प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9

56घातें

काग़ज़ की एक शीट को $10$ बार आधा-आधा मोड़ो (अगर मोड़ सको!): उसकी मोटाई हर बार दुगुनी होती है, और $10$ बार दुगुना करने से वह $2^{10} = 1024$ गुनी हो जाती है। घातें बार-बार किए गए गुणा की छोटी लिखावट हैं; यह अध्याय वह लिखावट और उसके नियम बनाता है, और $10$ की घातों को ख़ास जगह देता है।

56.1 परिभाषा

परिभाषा 56.1 (घात)

किसी संख्या $a$ और किसी पूर्ण संख्या $n \geq 1$ के लिए:

a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ गुणक}},

जिसे “ $a$ की घात $n$ ” पढ़ते हैं; $a$ आधार है और $n$ घातांक। ख़ास नाम: $a^2$ यानी “ $a$ का वर्ग”, $a^3$ यानी “ $a$ का घन”। और यह तय किया गया है:

a^1 = a, \qquad a^0 = 1 \ (a \neq 0), \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}.

उदाहरण 56.2

$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ ; $10^3 = 1000$ ; $5^{-2} = \frac{1}{25} = 0.04$ ; $(-2)^3 = -8$ और $(-2)^4 = +16$ (उदाहरण 54.5)। सावधान: $a^n$ , $a \times n$ नहीं है: $2^5 = 32$ होता है, $10$ नहीं।

2 की घातें: हर पट्टी पिछली से दुगुनी है। बार-बार गुणा से होने वाली बढ़त बार-बार जोड़ने से होने वाली बढ़त के मुक़ाबले कहीं तेज़ भागती है। — $2$ की घातें: हर पट्टी पिछली से दुगुनी है। बार-बार गुणा से होने वाली बढ़त बार-बार जोड़ने से होने वाली बढ़त के मुक़ाबले कहीं तेज़ भागती है।

56.2 घातांक के नियम

प्रमेय 56.3 (घातांक के नियम)

किसी शून्येतर आधार $a$ और पूर्ण-संख्या घातांकों $m$ , $n$ के लिए:

a^m \times a^n = a^{m+n}, \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \qquad \left(a^m\right)^n = a^{m \times n}, \qquad (ab)^n = a^n b^n .

गुणक गिनकर प्रमाण. $a^m \times a^n$ में $a$ के $m$ गुणकों के बाद $n$ गुणक और लग जाते हैं: कुल $m + n$ । $\left(a^m\right)^n$ में $m$ गुणकों का एक गुच्छा $n$ बार दोहराया जाता है: $mn$ गुणक। $(ab)^n$ में $a$ के $n$ अक्षर और $b$ के $n$ अक्षर होते हैं, जिन्हें नए सिरे से जमाया जा सकता है। भागफल वाला नियम $m$ में से $n$ गुणक काट देने से आता है; और $a^0 = 1$ तथा $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ तय कर लेने पर वह $n \geq m$ होने पर भी सही रहता है। ∎

उदाहरण 56.4

2^3 \times 2^5 = 2^8 = 256, \qquad \frac{7^6}{7^4} = 7^2 = 49, \qquad \left(5^2\right)^3 = 5^6, \qquad 2^4 \times 5^4 = 10^4 .

एक जाल: ये नियम एक ही आधार पर लगते हैं (या आख़िरी नियम के लिए एक ही घातांक पर)। $2^3 \times 5^2$ को कोई नियम सरल नहीं करता — बस निकाल डालो: $8 \times 25 = 200$ ।

56.3 दस की घातें

प्रतिज्ञप्ति 56.5 (दस की घातें)

$n \geq 1$ के लिए: $10^n = 1\underbrace{0\dots0}_{n}$ , और $10^{-n} = 0.\underbrace{0\dots0}_{n-1}1$ । घातांक के नियम यहाँ ऐसे पढ़े जाते हैं: दस की घातें गुणा करने पर घातांक जुड़ जाते हैं।

उदाहरण 56.6

$10^4 \times 10^3 = 10^7$ ; $\dfrac{10^2}{10^5} = 10^{-3} = 0.001$ । बड़ी और छोटी राशियाँ पढ़ने लायक़ हो जाती हैं:

\text{एक बिलियन} = 10^9, \qquad \text{एक मिलियनवाँ भाग} = 10^{-6}.

दशमलव के साथ मिलाकर: $3.2 \times 10^5 = 320\,000$ और $4.7 \times 10^{-3} = 0.0047$ (दशमलव बिंदु सरका दो, प्रतिज्ञप्ति 38.7)। इस लिखावट का बाक़ायदा इस्तेमाल — वैज्ञानिक लेखन — अध्याय 63 में आता है।

उदाहरण 56.7 (कोटि-क्रम)

प्रकाश क़रीब $3 \times 10^8$ m/s चलता है; और एक साल में क़रीब $3.2 \times 10^7$ सेकंड होते हैं। इसलिए एक प्रकाश-वर्ष क़रीब

3 \times 3.2 \times 10^{8+7} \approx 10 \times 10^{15} = 10^{16} \text{ m}

— यानी दस मिलियन बिलियन मीटर। दस की घातें खगोल की गणनाओं को एक ही पंक्ति में समेट देती हैं।

विधि 56.8 (घातों वाला व्यंजक सरल करना)

गुणकों को आधार के हिसाब से गुच्छों में बाँटो;
प्रत्येक आधार के भीतर घातांक के नियम लगाओ;
बची हुई छोटी घातें निकाल डालो, या उत्तर बड़ा हो तो उसे घात के रूप में ही रहने दो।

उदाहरण 56.9

\frac{3^5 \times 3^{-2} \times 4^2}{3^2} = \frac{3^{5 + (-2)}}{3^2} \times 16 = 3^{3 - 2} \times 16 = 3 \times 16 = 48 .

56.4 अभ्यास

अभ्यास 56.1 ★

गणना करो:

2^6, \qquad 3^3, \qquad 10^5, \qquad 1^{100}, \qquad 0.1^2, \qquad 6^0 .

हल

हल — अभ्यास 56.1.

$2^6 = 64$ ; $3^3 = 27$ ; $10^5 = 100\,000$ ; $1^{100} = 1$ ; $0.1^2 = 0.01$ ; $6^0 = 1$ .

अभ्यास 56.2 ★

गणना करो:

(-3)^2, \qquad -3^2, \qquad (-1)^{15}, \qquad (-5)^3, \qquad \left(\tfrac{2}{3}\right)^2 .

हल

हल — अभ्यास 56.2.

$(-3)^2 = 9$ ; $-3^2 = -9$ ; $(-1)^{15} = -1$ ; $(-5)^3 = -125$ ; $\left(\frac23\right)^2 = \frac49$ .

अभ्यास 56.3 ★

एक ही घात के रूप में लिखो:

7^4 \times 7^5, \qquad \frac{2^9}{2^3}, \qquad \left(10^3\right)^4, \qquad 5^6 \times 5^{-2}, \qquad 3^4 \times 7^4 .

हल

हल — अभ्यास 56.3.

$7^4 \times 7^5 = 7^9$ ; $\dfrac{2^9}{2^3} = 2^6$ ; $\left(10^3\right)^4 = 10^{12}$ ; $5^6 \times 5^{-2} = 5^4$ ; $3^4 \times 7^4 = 21^4$ (एक ही घातांक: आधार गुणा कर दो)।

अभ्यास 56.4 ★

दशमलव संख्या के रूप में लिखो: $10^{-2}$ ; $4 \times 10^3$ ; $2.5 \times 10^{-4}$ ; $10^0$ ।

हल

हल — अभ्यास 56.4.

$10^{-2} = 0.01$ ; $4 \times 10^3 = 4000$ ; $2.5 \times 10^{-4} = 0.00025$ ; $10^0 = 1$ .

अभ्यास 56.5 ★

दस की घात के साथ लिखो: एक लाख; एक दसवाँ भाग; दस बिलियन; $0.000\,001$ ।

हल

हल — अभ्यास 56.5.

$10^5$ ; $10^{-1}$ ; $10^{10}$ ; $10^{-6}$ .

अभ्यास 56.6 ★

सरल करो, फिर गणना करो:

\frac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2}, \qquad \frac{2^5 \times 2^4}{2^6}, \qquad \left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} .

हल

हल — अभ्यास 56.6.

$\dfrac{10^7 \times 10^{-3}}{10^2} = \dfrac{10^4}{10^2} = 10^2 = 100$ .

$\dfrac{2^5 \times 2^4}{2^6} = \dfrac{2^9}{2^6} = 2^3 = 8$ .

$\left(2^2\right)^3 \times 2^{-4} = 2^6 \times 2^{-4} = 2^2 = 4$ .

अभ्यास 56.7 ★

सही या ग़लत? जो ग़लत हों उन्हें ठीक करो।

2^3 \times 2^4 = 2^{12}; \qquad 5^2 + 5^3 = 5^5; \qquad (3^2)^4 = 3^8; \qquad 10^3 \times 10^3 = 100^3 .

हल

हल — अभ्यास 56.7.

$2^3 \times 2^4 = 2^{12}$ : ग़लत — घातांक जुड़ते हैं: $2^7$ ।

$5^2 + 5^3 = 5^5$ : ग़लत — योग के लिए कोई नियम नहीं है: $25 + 125 = 150$ , जबकि $5^5 = 3125$ ।

$(3^2)^4 = 3^8$ : सही।

$10^3 \times 10^3 = 100^3$ : सही — दोनों $10^6$ के बराबर हैं (बाएँ: $10^{3+3}$ ; दाएँ: $(10^2)^3$ )।

अभ्यास 56.8 ★★

एक अफ़वाह फैलती है: पहले दिन तीन लोग उसे जानते हैं; और हर दिन, जानने वाला हर आदमी तीन नए लोगों को बताता है। चौथे दिन जिन्हें नई ख़बर मिली उनकी संख्या घात के साथ लिखो, और निकालो कि चौथे दिन के अंत तक कितने लोग अफ़वाह जानते हैं (शुरुआती तीन समेत)।

हल

हल — अभ्यास 56.8.

चौथे दिन के नए लोग: तीसरे दिन ख़बर पाने वाले $3^3 = 27$ लोगों में से हर एक तीन और को बताता है: $3^4 = 81$ । चौथे दिन के अंत तक जानने वाले: $3 + 9 + 27 + 81 = 120$ लोग।

अभ्यास 56.9 ★★

काग़ज़ की एक शीट $0.1$ mm मोटी है, यानी $10^{-4}$ m। उसे मोड़ने पर मोटाई हर बार दुगुनी हो जाती है।

$10$ बार मोड़ने के बाद की मोटाई एक गुणनफल के रूप में लिखो, और उसे सेंटीमीटर में निकालो ( $2^{10} = 1024$ )।
$42$ बार मोड़ने के बाद मोटाई $2^{42} \times 10^{-4}$ m होगी, जहाँ $2^{42} \approx 4.4 \times 10^{12}$ । दिखाओ कि यह पृथ्वी–चंद्रमा की दूरी, क़रीब $3.8 \times 10^8$ m, से भी ज़्यादा है।

हल

हल — अभ्यास 56.9.

1. मोटाई: $2^{10} \times 10^{-4}$ m $= 1024 \times 10^{-4}$ m $\approx 0.1$ m $= 10$ cm।

2. $2^{42} \times 10^{-4} \approx 4.4 \times 10^{12} \times 10^{-4} = 4.4 \times 10^8$ m, जो $3.8 \times 10^8$ m से बड़ा है: $42$ बार (काग़ज़ पर!) मोड़ने के बाद काग़ज़ का गट्ठर चंद्रमा से आगे निकल जाता।

अभ्यास 56.10 ★★

बिना कैलकुलेटर के छोटे से बड़े के क्रम में लगाओ:

2^{10}, \qquad 10^3, \qquad 3^6, \qquad 5^4 .

(हर एक निकालो; $2^{10}$ और $10^3$ मशहूर पड़ोसी हैं।)

हल

हल — अभ्यास 56.10.

$2^{10} = 1024$ ; $10^3 = 1000$ ; $3^6 = 729$ ; $5^4 = 625$ । क्रम:

5^4 < 3^6 < 10^3 < 2^{10} .

अभ्यास 56.11 ★★★

कौन बड़ा है, $2^{100}$ या $10^{30}$ ? $2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10}$ की तुलना $\left(10^3\right)^{10}$ से करने के लिए $2^{10} = 1024 > 10^3$ इस्तेमाल करो।

हल

हल — अभ्यास 56.11.

$2^{100} = \left(2^{10}\right)^{10} = 1024^{10}$ और $10^{30} = \left(10^3\right)^{10} = 1000^{10}$ । चूँकि $1024 > 1000$ है, दोनों की दस-दस नक़लें गुणा करने पर असमिका बनी रहती है: $2^{100} > 10^{30}$ ।

56.5 समस्या: शतरंज की बिसात और दो की घातें

समस्या 56.1

सप्ताहांत समस्या — गुणोत्तर योग $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1$ , एक मशहूर किंवदंती से द्विआधारी संख्याओं तक

किंवदंती यह है: शतरंज बनाने के इनाम में सिस्सा नाम के विद्वान ने अपने राजा से बिसात के पहले ख़ाने पर गेहूँ का एक दाना माँगा, दूसरे पर दो, तीसरे पर चार — ख़ाने-दर-ख़ाने दुगुना करते हुए, चौंसठवें तक। राजा उसकी इतनी छोटी माँग पर हँस पड़ा। यह समस्या प्रमेय 56.3 के घातांक-नियमों से निकालती है कि राजा ने वादा क्या किया था, और वहीं ख़त्म होती है जहाँ यह कहानी चुपके से ले जाती है: हर कंप्यूटर के भीतर बैठी द्विआधारी संख्याएँ।

भाग I — दुगुना करने वाली तरकीब। $n \geq 1$ के लिए मान लो $S_n$ पहले $n$ ख़ानों पर पड़े दानों की कुल संख्या है।

ख़ाने $k$ पर पड़े दानों की संख्या $2$ की घात के रूप में लिखो। ख़ाने $64$ पर कौन-सी घात बैठती है?
$S_1$ , $S_2$ , $S_3$ , $S_4$ और $S_5$ निकालो, और हर एक की तुलना $2$ की पास वाली घात से करो। $S_n$ का सूत्र अटकलो।
दुगुना करने वाली तरकीब: योग $S_n$ और $2 \times S_n$ एक के नीचे एक लिखो, घटाओ, और अपनी अटकल सिद्ध करो:

$S_n = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} = 2^n - 1 .$
राजा ने कुल कितने दानों का वादा किया? उत्तर $2$ की घात के साथ लिखो, और यह जाना-पहचाना वाक्य पूरा करो: “पूरी बिसात पर उतने दाने हैं जितने अकेले एक पैंसठवें ख़ाने पर होते, बस एक कम।”
दिखाओ कि बिसात के दूसरे आधे हिस्से (ख़ाने $33$ से $64$ ) पर पहले आधे हिस्से से ठीक $2^{32}$ गुने दाने हैं।

भाग II — $2^{64}$ कितना बड़ा है? अभ्यास 56.11 वाली तुलना $2^{10} = 1024 > 10^3$ नीचे के सारे अंदाज़ों की चाबी है।

दिखाओ कि $2^{64} = 2^4 \times \left(2^{10}\right)^6 > 1.6 \times 10^{19}$ ।
गेहूँ के एक दाने का वज़न क़रीब $0.05$ g होता है, यानी $5 \times 10^{-2}$ g। दिखाओ कि वादा किए गए गेहूँ का वज़न $8 \times 10^{17}$ g से ज़्यादा है, और उसे टन में बदलो ( $1$ टन $= 10^6$ g)।
आज पूरी दुनिया साल भर में क़रीब $8 \times 10^8$ टन गेहूँ उगाती है। राजा ने कम से कम कितने साल की दुनिया भर की फ़सल का वादा कर डाला?
वह सबसे छोटी पूर्ण संख्या $n$ ढूँढ़ो जिसके लिए $2^n > 10^6$ हो — यानी दस लाख पार करने में कितनी बार दुगुना करना पड़ता है। ( $2^{10} = 1024$ से $2^{19}$ और $2^{20}$ ठीक-ठीक निकालो।)
एक ठग तुम्हें एक महीने की तनख़्वाह का लालच देता है: पहले दिन $1$ सेंट, फिर हर दिन पिछले दिन की तनख़्वाह का दुगुना। किस दिन अकेली उस दिन की तनख़्वाह पहली बार दस लाख यूरो ( $10^8$ सेंट) से ऊपर निकलती है? ( $2^{26}$ और $2^{27}$ ठीक-ठीक निकालो।)

भाग III — द्विआधारी बाट। एक व्यापारी के पास पाँच बाट हैं: $1$ , $2$ , $4$ , $8$ और $16$ ग्राम के, हर एक का एक। वह उनमें से कुछ तराज़ू के एक पलड़े पर रखकर दूसरे पलड़े पर रखा सामान तोलती है।

$21$ g तोलने के लिए वह कौन-से बाट रखेगी? और $27$ g तोलने के लिए?
समझाओ कि $16$ g या उससे ज़्यादा के किसी भी सामान में $16$ g वाला बाट लगना ही पड़ेगा, और $15$ g या उससे कम के किसी भी सामान में वह नहीं लग सकता। (सवाल 3 बताता है कि बाट $1, 2, 4, 8$ ज़्यादा से ज़्यादा कहाँ तक पहुँचते हैं।) समझाओ कि हर चरण पर, उससे अगले बड़े बाट के साथ यही तर्क दोहरा जाता है।
इससे निकालो कि $1$ से $31$ g तक का हर पूर्ण-संख्या सामान तोला जा सकता है, और ठीक एक ही तरीक़े से: $1$ और $31$ के बीच की हर संख्या अलग-अलग $2$ की घातों का योग एक ही ढंग से बनती है।
व्यापारी $32$ g का छठा बाट ख़रीद लेती है। अब वह कहाँ तक तोल सकती है? $45$ g को अलग-अलग $2$ की घातों के योग के रूप में लिखो।
किसी कंप्यूटर में “64-बिट” संख्या $64$ ख़ानों पर रखी जाती है, और हर ख़ाने में या तो $0$ होता है या $1$ — ख़ाना $k$ , $1$ होने पर $2^{k-1}$ का योगदान देता है, ठीक किंवदंती के दानों की तरह। भाग I से समझाओ कि ऐसी मशीन जो पूर्ण संख्याएँ रख सकती है वे ठीक $0$ से $2^{64} - 1$ तक ही क्यों हैं।

हल

हल — समस्या 56.1.

1. दाने $1 = 2^0$ से शुरू होकर ख़ाने-दर-ख़ाने दुगुने होते हैं: ख़ाने $k$ पर $2^{k-1}$ दाने हैं (परिभाषा 56.1)। ख़ाने $64$ पर $2^{63}$ हैं।

2. $S_1 = 1$ , $S_2 = 1 + 2 = 3$ , $S_3 = 3 + 4 = 7$ , $S_4 = 7 + 8 = 15$ , $S_5 = 15 + 16 = 31$ : हर बार $2$ की अगली घात ( $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $32$ ) से एक कम। अटकल: $S_n = 2^n - 1$ ।

3. $S_n$ के हर पद को दुगुना करने से हर घात एक क़दम ऊपर सरक जाती है ( $2 \times 2^{k} = 2^{k+1}$ ):

\begin{align*} S_n &= 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n-1}, \\ 2 \times S_n &= \phantom{1 + {}} 2 + 4 + \dots + 2^{n-1} + 2^n . \end{align*}

पहली पंक्ति को दूसरी में से घटाने पर $2$ से $2^{n-1}$ तक का हर पद दोनों में आता है और कट जाता है:

2 \times S_n - S_n = 2^n - 1, \qquad\text{यानी}\qquad S_n = 2^n - 1 .

4. कुल $S_{64} = 2^{64} - 1$ दाने हैं। एक पैंसठवें ख़ाने पर $2^{64}$ दाने होते: पूरी बिसात पर ठीक उससे एक दाना कम है।

5. पहले आधे हिस्से पर $S_{32} = 2^{32} - 1$ दाने हैं। पूरी बिसात पर $2^{64} - 1$ हैं, इसलिए दूसरे आधे हिस्से पर

\left(2^{64} - 1\right) - \left(2^{32} - 1\right) = 2^{64} - 2^{32} = 2^{32} \times \left(2^{32} - 1\right)

( $2^{32}$ को बाहर निकालकर, और $2^{32} \times 2^{32} = 2^{64}$ का इस्तेमाल करते हुए, प्रमेय 56.3): यानी ठीक पहले आधे हिस्से का $2^{32}$ गुना।

6. घातांक के नियमों से $2^{64} = 2^{4 + 60} = 2^4 \times \left(2^{10}\right)^6$ । और $2^{10} = 1024 > 10^3$ है, इसलिए

2^{64} > 16 \times \left(10^3\right)^6 = 16 \times 10^{18} = 1.6 \times 10^{19} .

7. $1.6 \times 10^{19}$ से ज़्यादा दाने, हर एक $5 \times 10^{-2}$ g का:

1.6 \times 10^{19} \times 5 \times 10^{-2} = 8 \times 10^{17} \text{ g} .

$10^6$ g प्रति टन से भाग देने पर: $8 \times 10^{11}$ टन से ज़्यादा — यानी आठ सौ बिलियन टन।

8. $\dfrac{8 \times 10^{11}}{8 \times 10^{8}} = 10^3$ : राजा ने आज की पूरी दुनिया की कम से कम एक हज़ार साल की फ़सल का वादा कर डाला। (किंवदंती कहती है कि उसके सलाहकारों ने उसे यही बताया था।)

9. $2^{19} = 2^9 \times 2^{10} = 512 \times 1024 = 524\,288 < 10^6$ , जबकि $2^{20} = \left(2^{10}\right)^2 = 1024^2 = 1\,048\,576 > 10^6$ । इसलिए सबसे छोटा घातांक $n = 20$ है: बीस बार दुगुना करने पर दस लाख पार हो जाता है।

10. दिन $n$ की तनख़्वाह $2^{n-1}$ सेंट है (पहला दिन: $2^0 = 1$ )। अब

2^{26} = 2^6 \times \left(2^{10}\right)^2 = 64 \times 1\,048\,576 = 67\,108\,864 < 10^8,

2^{27} = 2 \times 2^{26} = 134\,217\,728 > 10^8 .

इसलिए उस दिन की तनख़्वाह पहली बार $10^8$ सेंट से ऊपर तब निकलती है जब $n - 1 = 27$ हो: यानी अट्ठाईसवें दिन।

11. $21 = 16 + 4 + 1$ : बाट $16$ , $4$ और $1$ g के। $27 = 16 + 8 + 2 + 1$ : बाट $16$ , $8$ , $2$ और $1$ g के।

12. सवाल 3 से बाट $1, 2, 4, 8$ मिलकर $S_4 = 2^4 - 1 = 15$ g बनाते हैं। इसलिए $16$ g वाले बाट के बिना व्यापारी $15$ g से आगे जा ही नहीं सकती: $16$ g या उससे ज़्यादा के सामान में वह बाट लगना ही है। और $15$ g या उससे कम के सामान में वह लग नहीं सकता, क्योंकि अकेला $16$ g वाला बाट ही सामान से भारी है। इसलिए सबसे बड़े बाट का चुनाव तय है। अब बचता है ज़्यादा से ज़्यादा $15$ g का सामान, जिसे $1, 2, 4, 8$ से बनाना है — और वही तर्क दोहरा जाता है: $8$ तय है (बचे सामान के $\geq 8$ होने पर लगेगा, वरना नहीं, क्योंकि $1 + 2 + 4 = 7$ ), फिर $4$ (क्योंकि $1 + 2 = 3$ ), फिर $2$ , फिर $1$ ।

13. इन तय चुनावों पर चलते हुए, हर चरण के बाद बचा हुआ सामान बचे हुए बाटों के कुल से ज़्यादा नहीं होता, इसलिए यह सिलसिला शेषफल $0$ पर ख़त्म होता है: $1$ से $31$ तक का हर सामान तोल लिया जाता है। और चूँकि रास्ते का हर चुनाव तय था, इसलिए बाटों का कोई और चुनाव उसी सामान तक नहीं पहुँच सकता: $1$ से $31$ तक की हर संख्या का अलग-अलग $2$ की घातों के योग वाला लेखन होता है और वह अकेला होता है।

14. छहों बाट मिलकर $S_6 = 2^6 - 1 = 63$ g बनाते हैं, और वही तय-चुनाव वाला तर्क $1$ से $63$ g तक के हर सामान को ढक लेता है। $45$ के लिए: सामान $\geq 32$ है, इसलिए $32$ लगाओ; बचा $13 < 16$ , इसलिए $16$ छोड़ो; $8$ लगाओ (बचा $5$ ), $4$ लगाओ (बचा $1$ ), $2$ छोड़ो, $1$ लगाओ:

45 = 32 + 8 + 4 + 1 = 2^5 + 2^3 + 2^2 + 2^0 .

15. $64$ ख़ानों में से हर एक पर $0$ या $1$ चुनना असल में यह चुनना है कि योग में $2^0, 2^1, \dots, 2^{63}$ में से कौन-कौन सी घातें डालनी हैं — ठीक वैसे ही जैसे व्यापारी $64$ बाटों से तोलती। सबसे छोटी रखी जा सकने वाली संख्या $0$ है (सारे ख़ाने $0$ पर); और सबसे बड़ी सारी घातों का योग है, जो राजा वाला कुल ही है: $S_{64} = 2^{64} - 1$ (भाग I)। तय-चुनाव वाले तर्क से बीच की हर पूर्ण संख्या ठीक एक बार बनती है: इसलिए $64$ -बिट मशीन ठीक $0$ से $2^{64} - 1$ तक की पूर्ण संख्याएँ ही रखती है।