प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Cursos 1–9

44समानुपात और आँकड़े

तीन कॉपियाँ $6$ यूरो की हों, तो छह कॉपियाँ $12$ की: कॉपियाँ दुगुनी, दाम दुगुना। ऐसा बरतने वाली राशियाँ समानुपाती हैं — पूरे गणित के सबसे काम के विचारों में से एक, जिसे अध्याय 49 में और आगे बढ़ाया गया है। अध्याय के अंत में सादे आँकड़ा-आलेख पढ़ना और बनाना है।

44.1 समानुपाती राशियाँ

परिभाषा 44.1 (समानुपात)

दो राशियाँ समानुपाती तब होती हैं जब एक के मान दूसरी के मानों को हमेशा एक ही संख्या से गुणा करके मिलते हों; उस संख्या को समानुपात गुणांक कहते हैं।

उदाहरण 44.2

$2$ - $2$ यूरो की कॉपियाँ:

कॉपियाँ	$3$	$5$	$8$	$12$
दाम (यूरो)	$6$	$10$	$16$	$24$

हर दाम कॉपियों की संख्या $\times 2$ है: गुणांक $2$ है (एक का दाम)। सारणी समानुपाती है या नहीं, इसकी झटपट जाँच: सारे “स्तंभ-भागफल” $\frac{6}{3}, \frac{10}{5}, \frac{16}{8}, \frac{24}{12}$ बराबर होने चाहिए — यहाँ सब $2$ हैं।

उदाहरण 44.3 (एक उलटा उदाहरण)

उम्र और ऊँचाई समानुपाती नहीं हैं: $12$ साल का बच्चा $6$ साल के बच्चे से दुगुना लंबा नहीं होता। संख्याओं पर जाँचो: $12$ साल पर $1.50$ m और $6$ साल पर $1.15$ m से भागफल $\frac{1.50}{12} = 0.125$ और $\frac{1.15}{6} \approx 0.19$ मिलते हैं — बराबर नहीं।

विधि 44.4 (समानुपात की सारणी पूरी करना)

तीन तरीक़े, जो चाहो चुनो:

गुणांक: किसी एक पूरे स्तंभ से गुणक निकालो, और उसे बाक़ी स्तंभों पर लगाओ;
स्तंभ: किसी स्तंभ को किसी संख्या से गुणा किया जा सकता है, या दो स्तंभ जोड़कर नया स्तंभ बनाया जा सकता है;
एक पर लौटो: पहले एक वस्तु का मान निकालो, फिर गुणा करो।

उदाहरण 44.5

पाँच एक जैसे मग $15$ यूरो के हैं; आठ मग कितने के होंगे?

एक पर लौटना: एक मग $15 \div 5 = 3$ यूरो का है, इसलिए आठ मग $8 \times 3 = 24$ यूरो के।

स्तंभ: $8 = 5 + 3$ ; तीन मग $15$ का $\frac{3}{5}$ , यानी $9$ के हैं; इसलिए आठ मग $15 + 9 = 24$ यूरो के। वही उत्तर, जैसा होना ही चाहिए।

44.2 प्रतिशत

परिभाषा 44.6 (प्रतिशत)

“किसी राशि का $t\,\%$ ” का मतलब है उसकी भिन्न $\frac{t}{100}$ : $60$ का $25\,\%$ , $\frac{25}{100} \times 60 = 15$ है। प्रतिशत गुणांक $\frac{t}{100}$ वाला समानुपात है।

उदाहरण 44.7

$30$ विद्यार्थियों की कक्षा में $40\,\%$ लड़कियाँ हैं। लड़कियों की संख्या, कदम-दर-कदम: $40\,\%$ यानी $\frac{40}{100} = 0.4$ , और $0.4 \times 30 = 12$ लड़कियाँ। काम के ठिकाने: $50\,\%$ यानी आधा, $25\,\%$ यानी चौथाई, $10\,\%$ यानी दसवाँ भाग — तो $30$ का $10\,\%$ , $3$ है, और $40\,\% = 4 \times 10\,\%$ , $4 \times 3 = 12$ : वही उत्तर, मन-ही-मन निकला हुआ।

44.3 आलेख पढ़ना और बनाना

विधि 44.8 (सारणी या आलेख पढ़ना)

चित्र कुछ भी हो — सारणी, पट्टी-आलेख, रेखा-आलेख:

पहले शीर्षक और दोनों अक्षों के मात्रक पढ़ो;
किसी सवाल का उत्तर देने के लिए सही पट्टी/स्तंभ ढूँढ़ो, फिर अंकन के सामने ध्यान से मान पढ़ो;
तुलना के लिए पट्टियों की ऊँचाई देखो — पर जाँचो कि अक्ष $0$ से शुरू होती है, नहीं तो चित्र धोखा दे सकता है।

उदाहरण 44.9

नीचे का पट्टी-आलेख दिखाता है कि एक हफ़्ते में विद्यालय के पुस्तकालय से कितनी किताबें ली गईं।

एक पट्टी-आलेख: हर दिन के लिए एक पट्टी, ऊँचाई गिनती के बराबर।

पढ़ना: सबसे व्यस्त दिन बुधवार है ( $17$ किताबें)। मंगलवार और गुरुवार मिलकर $8 + 6 = 14$ किताबें बनते हैं — अकेले शुक्रवार ( $15$ ) से भी कम। हफ़्ते का कुल: $12 + 8 + 17 + 6 + 15 = 58$ किताबें।

समानुपाती राशियों का आलेख बहुत पहचाना-सा होता है: बिंदु मूल बिंदु से होकर जाती एक सीधी रेखा पर आ जाते हैं (यहाँ 3-3 यूरो की कॉपियाँ; बिंदुदार रेखाएँ 6 कॉपियों का दाम पढ़ती हैं: 18 यूरो)। — समानुपाती राशियों का आलेख बहुत पहचाना-सा होता है: बिंदु मूल बिंदु से होकर जाती एक सीधी रेखा पर आ जाते हैं (यहाँ $3$ - $3$ यूरो की कॉपियाँ; बिंदुदार रेखाएँ $6$ कॉपियों का दाम पढ़ती हैं: $18$ यूरो)।

44.4 अभ्यास

अभ्यास 44.1 ★

क्या सारणी समानुपाती है? भागफल निकालकर पक्का करो।

सेब (kg)	$2$	$3$	$5$
दाम (यूरो)	$5$	$7.5$	$12.5$

उम्र (साल)	$2$	$4$	$8$
ऊँचाई (cm)	$85$	$103$	$130$

हल

हल — अभ्यास 44.1.

सेब: भागफल $\frac52 = 2.5$ , $\frac{7.5}{3} = 2.5$ , $\frac{12.5}{5} = 2.5$ — सब बराबर: समानुपाती (दाम $2.50$ प्रति kg)।

उम्र/ऊँचाई: $\frac{85}{2} = 42.5$ पर $\frac{103}{4} = 25.75$ — बराबर नहीं: समानुपाती नहीं।

अभ्यास 44.2 ★

चार क्रोसाँ $4.80$ यूरो के हैं। एक क्रोसाँ का दाम निकालो, फिर सात का।

हल

हल — अभ्यास 44.2.

एक क्रोसाँ: $4.80 \div 4 = 1.20$ यूरो। सात: $7 \times 1.20 = 8.40$ यूरो।

अभ्यास 44.3 ★

समानुपात की सारणी पूरी करो (पहले गुणांक!):

ईंधन (लीटर)	$10$	$25$	$?$	$60$
दाम (यूरो)	$18$	$?$	$72$	$?$

हल

हल — अभ्यास 44.3.

गुणांक: $18 \div 10 = 1.8$ यूरो प्रति लीटर। फिर $25$ L का दाम $25 \times 1.8 = 45$ यूरो; $72$ यूरो में $72 \div 1.8 = 40$ L आते हैं; $60$ L का दाम $60 \times 1.8 = 108$ यूरो।

अभ्यास 44.4 ★

एक कार $100$ km पर $6$ L ईंधन लेती है। $250$ km के लिए कितना ईंधन? $350$ km के लिए? $27$ L में वह कितनी दूर जा सकती है?

हल

हल — अभ्यास 44.4.

$250$ km के लिए: $100$ km वाले ईंधन का $2.5$ गुना, यानी $2.5 \times 6 = 15$ L। $350$ km के लिए: $3.5 \times 6 = 21$ L। $27$ L में: $27 \div 6 = 4.5$ सौ km, यानी $450$ km।

अभ्यास 44.5 ★

उदाहरण 44.7 के ठिकानों से मन-ही-मन निकालो: $84$ का $50\,\%$ ; $200$ का $25\,\%$ ; $63$ का $10\,\%$ ; $70$ का $30\,\%$ ।

हल

हल — अभ्यास 44.5.

$84$ का $50\,\%$ : आधा, $42$ । $200$ का $25\,\%$ : चौथाई, $50$ । $63$ का $10\,\%$ : दसवाँ भाग, $6.3$ । $70$ का $30\,\%$ : $3 \times 7 = 21$ ।

अभ्यास 44.6 ★

$450$ विद्यार्थियों के विद्यालय में $60\,\%$ भोजनालय में खाते हैं। वे कितने विद्यार्थी हुए? कितने नहीं खाते?

हल

हल — अभ्यास 44.6.

$450$ का $60\,\%$ : $\frac{60}{100} \times 450 = 270$ विद्यार्थी भोजनालय में खाते हैं; $450 - 270 = 180$ नहीं खाते।

अभ्यास 44.7 ★

उदाहरण 44.9 के पट्टी-आलेख से: किन दिनों में $10$ से कम किताबें ली गईं? बुधवार को गुरुवार से कितनी ज़्यादा किताबें ली गईं?

हल

हल — अभ्यास 44.7.

$10$ से कम किताबें: मंगलवार ( $8$ ) और गुरुवार ( $6$ )। बुधवार में से गुरुवार: $17 - 6 = 11$ किताबें ज़्यादा।

अभ्यास 44.8 ★

सोमवार से शुक्रवार तक दोपहर के तापमान $14$ , $16$ , $13$ , $17$ , $20$ डिग्री थे। इन आँकड़ों का पट्टी-आलेख बनाओ (समझदारी से अंकन चुनो), और सबसे गर्म दिन पढ़ो।

हल

हल — अभ्यास 44.8.

$14$ , $16$ , $13$ , $17$ , $20$ ऊँचाइयों की पाँच पट्टियों वाला आलेख (हर $2$ या $5$ डिग्री पर अंकन ठीक रहता है)। सबसे गर्म दिन: शुक्रवार ( $20$ डिग्री)।

अभ्यास 44.9 ★★

$6$ लोगों की एक पाकविधि में $450$ g आटा और $3$ अंडे लगते हैं। उसे $10$ लोगों के लिए ढालो। (अंडों के लिए सोच लो, दशमलव संख्या में अंडे लिखने से पहले!)

हल

हल — अभ्यास 44.9.

$10$ लोगों के लिए $\frac{10}{6} = \frac53$ से गुणा करो: आटा $450 \times \frac{10}{6} = 750$ g। अंडे: $3 \times \frac{10}{6} = 5$ — सौभाग्य से पूर्ण संख्या। (न होती, तो पूरा पड़ने के लिए ऊपर गोल करना पड़ता।)

अभ्यास 44.10 ★★

एक साइकिल सवार एक-सी चाल से $1$ घंटे में $24$ km चलती है।

वह $2$ घंटे में कितनी दूर जाती है? आधे घंटे में? $1$ घंटा $30$ मिनट में?
$60$ km के लिए उसे कितना समय चाहिए?

हल

हल — अभ्यास 44.10.

1. $2$ घंटे में: $48$ km। आधे घंटे में: $12$ km। $1$ घंटा $30$ मिनट में: $24 + 12 = 36$ km।

2. $60 \div 24 = 2.5$ घंटे, यानी $2$ घंटे $30$ मिनट।

अभ्यास 44.11 ★★

एक दुकान “हर चीज़ पर $20\,\%$ छूट” देती है। इनके लिए छूट और नया दाम निकालो: $15$ यूरो की गेंद; $40$ यूरो का रैकेट। क्या नया दाम पुराने दाम का समानुपाती है? गुणांक क्या है?

हल

हल — अभ्यास 44.11.

गेंद: छूट $15$ का $20\,\% = 3$ यूरो, नया दाम $12$ यूरो। रैकेट: छूट $8$ यूरो, नया दाम $32$ यूरो। हर हाल में नया दाम पुराने का $80\,\%$ है: समानुपाती, गुणांक $0.8$ ।

अभ्यास 44.12 ★★★

एक ही ऊँचाई की दो मोमबत्तियाँ एक साथ जलाई जाती हैं। मोटी वाली $6$ घंटे में पूरी जल जाती है, पतली वाली $4$ घंटे में, हर एक अपनी एक-सी दर से। कितने समय बाद पतली मोमबत्ती ठीक मोटी वाली की आधी ऊँचाई की रह जाती है? ( $t$ घंटे बाद बची हुई ऊँचाइयाँ शुरू की ऊँचाई की भिन्नों में लिखो।)

हल

हल — अभ्यास 44.12.

$t$ घंटे बाद मोटी मोमबत्ती अपनी ऊँचाई का $\frac t6$ जल चुकी है: वह शुरुआती ऊँचाई के $1 - \frac t6$ पर खड़ी है; पतली वाली $1 - \frac t4$ पर। हमें चाहिए

1 - \frac t4 = \frac12 \left(1 - \frac t6\right) \quad\text{अर्थात्}\quad 1 - \frac t4 = \frac12 - \frac t{12}.

तब $\frac12 = \frac t4 - \frac t{12} = \frac{3t - t}{12} = \frac{t}{6}$ , इसलिए $t = 3$ घंटे। जाँच: $3$ घंटे बाद मोटी मोमबत्ती $1 - \frac36 = \frac12$ पर है और पतली $1 - \frac34 = \frac14$ पर — सचमुच उसकी आधी।

44.5 समस्या: नक़्शे, नक़्शा-योजनाएँ, और आलेख से झूठ कैसे बोलें

समस्या 44.1

सप्ताहांत समस्या — नक़्शे की मापनी एक समानुपात है: लंबाइयाँ गुणांक पर चलती हैं, क्षेत्रफल उसके वर्ग पर, और ख़राब बने आलेख आँख को धोखा देते हैं

हर नक़्शा, फ़र्श-योजना और नमूना एक ही नियम मानता है: असली लंबाइयाँ और बनी हुई लंबाइयाँ समानुपाती होती हैं (परिभाषा 44.1)। गुणांक का एक मशहूर नाम है — मापनी — और उसमें दो जाल छिपे हैं जो यह समस्या जान-बूझकर बिछाती है: क्षेत्रफल मापनी पर नहीं चलते, और प्रतिशत, आलेखों की तरह, पूरी तरह इस पर निर्भर करते हैं कि उन्हें किसके सामने नापा गया है।

भाग I — नक़्शा पढ़ना। पैदल यात्रा का एक नक़्शा $1:100\,000$ की मापनी का है: नक़्शे पर हर सेंटीमीटर ज़मीन पर $100\,000$ सेंटीमीटर दिखाता है।

$100\,000$ cm को किलोमीटर में बदलो। इस नक़्शे का $1$ cm km में क्या दिखाता है?
नक़्शे पर दो गाँव $7.5$ cm दूर हैं; एक झील का किनारा $12$ cm का वक्र है। असली दूरियाँ बताओ।
एक बिलकुल सीधी पुरानी सड़क $20$ km लंबी है। वह नक़्शे पर कितनी लंबी है?
दूसरा नक़्शा घोषित करता है: “ $1$ cm में $5$ km की दूरी”। उसकी मापनी $1: \,?$ के रूप में लिखो। उसी इलाक़े के लिए दोनों में से कौन-सा नक़्शा ज़्यादा बारीक़ी दिखाता है?
पैदल यात्रा वाले नक़्शे के लिए एक छोटी सारणी बनाओ (नक़्शे की दूरी $1$ , $2$ , $7.5$ cm के सामने असली दूरी), और समझाओ कि मापनी ठीक परिभाषा 44.1 वाले अर्थ में समानुपात क्यों है। नक़्शे के सेंटीमीटरों को किलोमीटरों में बदलने वाला गुणांक क्या है?

भाग II — ज़ोई के कमरे की योजना। ज़ोई अपने कमरे — $4$ m गुणा $3$ m के आयत — की योजना $1:50$ मापनी पर बनाती है।

योजना पर कमरे के नाप क्या हैं?
उसका पलंग $2$ m गुणा $0.9$ m का है, और दरवाज़े की चौड़ाई $80$ cm। तीनों नाप योजना पर बताओ।
अब जाल। कमरे का असली क्षेत्रफल m $^2$ में निकालो, फिर उसकी योजना का क्षेत्रफल cm $^2$ में। असली क्षेत्रफल को cm $^2$ में बदलो (परिभाषा 43.5) और योजना के क्षेत्रफल से भाग दो: क्या भागफल $50$ है?
जो संख्या मिली उसे समझाओ: $1:50$ की योजना पर काग़ज़ का हर वर्ग सेंटीमीटर $50$ cm गुणा $50$ cm के असली वर्ग को दिखाता है। वह कितने असली cm $^2$ हुए? नियम लिखो: लंबाइयाँ $50$ से भाग खाती हैं, तो क्षेत्रफल किससे …
एक गोल क़ालीन योजना पर $6$ cm $^2$ घेरता है। वह असल में कितना क्षेत्रफल घेरता है, cm $^2$ में और फिर m $^2$ में?

भाग III — आलेख से (और प्रतिशत से) झूठ कैसे बोलें।

एक दुकान ने शनिवार को $105$ यूरो का और रविवार को $110$ यूरो का सामान बेचा। प्रबंधक ऐसा पट्टी-आलेख बनाता है जिसकी खड़ी अक्ष $100$ से शुरू होती है: शनिवार की पट्टी $5$ छोटी इकाई ऊपर जाती है, रविवार की $10$ । चित्र रविवार के बारे में क्या सुझाता है, और सच क्या है? (रविवार की बढ़त शनिवार के प्रतिशत में निकालो, नज़दीकी प्रतिशत तक।) प्रबंधक ने विधि 44.8 की कौन-सी चेतावनी अनसुनी की?
ईमानदार आलेख दोबारा बनाओ (या बताओ), जिसकी अक्ष $0$ से शुरू हो: अब दोनों पट्टियाँ कैसी लगती हैं?
किसी संग्रह में टिकट $40$ से बढ़कर $60$ हो जाते हैं: बढ़त को शुरुआती मान के प्रतिशत में निकालो। फिर वह $60$ से घटकर $40$ पर आ जाता है: घटत को उसके शुरुआती मान के प्रतिशत में निकालो। उन्हीं $20$ टिकटों के लिए दोनों उत्तर अलग क्यों हैं?
छूट का मौसम: $100$ यूरो के कोट पर “ $20\,\%$ छूट”, और भुगतान पर घटे हुए दाम पर “ $10\,\%$ और छूट”। आख़िरी दाम कदम-दर-कदम निकालो। क्या कुल छूट $30\,\%$ है? ख़रीदार को समझाओ कि वह असल में कितनी है।
आख़िरी सवाल, फिर प्रश्न 4 वाले नक़्शे पर, जहाँ $1$ cm में $5$ km हैं: एक जंगल उस नक़्शे पर $3$ cm $^2$ घेरता है। उसका असली क्षेत्रफल km $^2$ में क्या है? इस पूरी समस्या का नियम लिखकर ख़त्म करो: लंबाइयाँ मापनी पर चलती हैं, क्षेत्रफल उसके …

हल

हल — समस्या 44.1.

1. $100\,000$ cm $= 1\,000$ m $= 1$ km: नक़्शे पर एक सेंटीमीटर ज़मीन पर एक किलोमीटर है।

2. $7.5$ cm $\rightarrow$ गाँवों के बीच $7.5$ km; $12$ cm $\rightarrow$ झील का $12$ km किनारा।

3. $20$ km $\rightarrow$ नक़्शे पर $20$ cm।

4. $5$ km $= 500\,000$ cm, इसलिए मापनी $1:500\,000$ है। पैदल यात्रा वाला नक़्शा ( $1:100\,000$ ) ज़्यादा बारीक़ है: वह वहाँ $5$ cm काग़ज़ लेता है जहाँ दूसरा केवल $1$ cm ख़र्च करता है।

नक़्शा (cm)	$1$	$2$	$7.5$
असली (km)	$1$	$2$	$7.5$

असली दूरी $=$ नक़्शे की दूरी $\times 1$ (इन्हीं मात्रकों में): हमेशा वही गुणक, और यही समानुपात की ठीक-ठीक परिभाषा है (परिभाषा 44.1)। यहाँ गुणांक $1$ किलोमीटर प्रति सेंटीमीटर है।

6. $4$ m $= 400$ cm और $400 \div 50 = 8$ ; $3$ m $= 300$ cm और $300 \div 50 = 6$ : योजना पर $8$ cm $\times$ $6$ cm का आयत दिखता है।

7. पलंग: $200 \div 50 = 4$ cm गुणा $90 \div 50 = 1.8$ cm। दरवाज़ा: $80 \div 50 = 1.6$ cm।

8. असली क्षेत्रफल: $4 \times 3 = 12$ m $^2$ । योजना का क्षेत्रफल: $8 \times 6 = 48$ cm $^2$ । बदलने पर: $12$ m $^2 = 12 \times 10\,000 = 120\,000$ cm $^2$ , और

120\,000 \div 48 = 2\,500 .

भागफल $50$ नहीं, $2\,500 = 50 \times 50$ है।

9. काग़ज़ का एक cm $^2$ , $50$ cm गुणा $50$ cm के असली वर्ग के लिए खड़ा है, जिसमें $50 \times 50 = 2\,500$ cm $^2$ आते हैं। इसलिए लंबाइयाँ $50$ से भाग खाएँ, तो क्षेत्रफल $50 \times 50 = 2\,500$ से: क्षेत्रफल मापनी के वर्ग पर चलते हैं।

10. $6 \times 2\,500 = 15\,000$ cm $^2$ , और $15\,000 \div 10\,000 = 1.5$ m $^2$ ।

11. चित्र सुझाता है कि रविवार को दुगुना सामान बिका (पट्टी दुगुनी ऊँची)। सच: बढ़त $105$ में से $5$ यूरो की है, और $5 \div 105 \approx 0.048$ : लगभग $5\,\%$ ज़्यादा, $100\,\%$ ज़्यादा नहीं। प्रबंधक ने अक्ष के $0$ से शुरू होने की जाँच वाली चेतावनी अनसुनी कर दी (विधि 44.8)।

12. अक्ष $0$ से हो, तो पट्टियाँ $105$ और $110$ छोटी इकाइयों तक उठती हैं: लगभग एक ही ऊँचाई की दो पट्टियाँ, $5\,\%$ के अंतर का ईमानदार चित्र।

13. बढ़त: $40$ से शुरू होकर $20$ टिकट की बढ़त: $\frac{20}{40} = 50\,\%$ । घटत: $60$ से शुरू होकर $20$ टिकट की घटत: $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$ । वही $20$ टिकट, पर शुरुआती मान अलग — प्रतिशत हमेशा किसी चीज़ की भिन्न होता है, और वह “चीज़” बदल गई।

14. $20\,\%$ छूट के बाद: $100 - 20 = 80$ यूरो। अगली $10\,\%$ छूट $80$ पर लगती है: छूट $8$ यूरो, आख़िरी दाम $72$ यूरो। कुल छूट: $100$ में से $28$ यूरो, यानी $28\,\%$ — $30\,\%$ नहीं। दूसरी छूट पहले से ही घटे हुए दाम पर लगी, इसलिए उसके यूरो छोटे हैं: अलग-अलग राशियों के प्रतिशत जुड़ते नहीं।

15. उस नक़्शे पर $1$ cm, $5$ km के लिए खड़ा है, इसलिए $1$ cm $^2$ , $5 \times 5 = 25$ km $^2$ के लिए (प्रश्न 9 का नियम)। जंगल: $3 \times 25 = 75$ km $^2$ । लंबाइयाँ मापनी पर चलती हैं; क्षेत्रफल उसके वर्ग पर।