50आँकड़ों को सँवारना

हल — समस्या 50.1.

1. गिनती: $120 > 90$, स्कूल A जीता। आवृत्ति: $\frac{120}{400} = 0.30 = 30\,\%$ बनाम $\frac{90}{250} = 0.36 = 36\,\%$: स्कूल B जीता। इनाम आवृत्ति के साथ जाना चाहिए — स्कूल B जितना इस्तेमाल करता है उसका बड़ा हिस्सा पुनर्चक्रित करता है; स्कूल A तो बस ज़्यादा रस पीता है।

2. शिक्षक: $\frac{18}{30} = 0.60 = 60\,\%$। विद्यार्थी: $\frac{210}{600} = 0.35 = 35\,\%$। दोनों मिलाकर: $\frac{18 + 210}{630} = \frac{228}{630} \approx 0.36 = 36\,\%$। विद्यार्थी बीस गुना ज़्यादा हैं, इसलिए मिली-जुली आवृत्ति लगभग पूरी तरह उन्हीं की तरफ़ खिंच जाती है — बड़े समूह का भार बड़ा होता है।

3. आवृत्तियों का योग $100\,\%$ होना ही चाहिए (परिभाषा 50.1), पर $45 + 30 + 20 + 10 = 105$: कम से कम एक फाँक ग़लत है।

4. आवृत्ति $0.15$ की गिनती: $0.15 \times 40 = 6$। अब तक की गिनतियाँ: $14 + 10 + 6 = 30$, इसलिए आख़िरी गिनती $40 - 30 = 10$ है, जिसकी आवृत्ति $\frac{10}{40} = 0.25$। (जाँच: $0.35 + 0.25 + 0.15 + 0.25 = 1$।)

5. कोण: $0.40 \times 360 = 144^\circ$, $0.35 \times 360 = 126^\circ$, $0.25 \times 360 = 90^\circ$; और $144 + 126 + 90 = 360^\circ$: वृत्त पूरा हो जाता है।

6. भेजे गए मतपत्रों का $\frac{2.4}{10} = 0.24 = 24\,\%$ वापस आया।

7. टेलीफ़ोन-निर्देशिकाओं और गाड़ियों के पंजीकरण में ज़्यादातर अमीर घर दर्ज थे, जिनका वोट देश के वोट से अलग था; वे $24$ लाख जवाब ग़लत आबादी से खींची गई एक विशाल गिनती भर थे। सवाल 1 की तरह: मायने यह नहीं रखता कि तुमने कितने गिने, बल्कि यह कि किन्हें — टेढ़े नमूने पर निकाली गई आवृत्ति उस नमूने का ब्योरा देती है, देश का नहीं।

8. असली समर्थन: $0.7 \times 1\,000 + 0.3 \times 9\,000 = 700 + 2\,700 = 3\,400$ समर्थक $10\,000$ में से: $34\,\%$। सर्वेक्षण: $0.7 \times 500 + 0.3 \times 500 = 350 + 150 = 500$, $1\,000$ में से: $50\,\%$ — सोलह अंक ज़्यादा, क्योंकि अमीर नमूने के आधे हैं पर शहर के दसवें भाग।

9. जवाब: $0.4 \times 200 = 80$ नाख़ुश और $0.1 \times 800 = 80$ ख़ुश, यानी $160$ जवाब जिनमें $80$ नाख़ुश: नापी गई नाख़ुशी $\frac{80}{160} = 50\,\%$। असली नाख़ुशी: $\frac{200}{1\,000} = 20\,\%$। झूठ किसी ने नहीं बोला — नाख़ुश लोग ज़्यादा जवाब देते हैं, और सर्वेक्षण उन्हीं की आवाज़ ऊँची सुनता है।

10. असली अनुपात: दसवाँ भाग अमीर, इसलिए $100$ अमीर और $900$ साधारण बातचीत: $0.7 \times 100 + 0.3 \times 900 = 70 + 270 = 340$, $1\,000$ में से: सुधरा हुआ सर्वेक्षण $34\,\%$ बताता है — सवाल 8 वाला सच। सोच-समझकर चुनी गई पचास हज़ार बातचीत बीस लाख बेतरतीब बातचीत से बेहतर है।

11. अस्पताल A: हल्के $\frac{90}{100} = 90\,\%$; गंभीर $\frac{280}{400} = 70\,\%$; कुल $\frac{90 + 280}{500} = \frac{370}{500} = 74\,\%$।

12. अस्पताल B: हल्के $\frac{340}{400} = 85\,\%$; गंभीर $\frac{65}{100} = 65\,\%$; कुल $\frac{340 + 65}{500} = \frac{405}{500} = 81\,\%$। हल्के मामलों में ($90 > 85$) और गंभीर मामलों में ($70 > 65$) — दोनों में अस्पताल A जीतता है।

13. कुल मिलाकर B $81\,\%$ दिखाता है और A $74\,\%$: जो अस्पताल प्रत्येक श्रेणी में हारता है वही कुल में जीत जाता है। (इस उलटफेर का नाम है: सिंपसन का विरोधाभास।)

14. दोनों के मिश्रण उलटे हैं: A के मरीज़ ज़्यादातर गंभीर हैं ($500$ में से $400$), B के ज़्यादातर हल्के ($500$ में से $400$)। गंभीर मामले कहीं भी हों, कम ही ठीक होते हैं, इसलिए A का कुल आँकड़ा उन्हीं कठिन मामलों से नीचे खिंच जाता है जिन्हें वह भर्ती करता है — कुल आवृत्ति एक भार-युक्त मिलावट है, और भार दोनों अस्पतालों में अलग-अलग हैं। गंभीर मरीज़ को अस्पताल A चुनना चाहिए: जिस अकेली पंक्ति से उसका वास्ता है, उसमें $70\,\%$, $65\,\%$ से बेहतर है।

15. जैसे: “आपकी तुलना हल्के और गंभीर मरीज़ों को घोल देती है, और दोनों अस्पतालों के मरीज़ों के मिश्रण उलटे हैं — गंभीरता से बाँटकर देखें तो अस्पताल A दोनों तरह के मरीज़ों का बड़ा हिस्सा ठीक करता है। कुल आँकड़े तभी तुले जा सकते हैं जब उनके पीछे के समूह एक जैसे हों; वरना जीत गुणवत्ता नहीं, भार तय करते हैं।”