62पिरामिड और शंकु

हल — समस्या 62.1.

1. $G$ ऊपरी फलक $EFGH$ में और दोनों बग़ली फलकों $BCGF$ तथा $DCGH$ में पड़ता है। जिन तीन फलकों में $G$ नहीं है वे हैं नीचे वाला $ABCD$, सामने वाला $ABFE$ और बाईं ओर वाला $ADHE$ (तीनों में शीर्ष $A$ साझा है, यानी $G$ के सामने वाला कोना)। तीनों पिरामिड हैं $ABCDG$, $ABFEG$ और $ADHEG$: हर एक का आधार घन का कोई वर्गाकार फलक है और शिखर दूर वाला शीर्ष $G$। हर एक वर्गाकार-आधार पिरामिड है: $5$ फलक, $8$ किनारे, $5$ शीर्ष (उदाहरण 62.2)।

2. लंबा विकर्ण $[AG]$ उन्हीं दो शीर्षों को जोड़ता है जो तीनों आधारों में से किसी में नहीं हैं। रेखा $(AG)$ के चारों ओर एक तिहाई चक्कर का घुमाव घन को उसी पर भेज देता है ($A$ से निकलते तीनों किनारे — $B$, $D$, $E$ की ओर — आपस में चक्र में बदल जाते हैं, और $G$ पर आते तीनों किनारे भी)। वह आधार $ABCD$ को $ADHE$ पर, फिर $ADHE$ को $ABFE$ पर, और फिर वापस ले जाता है: शिखर $G$ पर टिके रहते हैं और आधार चक्र में घूमते हैं। इस तरह हर पिरामिड अगले पर चला जाता है: यानी तीनों एक जैसी नक़लें हैं।

3. घन को भरने वाले तीन एक जैसे टुकड़े उसका आयतन बराबर-बराबर बाँट लेते हैं:

4. पिरामिड $ABCDG$ का आधार $ABCD$ है, जिसका क्षेत्रफल $a^2$ है, और उसका शिखर $G$ कोने $C$ के ठीक ऊपर, ऊँचाई $CG = a$ पर बैठा है (यानी घन का एक खड़ा किनारा)। अभ्यास 62.11 की तरह सूत्र लंब ऊँचाई $h = a$ के साथ लागू होता है:

जो सवाल 3 से पूरी तरह मेल खाता है — यानी बँटवारा और सूत्र एक-दूसरे की पुष्टि कर देते हैं।

5. $a = 6$ के लिए: हर एक का $V = \frac{6^3}{3} = \frac{216}{3} = 72$ cm$^3$। पानी उँडेलने वाला प्रयोग इसी बँटवारे का तरल रूप है: आधार $ABCD$ पर ऊँचाई $a$ वाला प्रिज़्म ख़ुद घन ही है, और उसमें ठीक तीन बार पिरामिड भरकर डालना पड़ता है — यहाँ तो वे तीनों भराव ज्यामिति में जुड़कर घन भी बना देते हैं।

6. केंद्र $O$ को हर फलक के चारों कोनों से जोड़ने पर छह पिरामिड बनते हैं, हर फलक पर एक: वर्गाकार आधार, शिखर $O$। केंद्र छहों फलकों के सापेक्ष एक जैसा बैठा है (घन का कोई भी घुमाव या सममिति $O$ को वहीं रखती है और फलकों को आपस में बदल देती है), इसलिए छहों पिरामिड एक जैसे हैं। हर एक की ऊँचाई $O$ से किसी फलक तक की दूरी है: यानी भुजा की आधी, $\frac{a}{2}$।

7. छह एक जैसे टुकड़े घन को बाँट लेते हैं: हर एक का $V = \frac{a^3}{6}$।

8. सूत्र से: आधार का क्षेत्रफल $a^2$, ऊँचाई $\frac a2$:

दोनों उत्तर मिल जाते हैं।

9. दोनों बँटवारे घन में से तराशे गए बहुत ख़ास अनुपातों वाले पिरामिडों से जुड़े हैं; कोई पतला पिरामिड, कोई टेढ़ा पिरामिड, या कोई शंकु इस तरह नहीं जोड़ा जा सकता (तीन शंकु किसी बेलन को नहीं भरते)। इसीलिए इस स्तर पर प्रमेय 62.3 मान ली जाती है: बँटवारे और पानी उँडेलने वाला प्रयोग $\frac13$ को पूरी तरह मानने लायक़ बना देते हैं, और ईमानदार आम प्रमाण — यानी समाकलन — हाई-स्कूल खंड में दिया गया है।

10. $V = \frac{6^3}{6} = 36$ cm$^3$; और सूत्र से, $V = \frac13 \times 36 \times 3 = 36$ cm$^3$। दोनों मिलते हैं।

11. त्रिभुज $SAB$ में भुजाओं $[SA]$ और $[SB]$ के मध्यबिंदुओं को जोड़ता रेखाखंड $(AB)$ के समांतर होता है और उसकी लंबाई $\frac{AB}{2} = \frac{c}{2}$ होती है (प्रमेय 59.1)। यही हर बग़ली फलक पर होता है, इसलिए चारों मध्यबिंदु भुजा $\frac c2$ का एक वर्ग बनाते हैं, जिसकी भुजाएँ आधार के समांतर हैं। और शिखर से गुज़रती खड़ी रेखा पर यह काट ऊँचाई के मध्यबिंदु से गुज़रती है (फिर वही मध्यबिंदु प्रमेय, $S$, आधार के केंद्र और आधार के किसी शीर्ष वाले त्रिभुज में): यानी काटने वाला तल ऊँचाई $\frac h2$ पर बैठता है।

12. ऊपर वाला टुकड़ा ख़ुद आधार-भुजा $\frac c2$ और ऊँचाई $\frac h2$ वाला वर्गाकार-आधार सम पिरामिड है (उसका आधार वही काट है और शिखर $S$)। उसका आयतन है

एक बटा आठ — यानी आधा नहीं।

13. छिन्नक के हिस्से बाक़ी सब आता है: $V - \frac V8 = \frac{7V}{8}$। आधी ऊँचाई वाली काट आयतन को $1 : 7$ के अनुपात में बाँटती है — यानी नीचे वाले मामूली दिखते हिस्से में ऊपर की नोक से सात गुना आयतन है।

14. आधी ऊँचाई से नीचे आयतन का $\frac78$ भाग पड़ता है। और $V = \frac13 \times 35^2 \times 22 = \frac{26\,950}{3} \approx 8\,983$ m$^3$ (अभ्यास 62.7) के साथ:

नज़दीकी सौ तक — यानी “नीचे वाला आधा” चरण ऊपर वाले से क़रीब आठ गुना काँच-आयतन साफ़ करता है।

15. हर नाप दुगुनी करने से आधार का क्षेत्रफल $2^2 = 4$ गुना और ऊँचाई $2$ गुनी हो जाती है, इसलिए आयतन $4 \times 2 = 8 = 2^3$ गुना। $k$ से बढ़ाने पर क्षेत्रफल $k^2$ गुने होते हैं और एक और लंबाई $k$ गुनी: यानी आयतन $k^3$ के गुणक से बढ़ता है। सवाल 12 वाला ऊपरी टुकड़ा पूरे पिरामिड की $k = \frac12$ वाली बढ़ाई-घटाई नक़ल है, इसलिए उसका आयतन पूरे का $\left(\frac12\right)^3 = \frac18$ है — यही एक पंक्ति वाली व्याख्या है।