53क्षेत्रफल और आयतन

समस्या 53.1

सप्ताहांत समस्या — वह मशहूर “प्रमाण” कि $64 = 65$, जिसका भेद क्षेत्रफल और ढलान खोल देते हैं, और मिठाई में पिज़्ज़े तथा छल्ले

एक जादूगर $8 \times 8$ के वर्ग को चार टुकड़ों में काटता है, उन्हें इधर-उधर सरकाता है, और उन्हीं से $5 \times 13$ का आयत जोड़ देता है। दर्शक गिनते हैं: $8 \times 8 = 64$, पर $5 \times 13 = 65$ — एक वर्ग इकाई हवा में से पैदा हो गई! इसी अध्याय के क्षेत्रफल-सूत्र ठीक वे औज़ार हैं जो इस चाल को पकड़ लेते हैं। फिर यह समस्या ईमानदार क्षेत्रफल-तर्क को काम पर लगाती है: समलंबों पर, तिरछी ढेरियों पर, पिज़्ज़े के हिसाब-किताब पर — और आख़िर में जादूगर के पास लौटती है, एक और भी अजीब खेल के लिए।

भाग I — चाल, दिखाई भी और खोली भी। $8 \times 8$ वाले वर्ग के चारों टुकड़े ये हैं: $8$ और $3$ की समकोण-भुजाओं वाले दो समकोण त्रिभुज, और $5$ तथा $3$ की समांतर भुजाओं और $5$ ऊँचाई वाले दो समकोण समलंब।

1. असली वर्ग का क्षेत्रफल और बताए गए आयत का क्षेत्रफल निकालो। एक पंक्ति में गड़बड़ी बताओ।
2. चारों टुकड़ों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल निकालो (प्रमेय 53.3; समलंबों के लिए उन्हें काट लो या अभ्यास 53.9 इस्तेमाल करो)।
3. चारों क्षेत्रफल जोड़ो। दोनों आकृतियों में से — वर्ग या आयत — टुकड़े सचमुच कौन-सी भर सकते हैं?
4. आयत वाली सजावट में एक त्रिभुज का कर्ण ($8$ चलकर $3$ चढ़ता हुआ) किसी समलंब की तिरछी किनार ($5$ चलकर $2$ चढ़ती हुई) को एक ही सीधे “विकर्ण” में आगे बढ़ाता हुआ माना जाता है। इस जोड़ को जाँचो: क्या $8$ में $3$ और $5$ में $2$ एक ही ढलान हैं (प्रमेय 49.3)?
5. बताओ पैंसठवाँ वर्ग कहाँ छिपा है: उस झूठे विकर्ण के साथ बनी ख़ाली जगह की शक्ल क्या है, उसका ठीक-ठीक क्षेत्रफल क्या है, और आँख उसे क्यों नहीं पकड़ पाती? (उतने क्षेत्रफल की एक झिरी आयत के क़रीब $13$ इकाई लंबे विकर्ण पर फैलाई जाए तो औसतन कितनी चौड़ी होगी?)

भाग II — ईमानदार क्षेत्रफल-तर्क।

6. $4$ cm की दूरी पर दो समांतर रेखाएँ खींचो, उनमें से एक पर $6$ cm का आधार लो, और उसी आधार पर तीन अलग-अलग त्रिभुज बनाओ जिनके शिखर दूसरी रेखा के अलग-अलग बिंदुओं पर हों। तीनों क्षेत्रफल निकालो। शिखर अपनी रेखा पर चाहे जहाँ सरके, तीनों बराबर क्यों रहते हैं?

7. समलंब का सूत्र आम तौर पर सिद्ध करो: $B$ और $b$ समांतर भुजाओं तथा $h$ ऊँचाई वाला समलंब, एक विकर्ण के साथ काटने पर, एक ही ऊँचाई $h$ वाले दो त्रिभुज देता है। नतीजा निकालो:

   $$A = \frac{(B + b) \times h}{2} .$$
8. इसे $B = 9$ cm, $b = 5$ cm, $h = 4$ cm वाले समलंब पर लगाओ।
9. बढ़ई यही सूत्र भेस बदलकर इस्तेमाल करते हैं: क्षेत्रफल $=$ (दोनों समांतर भुजाओं का औसत) $\times$ ऊँचाई। समझाओ कि यह वही नियम क्यों है, और सवाल 8 को इसी तरह दोबारा निकालो।
10. ताश के पत्तों की सीधी ढेरी को तिरछा कर दो। समझाओ कि आयतन क्यों नहीं बदला, और इससे प्रिज़्म के सूत्र $V = B \times h$ (प्रमेय 53.8) की ऊँचाई के बारे में क्या पता चलता है: तिरछी ढेरी के लिए कौन-सी ऊँचाई लेनी होगी — तिरछी लंबाई या खड़ी वाली? (एक विमा ऊपर, अभ्यास 53.2 से तुलना करो।)

भाग III — छल्ले, पिज़्ज़े, और जादूगर की वापसी।

11. $3$ m त्रिज्या वाला एक गोल तालाब $5$ m त्रिज्या वाले एक गोल लॉन के बीचोंबीच है। घास के छल्ले का क्षेत्रफल निकालो ($\pi$ के साथ ठीक मान, फिर m$^2$ तक गोल)।
12. उस अकेले चक्र की त्रिज्या निकालो जिसका क्षेत्रफल ठीक उसी छल्ले के क्षेत्रफल के बराबर हो। (अब तुम्हारे पास जो तीन त्रिज्याएँ हैं वे एक मशहूर तिकड़ी बनाती हैं, जिसकी कहानी अध्याय 58 में है।)
13. ज़्यादा पिज़्ज़ा कौन-सा है: $40$ cm व्यास वाला एक पिज़्ज़ा, या $28$ cm व्यास वाले दो? निकालो और तुलो।
14. किसी पिज़्ज़े का क्षेत्रफल दुगुना करने के लिए उसकी त्रिज्या मोटे तौर पर कितने गुना बढ़नी चाहिए? उम्मीदवार $1.4$ को जाँचो (याद रखो कि क्षेत्रफल मापनी-गुणक के वर्ग के साथ बढ़ता है, समस्या 44.1), और बताओ कि ठीक-ठीक वह गुणक — वह संख्या जिसका वर्ग $2$ है — कहाँ सरकारी तौर पर आती है (उदाहरण 58.9)।
15. जादूगर लौटता है: अब वह $13 \times 13$ के वर्ग को काटता है, जिसमें $5$, $8$, $13$ वही भूमिकाएँ निभाते हैं जो पहले $3$, $5$, $8$ निभा रहे थे, और उनसे $8 \times 21$ का आयत जोड़ देता है। दोनों क्षेत्रफल निकालो: इस बार क्या ग़ायब हुआ? संख्याएँ $3, 5, 8, 13, 21$ समस्या 47.1 वाली श्रेणी के लगातार पद हैं — जादूगर के नफ़े-नुक़सान का ढर्रा बताओ, और सीख भी: क्षेत्रफल कभी झूठ क्यों नहीं बोलते?