37पूर्ण संख्याएँ

समस्या 37.1

सप्ताहांत समस्या — दस सेकंड में $1 + 2 + 3 + \dots + 100$ जोड़ना, और त्रिभुजाकार संख्याएँ

एक मशहूर क़िस्सा: अपनी कक्षा को व्यस्त रखने के लिए एक मास्टर ने विद्यार्थियों से $1$ से $100$ तक की सारी संख्याएँ जोड़ने को कहा। एक लड़के ने लगभग तुरंत अपनी पट्टी पर $5\,050$ लिख दिया — कार्ल फ़्रीड्रिख़ गाउस, नौ साल का, जो आगे चलकर अब तक के सबसे बड़े गणितज्ञों में गिना गया। उसका राज़ चतुराई से गणना के सिवा कुछ न था (उदाहरण 37.6): पदों को ऐसे समूहों में बाँटना कि हर समूह आसान हो जाए। यह समस्या उसकी तरकीब फिर से खोजती है, उसे हर हाल में चलाने लायक़ बनाती है, और दिखाती है कि ऐसे योगफल रोज़मर्रा में कितनी बार आते हैं।

भाग I — गाउस के जोड़े।

1. $1 + 2 + 3 + 4 + 5$ को पदों के चतुर समूह बनाकर निकालो।
2. $1 + 2 + 3 + \dots + 10$ के लिए: पहले पद को आख़िरी से जोड़ो ($1 + 10$), दूसरे को अंत से दूसरे के साथ ($2 + 9$), और ऐसे ही आगे। हर जोड़ा कितने का है? जोड़े कितने हैं? गणना पूरी करो।
3. $1 + 2 + \dots + 20$ के लिए वही तरीक़ा: हर जोड़ा कितने का, जोड़े कितने, कुल कितना?
4. अब मास्टर वाला योगफल, $1 + 2 + \dots + 100$: समझाओ कि जोड़े $1 + 100$, $2 + 99$, $3 + 98, \dots$ सब एक ही मान के क्यों हैं, और वे ठीक $50$ ही क्यों हैं, जिनमें आख़िरी $50 + 51$ है।
5. गाउस का उत्तर एक ही गुणा के रूप में लिखो, और उसे निकालो।

भाग II — वह तरकीब जो कभी नहीं चूकती।

6. $1 + 2 + \dots + 9$ पर जोड़े बनाकर देखो: इस बार एक संख्या बिना जोड़ीदार रह जाती है। कौन-सी? उसके इर्द-गिर्द जोड़े बनाकर योगफल निकालो।

7. यहाँ उस तरकीब का एक रूप है जो पदों की संख्या सम हो या विषम, दोनों में चलता है: योगफल को दो बार लिखो, एक बार आगे से और एक बार पीछे से, एक पंक्ति के नीचे दूसरी,

   $$\begin{array}{ccccccc} 1 & + & 2 & + & \dots & + & 9 \\ 9 & + & 8 & + & \dots & + & 1 \end{array}$$

   और स्तंभ-दर-स्तंभ जोड़ो। हर स्तंभ कितने का है? स्तंभ कितने हैं? समझाओ कि दोनों पंक्तियों का योगफल $9 \times 10 = 90$ क्यों है, और निष्कर्ष निकालो कि $1 + 2 + \dots + 9 = 45$ — वही उत्तर जो प्रश्न 6 में था।

8. दो पंक्तियों वाली तरकीब से $1 + 2 + \dots + 50$ निकालो, फिर $1 + 2 + \dots + 200$।
9. पहली सौ सम संख्याओं का योगफल निकालो, $2 + 4 + 6 + \dots + 200$। (हर पद की तुलना गाउस के योगफल के पद से करो: नए जोड़े बनाने की ज़रूरत नहीं।)
10. $101 + 102 + \dots + 200$ निकालो, दो जाने-पहचाने योगफलों और एक घटाव की मदद से।

भाग III — त्रिभुजाकार संख्याएँ हर जगह। योगफलों $1 + 2 + \dots + n$ के कुल $1$, $3$, $6$, $10$, $15, \dots$ त्रिभुजाकार संख्याएँ कहलाते हैं, क्योंकि वे त्रिभुज में जमी हुई वस्तुएँ गिनते हैं।

11. आठ दोस्त मिलते हैं, और हर एक बाक़ी हर एक से ठीक एक बार हाथ मिलाता है। समझाओ कि हाथ मिलाने की संख्या $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1$ क्यों है, और उसे निकालो।
12. एक दुकानदार टिनों का त्रिभुजाकार पिरामिड बनाती है: सबसे नीचे की पंक्ति में $12$ टिन, अगली में $11$, और ऐसे ही ऊपर एक अकेले टिन तक। उसे कितने टिन चाहिए? (प्रश्न 7 की तरकीब लगाओ।)
13. योगफल $1 + 2 + 3 + 4$ को वर्गों की सीढ़ी की तरह बनाओ: पहले स्तंभ में एक वर्ग, दूसरे में दो, तीसरे में तीन, चौथे में चार। अपने चित्र पर दिखाओ कि ऐसी दो सीढ़ियाँ, जिनमें एक उलटी रखी हो, ठीक-ठीक $5$-$5$ वर्गों की $4$ पंक्तियों वाले आयत में बैठ जाती हैं — और समझाओ कि यह प्रश्न 7 वाली दो पंक्तियों की तरकीब ही है, लिखी हुई नहीं, बनी हुई।
14. एक घड़ी एक बजे $1$ बार, दो बजे $2$ बार, …, बारह बजे $12$ बार टनटनाती है। बारह घंटों में कुल कितनी बार? और पूरे दिन में?
15. गाउस के लिए एक आख़िरी सवाल: $5\,050$ सेकंड — यह डेढ़ घंटे से ज़्यादा है या कम? उसे घंटों, मिनटों और सेकंडों में बदलो, यूक्लिडीय भाग (प्रमेय 37.7) दो बार लगाकर।