प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9
26रेखाएँ और बहुभुज
मापपट्टी, समकोण पट्टिका और परकार के साथ ज्यामिति एक हुनर बन जाती है। यह अध्याय रेखाओं की दो ख़ास स्थितियाँ — लंब और समांतर — औज़ारों के स्तर पर सिखाता है, और बहुभुजों के परिवार की सैर कराता है। (इन धारणाओं का सिद्धांत अध्याय 40 में आता है।)
26.1 लंब और समांतर
परिभाषा 26.1 (लंब, समांतर)
दो रेखाएँ लंब तब होती हैं जब वे समकोण पर काटती हैं (समकोण पट्टिका से जाँची जाती हैं, छोटे वर्ग से अंकित)। दो रेखाएँ समांतर तब होती हैं जब वे एक ही दिशा में चलती हैं और कभी नहीं काटतीं — पटरी की दो लीकों की तरह, जो हमेशा एक-दूसरे से एक ही दूरी पर हों।
विधि 26.2 (समकोण पट्टिका से बनाना)
रेखा पर बिंदु से होकर लंब: समकोण का एक किनारा पर रखो, तब तक सरकाओ जब तक दूसरा किनारा तक न पहुँचे, फिर खींच दो।
से होकर के समांतर: पट्टिका का किनारा पर रखो, दूसरे किनारे से मापपट्टी को लीक की तरह सटा दो, पट्टिका को मापपट्टी के साथ तक सरकाओ, फिर खींच दो।
उदाहरण 26.3 (आकृतियों में इन्हें पहचानना)
आयत में हर भुजा अपनी दोनों पड़ोसी भुजाओं पर लंब है और सामने वाली भुजा के समांतर। जाल वाला काग़ज़ समांतर और लंब रेखाओं का बना-बनाया जाल है — इसीलिए उस पर बनाना इतना आरामदेह लगता है।
26.2 बहुभुज
परिभाषा 26.4 (बहुभुज)
बहुभुज एक बंद आकृति है जिसकी सीमा सीधे रेखाखंडों से बनी होती है, ये उसकी भुजाएँ हैं; कोनों के बिंदु शीर्ष कहलाते हैं। बहुभुजों के नाम उनकी भुजाओं की संख्या से रखे जाते हैं: त्रिभुज (), चतुर्भुज (), पंचभुज (), षट्भुज (), अष्टभुज ()।
उदाहरण 26.5 (बहुभुज का वर्णन)
एक काम का खेल: किसी आकृति का इतना ठीक-ठीक वर्णन करो कि सहपाठी उसे देखे बिना दोबारा बना सके। “एक चतुर्भुज जिसमें cm, पर समकोण, cm …” — संदेश शब्दावली के भरोसे ही चलता है।
26.3 वृत्त और परकार
परिभाषा 26.6 (वृत्त)
केंद्र और त्रिज्या cm वाला वृत्त उन सारे बिंदुओं से बनता है जो से ठीक cm दूर हैं। परकार उसे खींचता है: नोक पर, खुलाव cm, और घुमा दो। व्यास वह रेखाखंड है जो केंद्र से होकर वृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ता है; वह त्रिज्या से दुगुना नापता है।
उदाहरण 26.7 (परकार, दूरी सँभालने वाला औज़ार)
परकार वृत्त खींचने से कहीं ज़्यादा करता है: वह दूरियाँ ढोता है। किसी बिंदु से cm दूर के सारे बिंदु अंकित करने हों तो केंद्र और त्रिज्या cm का वृत्त खींच दो; बिना मापपट्टी के दो रेखाखंडों की तुलना करनी हो तो परकार को एक पर खोलो और दूसरे पर आज़मा लो।
विधि 26.8 (जाल पर आकृति दोबारा बनाना)
- शुरू का एक शीर्ष चुनो और ख़ाली जाल पर उसकी जगह तय करो;
- आकृति पर शीर्ष-दर-शीर्ष चलो, जाल के कदम गिनते हुए (“ दाईं ओर, ऊपर”);
- शीर्षों को उसी क्रम में जोड़ो, और नमूने से मिलाओ: वही लंबाइयाँ, वही दिशाएँ।
26.4 अभ्यास
अभ्यास 26.1 ★
एक रेखा और उससे बाहर एक बिंदु बनाओ। से होकर पर लंब बनाओ, फिर से होकर के समांतर रेखा (मापपट्टी-लीक वाले तरीक़े से)। समकोण अंकित करो।
अभ्यास 26.2 ★
बड़े अक्षर E, H, N, T, Z देखो। हर एक में समांतर लकीरों का एक जोड़ा और लंब लकीरों का एक जोड़ा ढूँढ़ो, जहाँ वे हों।
अभ्यास 26.3 ★
हर बहुभुज का नाम बताओ: भुजाएँ; भुजाएँ; भुजाएँ; भुजाएँ; भुजाएँ। हर एक के कितने शीर्ष होते हैं?
अभ्यास 26.4 ★
कोई भी पंचभुज बनाओ (ज़रूरी नहीं कि सम हो) और उसके शीर्षों के नाम , , , , रखो। उसकी कितनी भुजाएँ हैं? से उसके विकर्ण खींचो ( को उन शीर्षों से जोड़ने वाले रेखाखंड जो पड़ोसी नहीं हैं): वे कितने हैं?
अभ्यास 26.5 ★
केंद्र और त्रिज्या cm का वृत्त बनाओ; एक व्यास ; और वृत्त का एक बिंदु जो पर न हो। बिना नापे , और की लंबाइयाँ बताओ।
अभ्यास 26.6 ★
परकार को दूरी सँभालने वाले औज़ार की तरह इस्तेमाल करके (उदाहरण 26.7) किसी सहपाठी के बनाए त्रिभुज की भुजाओं की तुलना करो और तय करो कि उसकी दो भुजाएँ बराबर हैं या नहीं।
हल
हल — अभ्यास 26.6.
परकार को एक भुजा पर खोलो, फिर वही खुलाव बाक़ी दोनों भुजाओं पर ले जाओ: अगर नोक और पेंसिल के बीच की दूरी किसी दूसरी भुजा पर ठीक बैठ जाए, तो वे दोनों भुजाएँ बराबर हैं।
अभ्यास 26.7 ★
जाल वाले काग़ज़ पर यह रास्ता दोबारा बनाओ और उसे बंद करके बहुभुज बनाओ: बिंदु से शुरू करो; दाईं ओर; ऊपर; बाईं ओर; ऊपर; फिर सीधी रेखा में पर वापस। जो बहुभुज बनता है उसका नाम क्या है (भुजाएँ गिनो)?
अभ्यास 26.8 ★
सही या ग़लत? चित्र से समझाओ। “दो लंब रेखाएँ हमेशा काटती हैं।” “दो समांतर रेखाएँ कभी नहीं काटतीं।” “कोई रेखा एक रेखा के समांतर और दूसरी पर लंब हो सकती है।”
हल
हल — अभ्यास 26.8.
“लंब रेखाएँ हमेशा काटती हैं”: सही — वे उसी समकोण पर काटती हैं।
“समांतर रेखाएँ कभी नहीं काटतीं”: सही — यही उनकी परिभाषा है।
“कोई रेखा एक रेखा के समांतर और दूसरी पर लंब हो सकती है”: सही — जाल वाले काग़ज़ पर आड़ी रेखा हर आड़ी रेखा के समांतर और हर खड़ी रेखा पर लंब है।
अभ्यास 26.9 ★★
एक रेखा बनाओ, फिर पर लंब रेखा , फिर पर लंब रेखा । और को देखो: क्या दिखाई देता है? (यह अवलोकन अध्याय 40 में प्रमेय बन जाता है।)
हल
हल — अभ्यास 26.9.
रेखाएँ और समांतर दिखती हैं — और वे हमेशा होती भी हैं: एक ही रेखा पर लंब दो रेखाएँ समांतर होती हैं (प्रतिज्ञप्ति 40.3 इसे पक्का करती है)।
अभ्यास 26.10 ★★
नीचे बताई आकृति को दिखाए बिना सहपाठी के लिए शब्दों में बताओ: cm भुजा वाला वर्ग, और उसके बीच में केंद्रित cm त्रिज्या का वृत्त (जो चारों भुजाओं को छूता है)। वर्णन को क्रम से लिखे निर्देशों के रूप में लिखो।
हल
हल — अभ्यास 26.10.
एक सही कार्यक्रम: “1. cm भुजा वाला वर्ग बनाओ। 2. वह बिंदु अंकित करो जहाँ उसके विकर्ण काटते हैं। 3. केंद्र और त्रिज्या cm का वृत्त बनाओ।” वृत्त हर भुजा को उसके बीच में छूता है।
अभ्यास 26.11 ★★
चतुर्भुज के कितने विकर्ण होते हैं? पंचभुज के? षट्भुज के? तीनों बनाओ, ध्यान से गिनो, और जो प्रतिरूप दिखे उसे बताओ।