अभ्यास 33.7.

केंद्र $A$ , त्रिज्या $4$ cm वाला वृत्त और केंद्र $B$ , त्रिज्या $3$ cm वाला वृत्त दो बिंदुओं पर काटते हैं (एक ऊपर, एक रेखा $(AB)$ के नीचे), क्योंकि $4 + 3 > 5$ और वृत्त एक-दूसरे में घुसते हैं।

अभ्यास 33.8 ★

एक रचना का कार्यक्रम लिखो (क्रम से कदम, नाम वाले बिंदु): $6$ cm $\times$ $2$ cm के आयत के ऊपर $4$ - $4$ cm बराबर भुजाओं वाला समद्विबाहु त्रिभुज (पेंसिल जैसी आकृति)। किसी सहपाठी से उसे करवाओ।

हल

हल — अभ्यास 33.8.

एक सही कार्यक्रम: “1. $AB = 6$ cm (नीचे) और $BC = 2$ cm वाला आयत $ABCD$ बनाओ। 2. $D$ और $C$ (ऊपर के कोने) को केंद्र मानकर $4$ cm त्रिज्या के दो चाप खींचो; आयत के ऊपर उनके कटान का नाम $S$ रखो। 3. $[DS]$ और $[CS]$ खींचो।” (पेंसिल की नोक समद्विबाहु त्रिभुज $DSC$ है।)

अभ्यास 33.9 ★★

$8$ cm, $3$ cm और $4$ cm भुजाओं वाला त्रिभुज बनाने की कोशिश करो। चापों के साथ क्या होता है? एक वाक्य में समझाओ कि यह त्रिभुज क्यों नहीं हो सकता।

हल

हल — अभ्यास 33.9.

$8$ cm आधार के दोनों सिरों से खींचे गए $3$ cm और $4$ cm त्रिज्या के चाप कभी नहीं मिलते: सिरे से सिरे तक भी $3 + 4 = 7$ cm, $8$ cm में नहीं फैल सकते। दो भुजाएँ मिलकर हमेशा तीसरी से लंबी होनी चाहिए — नहीं तो त्रिभुज बंद ही नहीं होगा।

अभ्यास 33.10 ★★

ऐसा समचतुर्भुज बनाओ जिसके विकर्ण $6$ cm और $4$ cm के हों, यह जानते हुए कि समचतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को उनके बीचों-बीच समकोण पर काटते हैं: पहले विकर्ण खींचो, फिर उनके चारों सिरे जोड़ दो।

हल

हल — अभ्यास 33.10.

$6$ cm का एक रेखाखंड और उसका मध्यबिंदु $O$ खींचो; $O$ पर लंब खींचो; उस पर $O$ से $2$ cm दूर दो बिंदु अंकित करो (हर ओर एक); चारों सिरों को क्रम से जोड़ दो। परकार चारों बराबर भुजाओं की पुष्टि कर देता है।

अभ्यास 33.11 ★★

एक बकरी $4$ m की रस्सी से खूँटे $A$ से बँधी है, और समतल मैदान में $A$ से $3$ m दूर एक सीधी बाड़ है। नक़्शा बनाओ (हर मीटर के लिए 1 cm): बकरी किस इलाक़े तक पहुँच सकती है? बाड़ उसे कहाँ रोकती है?

हल

हल — अभ्यास 33.11.

नक़्शे पर बकरी केंद्र $A$ और त्रिज्या $4$ cm वाले वृत्तखंड तक पहुँचती है, जिसे $A$ से $3$ cm दूर की बाड़-रेखा काट देती है: उसका इलाक़ा वह वृत्तखंड है, बाड़ के पार वाली फाँक घटाकर। बाड़ के साथ-साथ वह एक टुकड़े पर चर सकती है (जहाँ वृत्त बाड़-रेखा को काटता है); उसके पार कुछ नहीं।