प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9

17बाँटना और भाग

बीस कंचे चार बच्चों में बराबर-बराबर बाँटे गए: हर एक को कितने? भाग बाँटने के सारे सवालों का उत्तर देता है — और समूह बनाने के सवालों का भी — और वह गुणा का जुड़वाँ है: एक दूसरे को उलट देता है।

17.1 भाग के दो रूप

परिभाषा 17.1 (भाग)

भाग $20 \div 4$ दो तरह के सवालों का उत्तर देता है:

बाँटना: $20$ कंचे $4$ बच्चों में बाँटे गए — हर एक को कितने कंचे? (हर एक को $5$ );
समूह बनाना: $20$ कंचे $4$ - $4$ के थैलों में रखे गए — कितने थैले? ( $5$ थैले)।

दोनों सवालों का उत्तर एक ही है, क्योंकि दोनों उसी गुणा को उलटते हैं: $4 \times 5 = 20$ ।

20 को 4 बराबर समूहों में बाँटना। इसके बजाय 4-4 के समूह बनाने पर 5 समूह मिलते — वही भाग। — $20$ को $4$ बराबर समूहों में बाँटना। इसके बजाय $4$ - $4$ के समूह बनाने पर $5$ समूह मिलते — वही भाग।

विधि 17.2 (पहाड़ों से भाग)

$42 \div 6$ निकालने के लिए पूछो: “ $6$ गुना क्या $42$ बनाता है?” $6$ का पहाड़ा उत्तर देता है: $6 \times 7 = 42$ , इसलिए $42 \div 6 = 7$ । भाग का हर सवाल उलटा पढ़ा हुआ गुणा का सवाल है।

17.2 जब बराबर न बँटे

परिभाषा 17.3 (शेषफल)

$23$ कंचे $4$ बच्चों में बाँटने पर हर एक को $5$ कंचे मिलते हैं — और $3$ कंचे बच जाते हैं, जो एक और बार बाँटने के लिए काफ़ी नहीं। हम लिखते हैं

23 = 4 \times 5 + 3 ,

और कहते हैं: भागफल $5$ है, शेषफल $3$ है। शेषफल हमेशा बच्चों की संख्या से छोटा होता है — नहीं तो एक बार और बाँटा जा सकता।

23 को 4 में बाँटना: 5 बार बाँटने के बाद 3 कंचे बचते हैं — छठी बार के लिए बहुत कम। — $23$ को $4$ में बाँटना: $5$ बार बाँटने के बाद $3$ कंचे बचते हैं — छठी बार के लिए बहुत कम।

उदाहरण 17.4

$58$ में $7$ का भाग दो। $7$ का पहाड़ा देखो: $7 \times 8 = 56$ सबसे बड़ा गुणनफल है जो $58$ के नीचे समाता है ( $7 \times 9 = 63$ बहुत ज़्यादा है)। तो

58 = 7 \times 8 + 2 :

भागफल $8$ , शेषफल $2$ । जाँच: $56 + 2 = 58$ , और $2 < 7$ ।

विधि 17.5 (शेषफल का मतलब)

भाग देने के बाद कहानी पर लौटो:

“हर एक को कितने / कितने पूरे समूह?” — भागफल;
“कितने बच गए?” — शेषफल;
“सब कुछ रखने के लिए कितने डिब्बे?” — भागफल, और शेषफल शून्य न हो तो उसमें एक और जोड़ो।

उदाहरण 17.6

$58$ विद्यार्थी डोंगी चलाने जाते हैं, हर डोंगी में $7$ । $58 = 7 \times 8 + 2$ : आठ डोंगियाँ भर जाती हैं, और $2$ विद्यार्थी बचते हैं — उन्हें भी डोंगी चाहिए। तो $9$ डोंगियाँ लेनी होंगी।

17.3 आधा, तिहाई, चौथाई

परिभाषा 17.7 (आधा, तिहाई, चौथाई)

किसी संख्या का आधा उसमें $2$ का भाग देने पर मिलता है; तिहाई, $3$ का भाग देने पर; चौथाई, $4$ का। जैसे $18$ का आधा $9$ है, $18$ की तिहाई $6$ है, और $36$ की चौथाई $9$ है।

उदाहरण 17.8 (दुगुना और आधा साथ-साथ चलते हैं)

$46$ का आधा: चूँकि $46 = 40 + 6$ , हर हिस्से का आधा लेने पर $20 + 3 = 23$ मिलता है। दुगुने से जाँचो: $23 + 23 = 46$ । दुगुने याद हों ( $25 \to 50$ , $45 \to 90$ , $150 \to 300$ ) तो आधे तुरंत मिल जाते हैं।

17.4 अभ्यास

अभ्यास 17.1 ★

पहाड़े उलटे पढ़कर निकालो: $36 \div 4$ ; $63 \div 9$ ; $40 \div 5$ ; $56 \div 8$ ।

हल

हल — अभ्यास 17.1.

$36 \div 4 = 9$ (क्योंकि $4 \times 9 = 36$ ); $63 \div 9 = 7$ ; $40 \div 5 = 8$ ; $56 \div 8 = 7$ ।

अभ्यास 17.2 ★

हर भाग के लिए संबंध $a = b \times q + r$ लिखो और भागफल तथा शेषफल बताओ: $17 \div 5$ ; $30 \div 4$ ; $50 \div 6$ ।

हल

हल — अभ्यास 17.2.

$17 = 5 \times 3 + 2$ : भागफल $3$ , शेषफल $2$ ।

$30 = 4 \times 7 + 2$ : भागफल $7$ , शेषफल $2$ ।

$50 = 6 \times 8 + 2$ : भागफल $8$ , शेषफल $2$ ।

अभ्यास 17.3 ★

$28$ कंचे $6$ बच्चों में बाँटे जाते हैं। हर एक को कितने कंचे, और कितने बच जाते हैं? मदद के लिए बँटवारे का चित्र बना लो।

हल

हल — अभ्यास 17.3.

$28 = 6 \times 4 + 4$ : हर बच्चे को $4$ कंचे मिलते हैं, और $4$ कंचे बच जाते हैं।

अभ्यास 17.4 ★

निकालो: $68$ का आधा; $27$ की तिहाई; $48$ की चौथाई; $150$ का आधा।

हल

हल — अभ्यास 17.4.

$68$ का आधा: $34$ । $27$ की तिहाई: $9$ । $48$ की चौथाई: $12$ । $150$ का आधा: $75$ ।

अभ्यास 17.5 ★

सही या ग़लत? गुणा से जाँचो। “ $45 \div 5 = 9$ ”; “ $52 \div 6 = 8$ , शेषफल $4$ ”; “ $70 \div 8 = 9$ , शेषफल $2$ ”।

हल

हल — अभ्यास 17.5.

“ $45 \div 5 = 9$ ”: सही, $5 \times 9 = 45$ ।

“ $52 \div 6 = 8$ , शेषफल $4$ ”: सही, $6 \times 8 + 4 = 52$ और $4 < 6$ ।

“ $70 \div 8 = 9$ , शेषफल $2$ ”: ग़लत — $8 \times 9 + 2 = 74$ , $70$ नहीं। सही: $70 = 8 \times 8 + 6$ ।

अभ्यास 17.6 ★

$32$ तस्वीरें एक एलबम में चिपकाई जाती हैं, हर पन्ने पर $4$ । कितने पन्ने लगते हैं? यह भाग का कौन-सा रूप है (बाँटना या समूह बनाना)?

हल

हल — अभ्यास 17.6.

$32 \div 4 = 8$ पन्ने। यह समूह बनाना है: तस्वीरें $4$ - $4$ के समूहों में रखी जाती हैं, और हम समूह गिनते हैं।

अभ्यास 17.7 ★

$75$ cm की रस्सी $9$ - $9$ cm के टुकड़ों में काटी जाती है। कितने पूरे टुकड़े बनते हैं, और बचा हुआ टुकड़ा कितना लंबा है?

हल

हल — अभ्यास 17.7.

$75 = 9 \times 8 + 3$ : आठ पूरे टुकड़े, और $3$ cm का बचा हुआ टुकड़ा।

अभ्यास 17.8 ★

$50$ बच्चे $4$ - $4$ सीटों वाली कारों में सैर पर जाते हैं। कितनी कारें चाहिए? (सावधान: सबको जाना है!)

हल

हल — अभ्यास 17.8.

$50 = 4 \times 12 + 2$ : बारह कारें $48$ बच्चों को ले जाती हैं, और $2$ बच्चों को अब भी सवारी चाहिए। $13$ कारें चाहिए।

अभ्यास 17.9 ★

ग़ायब संख्याएँ ढूँढ़ो: $? \div 7 = 6$ ; $54 \div ? = 6$ ; जिसका आधा $35$ है, वह संख्या।

हल

हल — अभ्यास 17.9.

$? = 7 \times 6 = 42$ । $54 \div 9 = 6$ , इसलिए ग़ायब भाजक $9$ है। जिसका आधा $35$ है, वह संख्या $70$ है।

अभ्यास 17.10 ★★

अमीना अपने $47$ स्टिकर अपने $5$ दोस्तों में जितना हो सके उतने बराबर बाँटती है, और बचे हुए अपने पास रख लेती है। हर दोस्त को कितने स्टिकर मिलते हैं, और अमीना के पास कितने रहते हैं?

हल

हल — अभ्यास 17.10.

$47 = 5 \times 9 + 2$ : हर दोस्त को $9$ स्टिकर मिलते हैं, और अमीना शेषफल, यानी $2$ स्टिकर रख लेती है।

अभ्यास 17.11 ★★

किसी संख्या में $6$ का भाग देने पर कौन-कौन-से शेषफल संभव हैं? वह सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है जिसमें $6$ का भाग देने पर भागफल $7$ आता है?

हल

हल — अभ्यास 17.11.

$6$ का भाग देने पर शेषफल हमेशा $6$ से छोटा होता है: वह $0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ या $5$ हो सकता है। भागफल $7$ वाली सबसे बड़ी संख्या सबसे बड़ा शेषफल लेती है: $6 \times 7 + 5 = 47$ ।