प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · कक्षा 1–9

58पाइथागोरस प्रमेय

पूरे गणित की सबसे मशहूर प्रमेय समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाओं को आपस में जोड़ती है। उसकी मदद से ऐसी लंबाइयाँ निकल आती हैं जिन्हें कोई पैमाना सीधे नाप ही नहीं सकता: विकर्ण, दूरियाँ, ऊँचाइयाँ। और यहीं पहली बार हमारा बड़ा सामना होता है किसी प्रमेय और उसके विलोम के अंतर से।

58.1 प्रमेय

प्रमेय 58.1 (पाइथागोरस)

अगर त्रिभुज $ABC$ का $A$ पर समकोण हो, तो

BC^2 = AB^2 + AC^2 :

यानी कर्ण (समकोण के सामने वाली भुजा) का वर्ग बाक़ी दोनों भुजाओं के वर्गों के योगफल के बराबर होता है।

प्रमाण का विचार. इसी त्रिभुज की चार नक़लें, भुजा $AB + AC$ के एक बड़े वर्ग के भीतर जमाने पर, कर्ण पर बना एक तिरछा वर्ग खुला छोड़ देती हैं: क्षेत्रफलों की तुलना से यह बराबरी मिल जाती है। पूरी गणना अभ्यास 58.11 में करने को दी गई है; यह प्रमेय अदिश गुणनफल से भी निकल आती है, जो हाई-स्कूल खंड में पढ़ा जाता है। ∎

यही प्रमेय क्षेत्रफल की भाषा में: कर्ण पर बने वर्ग (25) का क्षेत्रफल ठीक बाक़ी दोनों वर्गों के जोड़ (16 + 9) जितना है। यहाँ भुजाएँ 3, 4, 5 हैं। — यही प्रमेय क्षेत्रफल की भाषा में: कर्ण पर बने वर्ग ( $25$ ) का क्षेत्रफल ठीक बाक़ी दोनों वर्गों के जोड़ ( $16 + 9$ ) जितना है। यहाँ भुजाएँ $3$ , $4$ , $5$ हैं।

विधि 58.2 (कोई लंबाई निकालना)

जिस समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ पता हों, उसमें:

कर्ण पहचानो (समकोण के सामने वाली भुजा — हमेशा सबसे लंबी);
प्रमेय 58.1 वाली बराबरी पता मानों के साथ लिखो;
जो वर्ग छूट रहा है उसे निकालो: कर्ण पता न हो तो वर्ग जोड़ो, और कोई समकोण भुजा पता न हो तो घटाओ;
वर्गमूल लो, ठीक-ठीक या कैलकुलेटर से, और जाँच लो कि कर्ण सबसे लंबा ही निकला।

उदाहरण 58.3 (कर्ण निकालना)

किसी समकोण त्रिभुज की समकोण भुजाएँ $6$ और $8$ हैं। कर्ण $c$ :

c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, \qquad c = \sqrt{100} = 10 .

(संख्या $\sqrt{100}$ , यानी $100$ का वर्गमूल, वह धन संख्या है जिसका वर्ग $100$ है; वर्गमूलों को पूरा अध्याय अध्याय 65 में मिलता है।)

उदाहरण 58.4 (कोई समकोण भुजा निकालना)

$5$ m की एक सीढ़ी दीवार से टिकी है और उसका पैर दीवार से $1.4$ m दूर है। वह जितनी ऊँचाई $h$ तक पहुँचती है: सीढ़ी ही कर्ण है, इसलिए

h^2 = 5^2 - 1.4^2 = 25 - 1.96 = 23.04, \qquad h = \sqrt{23.04} = 4.8 \text{ m}.

जोड़ो नहीं, घटाओ: यहाँ अज्ञात एक समकोण भुजा है।

58.2 विलोम

प्रमेय 58.5 (पाइथागोरस का विलोम)

अगर किसी त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $BC^2 = AB^2 + AC^2$ मानती हों, तो उस त्रिभुज का $A$ पर समकोण होता है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

विधि 58.6 (समकोण की जाँच)

किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दी हों तो:

सबसे लंबी भुजा का वर्ग, और बाक़ी दोनों के वर्गों का योगफल, अलग-अलग निकालो;
दोनों उत्तर बराबर हों तो त्रिभुज समकोण है (विलोम से), और समकोण सबसे लंबी भुजा के सामने वाले शीर्ष पर है;
अलग निकलें तो वह समकोण नहीं है — क्योंकि तब पाइथागोरस प्रमेय बराबरी पर मजबूर कर देती।

उदाहरण 58.7

भुजाएँ $5$ , $12$ , $13$ : सबसे लंबी का वर्ग, $13^2 = 169$ ; बाक़ी के वर्गों का योगफल, $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$ । बराबर: यानी समकोण त्रिभुज (समकोण भुजा $13$ के सामने)।

भुजाएँ $6$ , $7$ , $9$ : $9^2 = 81$ पर $6^2 + 7^2 = 85 \neq 81$ : यह समकोण त्रिभुज नहीं है (“लगभग” है — पर फ़ैसला संख्याएँ करती हैं, आँख नहीं)।

टिप्पणी 58.8 (प्रमेय बनाम विलोम)

प्रमेय और उसका विलोम अलग-अलग बातें कहते हैं: प्रमेय समकोण का इस्तेमाल करके लंबाइयाँ निकालती है; और विलोम लंबाइयों से समकोण सिद्ध करता है। राजमिस्त्री हज़ारों साल से विलोम इस्तेमाल करते आए हैं: $3$ , $4$ , $5$ इकाई पर गाँठ लगी रस्सी को तानकर बिलकुल सही समकोण बन जाता है।

उदाहरण 58.9 (वर्ग का विकर्ण)

भुजा $1$ के वर्ग का विकर्ण उस समकोण त्रिभुज का कर्ण है जिसकी समकोण भुजाएँ $1$ और $1$ हैं:

d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 ,

इसलिए $d = \sqrt2 \approx 1.414$ — और यह संख्या कोई भिन्न नहीं है, जैसा हाई-स्कूल खंड सिद्ध करेगा। भुजा $c$ के वर्ग के लिए विकर्ण $c\sqrt2$ होता है।

58.3 अभ्यास

अभ्यास 58.1 ★

हर समकोण त्रिभुज का कर्ण निकालो: समकोण भुजाएँ $9$ और $12$ ; समकोण भुजाएँ $5$ और $12$ ; समकोण भुजाएँ $8$ और $15$ ।

हल

हल — अभ्यास 58.1.

$\sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ ; $\sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$ ; $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ .

अभ्यास 58.2 ★

किसी समकोण त्रिभुज का कर्ण $25$ है और एक समकोण भुजा $7$ । दूसरी समकोण भुजा निकालो।

हल

हल — अभ्यास 58.2.

समकोण भुजा का वर्ग $= 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576$ , इसलिए वह भुजा $\sqrt{576} = 24$ है।

अभ्यास 58.3 ★

$12$ cm और $9$ cm भुजाओं वाले आयत का विकर्ण निकालो; और $5$ cm भुजा वाले वर्ग का विकर्ण (वर्गमूल के साथ ठीक मान, फिर mm तक गोल किया हुआ)।

हल

हल — अभ्यास 58.3.

आयत: $\sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ cm।

वर्ग: $d = 5\sqrt2 \approx 7.1$ cm (उदाहरण 58.9)।

अभ्यास 58.4 ★

कौन-कौन से त्रिभुज समकोण हैं? विधि 58.6 से कारण बताओ:

(20,\ 21,\ 29); \qquad (7,\ 8,\ 11); \qquad (1.5,\ 2,\ 2.5).

हल

हल — अभ्यास 58.4.

$(20, 21, 29)$ : $29^2 = 841$ और $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$ : समकोण।

$(7, 8, 11)$ : $121 \neq 49 + 64 = 113$ : समकोण नहीं।

$(1.5, 2, 2.5)$ : $6.25 = 2.25 + 4$ : समकोण (यह $(3,4,5)$ का आधा है)।

अभ्यास 58.5 ★

एक फाटक को एक तिरछे तख़्ते से मज़बूत किया गया है। फाटक $3$ m चौड़ा और $1.6$ m ऊँचा है: तख़्ता कितना लंबा है?

हल

हल — अभ्यास 58.5.

तख़्ता $= \sqrt{3^2 + 1.6^2} = \sqrt{9 + 2.56} = \sqrt{11.56} = 3.4$ m।

अभ्यास 58.6 ★

किसी समद्विबाहु त्रिभुज की दो भुजाएँ $10$ cm की हैं और आधार $12$ cm का। उसकी ऊँचाई उसे दो समकोण त्रिभुजों में बाँट देती है: वह ऊँचाई निकालो, फिर त्रिभुज का क्षेत्रफल।

हल

हल — अभ्यास 58.6.

ऊँचाई आधार के मध्यबिंदु पर गिरती है (समद्विबाहु त्रिभुज), इसलिए हर आधे त्रिभुज का कर्ण $10$ और एक समकोण भुजा $6$ है: $h = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ cm। क्षेत्रफल: $\frac{12 \times 8}{2} = 48$ cm $^2$ ।

अभ्यास 58.7 ★★

एक टेलीविज़न का परदा $16{:}9$ का आयत है और $88.5$ cm गुना $49.8$ cm नापता है। परदे विकर्ण के हिसाब से, इंच में, बेचे जाते हैं ( $1$ इंच $= 2.54$ cm)। विकर्ण cm में निकालो, फिर इंच में (नज़दीकी इंच तक गोल करो)।

हल

हल — अभ्यास 58.7.

विकर्ण: $\sqrt{88.5^2 + 49.8^2} = \sqrt{7832.25 + 2480.04} = \sqrt{10312.29} \approx 101.5$ cm। इंच में: $101.5 \div 2.54 \approx 40$ इंच।

अभ्यास 58.8 ★★

एक नाव $24$ km पूरब जाती है, फिर $10$ km उत्तर। वह अपनी शुरुआती जगह से सीधी दूरी में कितनी दूर है? पहले स्थिति का चित्र बनाओ।

हल

हल — अभ्यास 58.8.

दोनों समकोण भुजाएँ $24$ km और $10$ km हैं: $\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$ km।

अभ्यास 58.9 ★★

$2.5$ m की एक सीढ़ी को ज़मीन से $2.4$ m ऊपर वाली खिड़की की चौखट तक पहुँचना है। उसका पैर दीवार से कितनी दूर रखना पड़ेगा? क्या यह उत्तर सुरक्षा की सलाह से मेल खाता है (पैर दीवार से सीढ़ी की लंबाई के क़रीब एक चौथाई पर)?

हल

हल — अभ्यास 58.9.

पैर की दूरी: $\sqrt{2.5^2 - 2.4^2} = \sqrt{6.25 - 5.76} = \sqrt{0.49} = 0.7$ m। सीढ़ी का एक चौथाई $2.5 \div 4 \approx 0.6$ m है: मिला हुआ $0.7$ m सलाह वाली जगह के पास ही है — चल जाएगा।

अभ्यास 58.10 ★★

निर्देशांक जाल पर $A(1, 2)$ और $B(5, 5)$ लगाओ, और वह समकोण त्रिभुज बनाओ जिसकी समकोण भुजाएँ अक्षों के समांतर हों और जिसका कर्ण $[AB]$ हो। $AB$ निकालो। (किन्हीं भी दो बिंदुओं के लिए यही रचना निर्देशांक ज्यामिति का दूरी-सूत्र बन जाती है, जो हाई-स्कूल खंड में है।)

हल

हल — अभ्यास 58.10.

समकोण भुजाएँ $5 - 1 = 4$ (आड़ी) और $5 - 2 = 3$ (खड़ी) नापती हैं, इसलिए

AB = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 .

अभ्यास 58.11 ★★★

समकोण भुजाओं $a$ , $b$ और कर्ण $c$ वाले किसी समकोण त्रिभुज की चार नक़लें भुजा $a + b$ के एक वर्ग के कोनों में रखी जाती हैं, जिससे बीच में भुजा $c$ का एक तिरछा वर्ग खुला रह जाता है।

बड़े वर्ग का क्षेत्रफल दो तरह से लिखो: सीधे, और (चार त्रिभुज) $+$ (तिरछा वर्ग) के रूप में।
$(a + b)^2$ फैलाओ (देखो प्रमेय 57.1) और उससे $c^2 = a^2 + b^2$ निकालो: बस, तुमने पाइथागोरस प्रमेय सिद्ध कर दी।

हल

हल — अभ्यास 58.11.

1. सीधे: $(a + b)^2$ । टुकड़ों के रूप में: हर एक $\frac{ab}{2}$ क्षेत्रफल के चार त्रिभुज, और ऊपर से तिरछा वर्ग $c^2$ :

(a + b)^2 = 4 \times \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2 .

2. बाईं तरफ़ फैलाने पर: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ । इसलिए

a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \quad\Longrightarrow\quad a^2 + b^2 = c^2 . \qed

58.4 समस्या: पाइथागोरसी त्रिक

समस्या 58.1

सप्ताहांत समस्या — पूर्ण संख्याओं वाले समकोण त्रिभुज, और वह सर्वसमिका $(m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2$ जो उन सबको बना देती है

पाइथागोरसी त्रिक पूर्ण संख्याओं की ऐसी तिकड़ी $(a, b, c)$ है जिसके लिए

a^2 + b^2 = c^2 ,

हो, जैसे राजमिस्त्रियों वाली $(3, 4, 5)$ । मिट्टी की एक बेबीलोनी पट्टी पर, पाइथागोरस से एक हज़ार साल से भी पहले, बहुत बड़े-बड़े त्रिक दर्ज थे — उनमें $(4601,\ 4800,\ 6649)$ भी। यह समस्या पहले त्रिक ढूँढ़ती है, फिर वह मशीन बनाती है जो उन्हें उगलती रहे: सीधे अध्याय 57 से उठाई गई एक बीजगणितीय सर्वसमिका, ज्यामिति की सेवा में लगी हुई।

भाग I — त्रिकों की तलाश।

जाँचो कि $(5, 12, 13)$ , $(8, 15, 17)$ और $(20, 21, 29)$ पाइथागोरसी त्रिक हैं। इन भुजाओं वाले त्रिभुजों के बारे में प्रमेय 58.5 क्या कहती है?
समझाओ कि बारह बराबर रेखाखंडों वाली तनी हुई रस्सी को $3$ , $4$ और $5$ रेखाखंडों की भुजाओं वाला त्रिभुज बनाकर रखने से राजमिस्त्रियों को बिलकुल सही समकोण क्यों मिल जाता है।
दिखाओ कि अगर $(a, b, c)$ पाइथागोरसी त्रिक है तो प्रत्येक पूर्ण संख्या $k \geq 1$ के लिए $(ka, kb, kc)$ भी है। इससे $(3, 4, 5)$ से तीन नए त्रिक निकालो।
$(3, 4, 5)$ के गुणज त्रिक $(3k, 4k, 5k)$ हैं। दिखाओ कि $(5, 12, 13)$ उनमें से नहीं है।
समझाओ कि सवाल 3 और 4 मिलकर क्यों सिद्ध कर देते हैं कि $(3, 4, 5)$ को बढ़ाते जाने से हर पाइथागोरसी त्रिक कभी नहीं बन सकता: कोई और मशीन चाहिए।

भाग II — मशीन। दो पूर्ण संख्याएँ $m > n \geq 1$ लो और ये तीन संख्याएँ बनाओ

a = m^2 - n^2, \qquad b = 2mn, \qquad c = m^2 + n^2 .

समस्या 57.1 की उल्लेखनीय सर्वसमिकाओं से ( $A = m^2$ और $B = n^2$ लिखकर) $a^2$ तथा $b^2$ फैलाओ, और सिद्ध करो कि

$\left(m^2 - n^2\right)^2 + (2mn)^2 = \left(m^2 + n^2\right)^2 :$

यानी यह मशीन हमेशा एक पाइथागोरसी त्रिक ही उगलती है।
मशीन को $(m, n) = (2, 1)$ , $(3, 1)$ , $(3, 2)$ , $(4, 1)$ और $(4, 3)$ पर चलाओ, और पाँचों त्रिक एक सारणी में दिखाओ।
तुम्हारी सारणी का एक त्रिक किसी छोटे त्रिक का बढ़ा हुआ रूप है। कौन-सा, और किसका?
वह $(m, n)$ ढूँढ़ो जिस पर मशीन सवाल 1 वाला त्रिक $(20, 21, 29)$ उगले (समकोण भुजाएँ किसी भी क्रम में)।
ऐसे $m$ और $n$ ढूँढ़ो जिनके लिए $m^2 + n^2 = 100$ हो, और उससे वह पाइथागोरसी त्रिक निकालो जिसका कर्ण $100$ है।

भाग III — कुनबे, और सम-विषम वाला अंतिम दाँव।

मशीन को $m = n + 1$ पर चलाओ। दिखाओ कि विषम समकोण भुजा $2n + 1$ है, सम समकोण भुजा $2n^2 + 2n$ , और कर्ण $2n^2 + 2n + 1$ — यानी कर्ण और सम समकोण भुजा में ठीक $1$ का फ़र्क़ है। $n = 1, 2, 3, 4$ के त्रिक लिखो।
इससे निकालो कि $3, 5, 7, 9, \dots$ में से हर विषम संख्या किसी न किसी पूर्ण-संख्या वाले समकोण त्रिभुज की भुजा है, और $11$ वाला एक त्रिक बताओ।
सम संख्याएँ भी चलती हैं: मशीन को $n = 1$ पर चलाओ और $14$ वाला एक त्रिक बनाओ। फिर वही त्रिक दूसरी बार पाओ, सवाल 7 की सारणी वाले किसी त्रिक को बढ़ाकर।
दिखाओ कि किसी सम संख्या का वर्ग सम होता है और किसी विषम संख्या का वर्ग विषम। (संख्या को $2k$ या $2k + 1$ लिखो और कोई सर्वसमिका इस्तेमाल करो।)
सम-विषम वाला अंतिम दाँव पूरा करो: ऐसा कोई पाइथागोरसी त्रिक है ही नहीं जिसकी तीनों संख्याएँ विषम हों — यानी पूर्ण संख्याओं वाले हर समकोण त्रिभुज में कम से कम एक भुजा सम होती है।

हल

हल — समस्या 58.1.

1. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$ ; $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$ ; $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841 = 29^2$ । तीनों त्रिक हैं, और प्रमेय 58.5 से इन भुजाओं वाला त्रिभुज समकोण होता है, और समकोण सबसे लंबी भुजा के सामने पड़ता है।

2. रस्सी से $3$ , $4$ , $5$ (रेखाखंडों में) भुजाओं वाला त्रिभुज बनता है, और $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$ : इसलिए विलोम से (प्रमेय 58.5) $3$ और $4$ रेखाखंडों वाली भुजाओं के बीच का कोण ठीक समकोण है — चाँदे की ज़रूरत नहीं, बस गाँठों की।

3. अगर $a^2 + b^2 = c^2$ हो, तो

(ka)^2 + (kb)^2 = k^2 a^2 + k^2 b^2 = k^2\left(a^2 + b^2\right) = k^2 c^2 = (kc)^2 .

$(3, 4, 5)$ से: जैसे $(6, 8, 10)$ , $(9, 12, 15)$ और $(30, 40, 50)$ ।

4. जिस गुणज $(3k, 4k, 5k)$ की सबसे छोटी संख्या $5$ हो उसके लिए $3k = 5$ चाहिए, और कोई पूर्ण संख्या $k$ ऐसा नहीं करती ( $k = 1$ से $3$ , $k = 2$ से $6$ )। इसलिए $(5, 12, 13)$ , $(3, 4, 5)$ का गुणज नहीं है।

5. सवाल 3 दिखाता है कि बढ़ाने से सिर्फ़ त्रिक $(3k, 4k, 5k)$ ही बनते हैं; और सवाल 4 एक सच्चा त्रिक सामने रखता है जो इस रूप का नहीं है। इसलिए सारे पाइथागोरसी त्रिकों का कुनबा $(3, 4, 5)$ के गुणजों से पक्के तौर पर बड़ा है: उन्हें बनाने के लिए कुछ नया चाहिए।

6. $A = m^2$ और $B = n^2$ लिखो। उल्लेखनीय सर्वसमिकाओं (समस्या 57.1) से:

a^2 = (A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2, \qquad b^2 = (2mn)^2 = 4m^2n^2 = 4AB .

जोड़ने पर:

a^2 + b^2 = A^2 - 2AB + B^2 + 4AB = A^2 + 2AB + B^2 = (A + B)^2 = \left(m^2 + n^2\right)^2 = c^2 .

$(m, n)$	$m^2 - n^2$	$2mn$	$m^2 + n^2$
$(2, 1)$	$3$	$4$	$5$
$(3, 1)$	$8$	$6$	$10$
$(3, 2)$	$5$	$12$	$13$
$(4, 1)$	$15$	$8$	$17$
$(4, 3)$	$7$	$24$	$25$

8. $(8, 6, 10)$ , $(4, 3, 5)$ का दुगुना है — यानी राजमिस्त्रियों वाले $(3, 4, 5)$ का ही। मशीन कभी-कभी किसी पुराने त्रिक को भेस बदलकर फिर से खोज लेती है।

9. हमें $m^2 - n^2 = 21$ और $2mn = 20$ चाहिए, यानी $mn = 10$ : $m = 5$ , $n = 2$ आज़माने पर $25 - 4 = 21$ और $2 \times 10 = 20$ मिलते हैं, और कर्ण $25 + 4 = 29$ । इसलिए $(m, n) = (5, 2)$ पर मशीन $(21, 20, 29)$ उगलती है।

10. $m = 8$ , $n = 6$ से $m^2 + n^2 = 64 + 36 = 100$ मिलता है। त्रिक है

\left(64 - 36,\ 2 \times 48,\ 100\right) = (28,\ 96,\ 100),

और सचमुच $28^2 + 96^2 = 784 + 9216 = 10\,000 = 100^2$ ।

11. $m = n + 1$ के साथ:

m^2 - n^2 = (n + 1)^2 - n^2 = 2n + 1

(दो लगातार वर्गों का अंतर, समस्या 57.1); $2mn = 2n(n + 1) = 2n^2 + 2n$ ; और $m^2 + n^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 = 2n^2 + 2n + 1$ । कर्ण सम समकोण भुजा से ठीक $1$ बड़ा है। $n = 1, 2, 3, 4$ के लिए:

(3, 4, 5), \quad (5, 12, 13), \quad (7, 24, 25), \quad (9, 40, 41) .

12. $3$ से बड़ी या बराबर हर विषम संख्या किसी $n \geq 1$ के लिए $2n + 1$ है, और सवाल 11 ऐसा त्रिक दे देता है जिसकी विषम समकोण भुजा ठीक $2n + 1$ हो। $11 = 2 \times 5 + 1$ के लिए $n = 5$ लो:

(11,\ 60,\ 61), \qquad 11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721 = 61^2 .

13. $n = 1$ पर मशीन $\left(m^2 - 1,\ 2m,\ m^2 + 1\right)$ देती है, जिसकी सम समकोण भुजा $2m$ है और वह $4$ से आगे की कोई भी सम संख्या हो सकती है। $14 = 2 \times 7$ के लिए $m = 7$ लो: त्रिक $(48, 14, 50)$ । वही त्रिक सवाल 7 की सारणी वाले $(7, 24, 25)$ को दुगुना करने पर भी आ जाता है: $(14, 48, 50)$ — वही तीन संख्याएँ।

14. कोई सम संख्या $2k$ होती है, और $(2k)^2 = 4k^2$ सम है ( $4$ का गुणज, यानी सम)। कोई विषम संख्या $2k + 1$ होती है, और पहली उल्लेखनीय सर्वसमिका से

(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2\left(2k^2 + 2k\right) + 1 ,

यानी एक सम संख्या और $1$ : इसलिए विषम।

15. मान लो $a$ , $b$ , $c$ तीनों विषम होते। सवाल 14 से $a^2$ और $b^2$ विषम होते, इसलिए $a^2 + b^2$ दो विषम संख्याओं का योगफल होता: सम। पर $c^2$ विषम होता। तब बराबरी $a^2 + b^2 = c^2$ असंभव है। इसलिए हर पाइथागोरसी त्रिक में तीनों में से कम से कम एक संख्या सम होती है — जैसा सवाल 7 की सारणी की हर पंक्ति बता रही है।