प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9

22बड़ी संख्याओं का गुणा

पिछले साल हमने एक अंक से गुणा किया था (अध्याय 16); यह अध्याय दो अंकों की संख्याओं से गुणा करता है — और खानों वाले तरीक़े की रहस्यमयी “खिसकी हुई पंक्ति” समझाता है, जो दहाई और इकाई में तोड़ने के सिवा कुछ नहीं है।

22.1 दहाइयों से गुणा

प्रतिज्ञप्ति 22.1 (10, 20, 300 आदि से गुणा)

$10$ से गुणा करने पर एक शून्य जुड़ता है, $100$ से दो। $20$ से गुणा करने के लिए पहले $2$ से गुणा करो, फिर $10$ से:

36 \times 20 = 36 \times 2 \times 10 = 72 \times 10 = 720 .

इसी तरह $14 \times 300 = 14 \times 3 \times 100 = 4\,200$ ।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

22.2 दो अंकों वाला खानों का तरीक़ा

उदाहरण 22.2 (खिसकी हुई पंक्ति क्यों?)

$23 \times 12$ निकालने के लिए $12$ को $10 + 2$ में तोड़ो:

23 \times 12 = 23 \times 2 + 23 \times 10 = 46 + 230 = 276 .

खानों वाला तरीक़ा ठीक यही दो गुणनफल एक के नीचे एक लिखता है — दूसरा बाईं ओर खिसका हुआ, क्योंकि वह दहाइयों की संख्या है:

\begin{array}{r} 2\,3 \\ \times\ 1\,2 \\ \hline 4\,6 \\ 2\,3\,\cdot \\ \hline 2\,7\,6 \end{array}

(बिंदु खिसकी हुई पंक्ति का इकाई स्थान दिखाता है, जिसे अक्सर ख़ाली छोड़ दिया जाता है)।

23 × 12 का आयत-चित्र: चार आसान गुणनफल, 200 + 40 + 30 + 6 = 276। खानों वाला तरीक़ा इन्हें दो पंक्तियों में समेट देता है: 46 (“× 2” वाली पंक्ति) और 230 (“× 10” वाली पंक्ति)। — $23 \times 12$ का आयत-चित्र: चार आसान गुणनफल, $200 + 40 + 30 + 6 = 276$ । खानों वाला तरीक़ा इन्हें दो पंक्तियों में समेट देता है: $46$ (“ $\times 2$ ” वाली पंक्ति) और $230$ (“ $\times 10$ ” वाली पंक्ति)।

विधि 22.3 (दो अंकों की संख्या से खानों में गुणा)

$457 \times 36$ निकालने के लिए:

पहली पंक्ति: $457 \times 6 = 2\,742$ ;
दूसरी पंक्ति: $457 \times 3$ दहाई $= 1\,371$ दहाई — $1\,371$ को एक स्थान बाईं ओर खिसकाकर लिखो;
दोनों पंक्तियाँ जोड़ो: $2\,742 + 13\,710 = 16\,452$ ;
जाँच के लिए अंदाज़ा: $457 \times 36 \approx 500 \times 36 = 18\,000$ ? इससे बेहतर: $450 \times 36$ लगभग $16\,000$ है — भरोसेमंद।

\begin{array}{r} 4\,5\,7 \\ \times\ \ \,3\,6 \\ \hline 2\,7\,4\,2 \\ 1\,3\,7\,1\,\cdot \\ \hline 1\,6\,4\,5\,2 \end{array}

उदाहरण 22.4 (मानसिक तरकीबें)

मिलनसार ढंग से तोड़ो: $18 \times 11 = 18 \times 10 + 18 = 198$ ।
सौ के पड़ोसी का उपयोग: $25 \times 99 = 25 \times 100 - 25 = 2\,475$ ।
एक को दुगुना, दूसरे को आधा: $16 \times 35 = 8 \times 70 = 560$ (एक गुणक को आधा और दूसरे को दुगुना करने से गुणनफल वही रहता है)।

22.3 समस्याओं में गुणा

उदाहरण 22.5

एक विद्यालय $145$ - $145$ काग़ज़ों के $28$ डिब्बे मँगाता है।

संक्रिया: $145 \times 28$ ।
अंदाज़ा: $150 \times 30 = 4\,500$ , दोनों ओर से थोड़ा ज़्यादा।
खाने: $145 \times 8 = 1\,160$ ; $145 \times 2$ दहाई $= 2\,900$ ; कुल $4\,060$ ।
वाक्य: विद्यालय को $4\,060$ काग़ज़ मिलते हैं।

22.4 अभ्यास

अभ्यास 22.1 ★

मन-ही-मन निकालो: $47 \times 10$ ; $23 \times 100$ ; $36 \times 20$ ; $15 \times 300$ ; $42 \times 50$ ।

हल

हल — अभ्यास 22.1.

$470$ ; $2\,300$ ; $720$ ; $4\,500$ ; $2\,100$ ।

अभ्यास 22.2 ★

$34 \times 21$ को उदाहरण 22.2 की तरह तोड़कर निकालो ( $34 \times 21 = 34 \times 20 + 34$ ), फिर खानों में जाँचो।

हल

हल — अभ्यास 22.2.

$34 \times 21 = 34 \times 20 + 34 = 680 + 34 = 714$ ; खाने भी वही दो पंक्तियाँ देते हैं: $34$ और $680$ ।

अभ्यास 22.3 ★

खानों में निकालो: $63 \times 24$ ; $85 \times 47$ ; $126 \times 53$ ।

हल

हल — अभ्यास 22.3.

$63 \times 24 = 1\,512$ ; $85 \times 47 = 3\,995$ ; $126 \times 53 = 6\,678$ ।

अभ्यास 22.4 ★

पहले अंदाज़ा लगाकर खानों में निकालो: $208 \times 34$ ; $517 \times 62$ ।

हल

हल — अभ्यास 22.4.

$208 \times 34$ : अंदाज़ा $200 \times 34 = 6\,800$ ; ठीक-ठीक $7\,072$ ।

$517 \times 62$ : अंदाज़ा $500 \times 60 = 30\,000$ ; ठीक-ठीक $32\,054$ ।

अभ्यास 22.5 ★

उदाहरण 22.4 की किसी तरकीब से निकालो: $45 \times 11$ ; $32 \times 99$ ; $24 \times 45$ (दुगुना और आधा — चाहो तो दो बार)।

हल

हल — अभ्यास 22.5.

$45 \times 11 = 450 + 45 = 495$ ।

$32 \times 99 = 3\,200 - 32 = 3\,168$ ।

$24 \times 45 = 12 \times 90 = 1\,080$ (या एक बार और: $6 \times 180 = 1\,080$ )।

अभ्यास 22.6 ★

एक सिनेमाघर में $18$ - $18$ सीटों की $26$ पंक्तियाँ हैं। कुल कितनी सीटें?

हल

हल — अभ्यास 22.6.

$26 \times 18 = 468$ सीटें।

अभ्यास 22.7 ★

एक ट्रक $48$ - $48$ पेटियों के $32$ फट्टे ढोता है। कुल कितनी पेटियाँ? पहले अंदाज़ा दो, फिर ठीक उत्तर।

हल

हल — अभ्यास 22.7.

अंदाज़ा: $30 \times 50 = 1\,500$ । ठीक-ठीक: $32 \times 48 = 1\,536$ पेटियाँ।

अभ्यास 22.8 ★

ग़लती ढूँढ़ो: अना $57 \times 23$ ऐसे निकालती है: $57 \times 3 = 171$ और $57 \times 2 = 114$ , फिर $171 + 114 = 285$ । सही उत्तर $1\,311$ है। वह क्या भूल गई?

हल

हल — अभ्यास 22.8.

वह भूल गई कि $23$ का $2$ दहाई गिनता है: दूसरी पंक्ति $57 \times 20 = 1\,140$ होनी चाहिए, $114$ नहीं। सही कुल: $171 + 1\,140 = 1\,311$ ।

अभ्यास 22.9 ★★

एक माली $35$ - $35$ ट्यूलिप की $14$ पंक्तियाँ और $28$ - $28$ नरगिस की $12$ पंक्तियाँ लगाता है। कुल कितने फूल? (दो गुणनफल, फिर एक योगफल।)

हल

हल — अभ्यास 22.9.

ट्यूलिप: $14 \times 35 = 490$ । नरगिस: $12 \times 28 = 336$ । कुल: $490 + 336 = 826$ फूल।

अभ्यास 22.10 ★★

एक नानबाई रोज़ $67$ kg आटा इस्तेमाल करता है। $30$ दिनों के महीने में यह लगभग कितना आटा हुआ — गोल की हुई संख्याओं से अंदाज़ा लगाओ, फिर ठीक-ठीक निकालो।

हल

हल — अभ्यास 22.10.

अंदाज़ा: $70 \times 30 = 2\,100$ kg। ठीक-ठीक: $67 \times 30 = 2\,010$ kg।

अभ्यास 22.11 ★★

इस अध्याय जैसे आयत-चित्र से समझाओ कि $15 \times 12$ को $15 \times 10 + 15 \times 2$ के रूप में क्यों निकाला जा सकता है। फिर $15 \times 12$ को तोड़ने का एक और चलने वाला तरीक़ा सोचो।

हल

हल — अभ्यास 22.11.

इकाई वर्गों के $15 \times 12$ आयत को एक खड़ी रेखा से $15 \times 10$ और $15 \times 2$ के हिस्सों में काटा जा सकता है: दोनों हिस्से गिनने पर $150 + 30 = 180$ मिलता है। दूसरी कटाई भी उतनी ही अच्छी चलती है, जैसे $15 = 10 + 5$ : $10 \times 12 + 5 \times 12 = 120 + 60 = 180$ । आयत को कैसे भी काटो, वर्गों की कुल संख्या नहीं बदलती।