प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9
31संख्या के रूप में भिन्नें
भिन्न सिर्फ़ किसी पाई का चित्र नहीं है: वह सचमुच की एक संख्या है, जिसका संख्या रेखा पर अपना स्थान है — कभी-कभी ठीक वही स्थान जो किसी दशमलव संख्या का है। यह अध्याय दोनों दुनियाएँ जोड़ता है। (भिन्नों की गणित के पूरे नियम अध्याय 39 और उसके आगे आते हैं।)
31.1 रेखा पर भिन्नें, फिर से
उदाहरण 31.1 (रखना और पढ़ना)
पाँचवें भागों में कटी रेखा पर , से कदम पर है: के आगे (जो है), पर। हर भिन्न रेखा पर कहीं न कहीं रहती है; हर वही हो तो बड़ा अंश यानी और दाईं ओर।
प्रतिज्ञप्ति 31.2 (एक ही बिंदु, कई नाम)
हर हिस्से को दो में (या तीन में …) काट देने से बिंदु नहीं हिलता:
अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा (या भाग) करने पर उसी भिन्न का दूसरा नाम मिल जाता है।
उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎
31.2 भिन्नें और दशमलव संख्याएँ
प्रतिज्ञप्ति 31.3 (दशमलव नाम वाली भिन्नें)
दसवें, सौवें और हज़ारवें भागों की भिन्नें दशमलव संख्याएँ हैं ही:
कुछ और भिन्नों के भी दशमलव नाम होते हैं, जो दसवें या सौवें भागों में बदलकर मिल जाते हैं:
पर सबके नहीं: कभी ख़त्म नहीं होता — भिन्न ही उसका इकलौता ठीक नाम है।
उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎
उदाहरण 31.4 (जो नाम आसान पड़े, वही चुनो)
के तीन चौथाई देने हों: भिन्न वाला नाम आसान है, का , है। और की तुलना करनी हो: दशमलव नाम आसान है, । दोनों भाषाएँ आने का यही फ़ायदा है।
31.3 भिन्नों की तुलना
विधि 31.5 (तुलना के तीन औज़ार)
- हर एक जैसा: जिसमें ज़्यादा हिस्से, वही बड़ी, ;
- अंश एक जैसा: जिसके हिस्से बड़े, वही बड़ी, यानी छोटा हर जीतता है: (पाँचवें भाग आठवें भागों से बड़े होते हैं);
- ठिकाने: हर एक की तुलना या से करो: , इसलिए ।
उदाहरण 31.6
पिज़्ज़ा किसने ज़्यादा खाया: अली ने या बिया ने ? बिया की भिन्न से बड़ी है (पाँच चौथाई एक पूरे पिज़्ज़े से ज़्यादा हैं), अली की से छोटी: बिया ने ज़्यादा खाया — असल में एक पूरे पिज़्ज़े से भी ज़्यादा।
31.4 अभ्यास
अभ्यास 31.1 ★
से तक पाँचवें भागों में कटी संख्या रेखा बनाओ, और रखो: ; ; ; ।
हल
हल — अभ्यास 31.1.
: से दो कदम; : पर; : से तीन कदम आगे; : पर।
अभ्यास 31.2 ★
बराबर नाम पूरे करो: ; ; ; ।
हल
हल — अभ्यास 31.2.
; ; ; ।
अभ्यास 31.3 ★
कौन-सी भिन्नें पूर्ण संख्याओं के नाम हैं? जहाँ हों, वह पूर्ण संख्या बताओ: ; ; ; ।
हल
हल — अभ्यास 31.3.
; पूर्ण नहीं है (, का गुणज नहीं); ; ।
अभ्यास 31.4 ★
दशमलव के रूप में लिखो: ; ; ; ; ।
हल
हल — अभ्यास 31.4.
; ; ; ; ।
अभ्यास 31.5 ★
भिन्न के रूप में लिखो (दसवें या सौवें भाग): ; ; ; (फिर उसका चौथाई वाला नाम बताओ)।
हल
हल — अभ्यास 31.5.
; ; ; ।
अभ्यास 31.6 ★
तुलना करो, और बताओ कौन-सा औज़ार लगाया (विधि 31.5):
हल
हल — अभ्यास 31.6.
(हर एक जैसा)। (अंश एक जैसा: पाँचवें भाग बड़े होते हैं)। , इसलिए (ठिकाना )। (ठिकाना )।
अभ्यास 31.7 ★
दशमलव नामों से क्रम में लगाओ: ; ; ; ; ।
हल
हल — अभ्यास 31.7.
दशमलव: ; ; ; ; । क्रम:
अभ्यास 31.8 ★
विद्यार्थियों की कक्षा में एक चौथाई कोई वाद्य बजाते हैं, और आधे कोई खेल खेलते हैं। हर समूह में कितने विद्यार्थी हैं? कौन-सा समूह बड़ा है?
हल
हल — अभ्यास 31.8.
वाद्य: का । खेल: का । खेल वाला समूह बड़ा है।
अभ्यास 31.9 ★
हर भिन्न को एक समय से मिलाओ: घंटा, घंटा, घंटा, घंटा — और मिनट, मिनट, मिनट, मिनट।
हल
हल — अभ्यास 31.9.
घंटा मिनट; घंटा मिनट; घंटा मिनट; घंटा मिनट।
अभ्यास 31.10 ★★
टॉम ने अपनी cL की बोतल का पिया; अना ने अपनी cL की बोतल का । किसने ज़्यादा पिया? (दोनों मात्राएँ cL में निकालो — यहाँ केवल भिन्नों की तुलना काफ़ी नहीं, और बताओ क्यों।)
हल
हल — अभ्यास 31.10.
टॉम: का cL। अना: का cL। दोनों ने बराबर पिया! सिर्फ़ भिन्नें () अलग-अलग बोतलों के हिस्सों की तुलना करती हैं — तुलना तो असली मात्राओं की ही हो सकती है।
अभ्यास 31.11 ★★
और के ठीक बीच की कोई भिन्न बताओ; फिर और के ठीक बीच की एक। (दशमलव नाम मदद कर सकते हैं।)
हल
हल — अभ्यास 31.11.
और के बीच: जैसे (यानी )। और के बीच: जैसे ।