प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9

49समानुपात

पिछले साल समानुपाती सारणियाँ मिली थीं (अध्याय 44); यह अध्याय समानुपात को एक पूरा औज़ार बना देता है: चौथा मान निकालने का तिरछा नियम, प्रतिशत, और नक़्शों तथा नमूनों की मापनी। सबसे मशहूर समानुपात — चाल — अध्याय 61 में पढ़ा जाएगा।

49.1 सारणियाँ पहचानना और पूरी करना

परिभाषा 49.1 (समानुपात सारणी)

दो पंक्तियों वाली कोई सारणी समानुपात सारणी तब होती है जब दूसरी पंक्ति की संख्याएँ पहली पंक्ति की संख्याओं को एक ही तयशुदा संख्या — गुणांक — से गुणा करने पर मिलें। यही बात दूसरे शब्दों में: सारे स्तंभों के भागफल $\frac{\text{नीचे}}{\text{ऊपर}}$ बराबर हों।

उदाहरण 49.2

ऊपर	$4$	$10$	$14$
नीचे	$6$	$15$	$21$

भागफल: $\frac64 = 1.5$ , $\frac{15}{10} = 1.5$ , $\frac{21}{14} = 1.5$ : समानुपाती, गुणांक $1.5$ ।

प्रमेय 49.3 (तिरछा नियम)

जिस समानुपात सारणी के स्तंभ $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ और $\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ हों, उसमें तिरछे गुणनफल बराबर होते हैं:

a \times d = b \times c .

इससे तीन मानों से चौथा मान निकाला जा सकता है: $d = \dfrac{b \times c}{a}$ ।

उपपत्ति. मान लो गुणांक $k$ है: $b = ka$ और $d = kc$ । तब

a \times d = a \times kc = k \times ac, \qquad b \times c = ka \times c = k \times ac :

दोनों तिरछे गुणनफल $k \times ac$ के बराबर हैं। $ad = bc$ को $a$ से भाग देने पर $d$ वाला सूत्र मिल जाता है। ∎

उदाहरण 49.4 (चौथा समानुपाती)

एक जैसी $7$ किताबों का वज़न $2.8$ kg है, तो ऐसी $12$ किताबों का वज़न कितना होगा? सारणी और तिरछा नियम:

किताबें	$7$	$12$
kg	$2.8$	$m$

7 \times m = 2.8 \times 12 \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{2.8 \times 12}{7} = \frac{33.6}{7} = 4.8 \text{ kg}.

मात्रक से जाँच: एक किताब का वज़न $0.4$ kg, बारह का $4.8$ kg।

49.2 प्रतिशत

विधि 49.5 (प्रतिशत लगाना और निकालना)

$t\,\%$ लगाना: $\frac{t}{100}$ से गुणा करो ( $350$ का $12\,\%$ है $0.12 \times 350 = 42$ );
कोई हिस्सा कितने प्रतिशत है, यह निकालना: $\frac{\text{हिस्सा}}{\text{पूरा}}$ निकालो और उसे $100$ के ऊपर लिखो ( $60$ में से $21$ : $\frac{21}{60} = \frac{35}{100} = 35\,\%$ );
हमेशा पूछो: किसका प्रतिशत? किसे पूरा माना गया है, यह मायने रखता है।

उदाहरण 49.6

एक स्कूल में $400$ में से $180$ विद्यार्थी लड़कियाँ हैं। प्रतिशत:

\frac{180}{400} = \frac{180 \div 4}{400 \div 4} = \frac{45}{100} = 45\,\% .

दूसरी तरफ़: $55\,\%$ लड़के कितने हैं? $0.55 \times 400 = 220$ । जाँच: $180 + 220 = 400$ ।

49.3 मापनी

परिभाषा 49.7 (मापनी)

$\frac{1}{n}$ मापनी ( $1 : n$ लिखी जाने वाली) के किसी नक़्शे या नमूने पर नक़्शे की दूरियाँ असली दूरियों के समानुपाती होती हैं, गुणांक $\frac1n$ के साथ:

\text{नक़्शे की दूरी} = \frac{1}{n} \times \text{असली दूरी},

और दोनों एक ही मात्रक में नापी जाती हैं।

उदाहरण 49.8

$1 : 50\,000$ मापनी वाले नक़्शे पर दो शहर $7$ cm दूर हैं। असली दूरी:

7 \times 50\,000 = 350\,000 \text{ cm} = 3\,500 \text{ m} = 3.5 \text{ km}.

उलटी तरफ़, $12$ km लंबी पैदल राह नक़्शे पर इतनी नापती है: $12$ km $= 1\,200\,000$ cm, इसलिए $1\,200\,000 \div 50\,000 = 24$ cm।

मापनी एक समानुपात है: नक़्शे की दूरियाँ असली दूरियों के सामने रखने पर मूलबिंदु से जाती एक सीधी रेखा पर बैठती हैं (यहाँ 1 cm 4 km; बिंदुदार रेखाएँ 7 cm 28 km पढ़ती हैं)। — मापनी एक समानुपात है: नक़्शे की दूरियाँ असली दूरियों के सामने रखने पर मूलबिंदु से जाती एक सीधी रेखा पर बैठती हैं (यहाँ $1$ cm $\leftrightarrow$ $4$ km; बिंदुदार रेखाएँ $7$ cm $\leftrightarrow$ $28$ km पढ़ती हैं)।

टिप्पणी 49.9

समानुपात की सबसे तेज़ जाँच आलेख है (अध्याय 44): मूलबिंदु से जाती सीधी रेखा पर पड़े बिंदु समानुपाती राशियाँ बताते हैं; जो सीधी रेखा मूलबिंदु से नहीं जाती (जैसे तयशुदा भाड़े वाली टैक्सी का किराया) वह समानुपात नहीं है, भले ही वह सीधी रेखा हो। अध्याय 67 के एकघाती फलन इसे ठीक-ठीक कहेंगे।

49.4 अभ्यास

अभ्यास 49.1 ★

कौन-सी सारणियाँ समानुपात सारणी हैं? जहाँ गुणांक हो, वहाँ वह भी बताओ।

	$3$	$7$	$11$
	$7.5$	$17.5$	$27.5$

	$2$	$5$	$9$
	$6$	$15$	$28$

हल

हल — अभ्यास 49.1.

पहली सारणी: भागफल $\frac{7.5}{3} = 2.5$ , $\frac{17.5}{7} = 2.5$ , $\frac{27.5}{11} = 2.5$ : समानुपाती, गुणांक $2.5$ ।

दूसरी सारणी: $\frac62 = 3$ और $\frac{15}{5} = 3$ , पर $\frac{28}{9} \approx 3.1$ : समानुपाती नहीं।

अभ्यास 49.2 ★

तिरछे नियम से पूरा करो, गणना लिखते हुए: $5$ kg आलू $6$ यूरो के आते हैं; $8$ kg कितने के आएँगे?

हल

हल — अभ्यास 49.2.

तिरछे नियम से: $5 \times p = 6 \times 8$ , इसलिए $p = \frac{48}{5} = 9.60$ यूरो।

अभ्यास 49.3 ★

एक छपाई-यंत्र $3$ मिनट में $36$ पन्ने छापता है। उसी रफ़्तार से $5$ मिनट में कितने पन्ने? $96$ पन्नों के लिए कितना समय?

हल

हल — अभ्यास 49.3.

रफ़्तार: $36 \div 3 = 12$ पन्ने प्रति मिनट। $5$ मिनट में: $60$ पन्ने। $96$ पन्नों के लिए: $96 \div 12 = 8$ मिनट।

अभ्यास 49.4 ★

निकालो: $250$ का $30\,\%$ ; $60$ का $15\,\%$ ; वह $t\,\%$ जिसके लिए $80$ का $t\,\%$ , $20$ हो।

हल

हल — अभ्यास 49.4.

$250$ का $30\,\%$ : $0.3 \times 250 = 75$ । $60$ का $15\,\%$ : $0.15 \times 60 = 9$ । $80$ का $t\,\%$ , $20$ है: $\frac{20}{80} = \frac{25}{100}$ , इसलिए $t = 25$ ।

अभ्यास 49.5 ★

$25$ में से $18$ निशाने एक बास्केटबॉल खिलाड़ी ने लगाए। उसकी सफलता का प्रतिशत क्या है? (भिन्न को $100$ के ऊपर लिखो।)

हल

हल — अभ्यास 49.5.

$\frac{18}{25} = \frac{18 \times 4}{25 \times 4} = \frac{72}{100} = 72\,\%$ .

अभ्यास 49.6 ★

$1 : 25\,000$ मापनी वाले नक़्शे पर एक पगडंडी $9$ cm नापती है। km में उसकी असली लंबाई क्या है? एक झील $2$ km लंबी है: नक़्शे पर वह कितनी लंबी दिखेगी?

हल

हल — अभ्यास 49.6.

पगडंडी: $9 \times 25\,000 = 225\,000$ cm $= 2.25$ km। झील: ज़मीन पर $2$ km $= 200\,000$ cm, इसलिए नक़्शे पर $200\,000 \div 25\,000 = 8$ cm।

अभ्यास 49.7 ★

एक खिलौना गाड़ी $1 : 43$ मापनी पर बनी है। असली गाड़ी $4.3$ m लंबी है। नमूना कितना लंबा है, cm में?

हल

हल — अभ्यास 49.7.

$4.3$ m $= 430$ cm, और $430 \div 43 = 10$ cm।

अभ्यास 49.8 ★★

एक व्यंजन-विधि में $8$ हिस्सों के लिए $240$ g चॉकलेट लगती है। आलीन के पास $300$ g चॉकलेट है। वह कितने पूरे हिस्सों के लिए काफ़ी है?

हल

हल — अभ्यास 49.8.

एक हिस्से की चॉकलेट: $240 \div 8 = 30$ g। $300$ g से: $300 \div 30 = 10$ हिस्से, ठीक-ठीक।

अभ्यास 49.9 ★★

एक जैकेट का दाम $80$ यूरो से घटकर $60$ यूरो हो जाता है।

छूट यूरो में कितनी है? पुराने दाम के कितने प्रतिशत?
बाद में दाम $60$ से फिर $80$ यूरो हो जाता है। समझाओ कि यह बढ़त $25\,\%$ नहीं है — बढ़त का सही प्रतिशत निकालो।

हल

हल — अभ्यास 49.9.

1. छूट: $20$ यूरो, यानी पुराने दाम का $\frac{20}{80} = 25\,\%$ ।

2. $20$ यूरो की बढ़त की तुलना अब नए आधार $60$ से होती है: $\frac{20}{60} = \frac13 \approx 33\,\%$ । प्रतिशत हमेशा किसी पूरे के सापेक्ष होता है; पूरा बदल गया, इसलिए प्रतिशत भी बदल गया।

अभ्यास 49.10 ★★

किसी सारणी की दो पंक्तियाँ समानुपाती हैं:

	$4$	$x$	$10$
	$y$	$10.5$	$17.5$

गुणांक निकालो, फिर $x$ और $y$ ।

हल

हल — अभ्यास 49.10.

पूरे भरे स्तंभ से गुणांक: $\frac{17.5}{10} = 1.75$ । फिर $y = 4 \times 1.75 = 7$ और $x = \frac{10.5}{1.75} = 6$ ।

अभ्यास 49.11 ★★★

एक फ़ोटोकॉपी मशीन काग़ज़ों को उनके आकार के $80\,\%$ तक छोटा कर देती है। $10$ cm के एक रेखाखंड की नक़ल की जाती है, फिर उसी सेटिंग पर उस नक़ल की दोबारा नक़ल की जाती है।

एक नक़ल के बाद रेखाखंड कितना लंबा है? दो नक़लों के बाद?
दो नक़लों के बाद उत्तर असली का $60\,\%$ क्यों नहीं है? दो नक़लों के बराबर अकेला कौन-सा प्रतिशत है?

हल

हल — अभ्यास 49.11.

1. एक नक़ल के बाद: $10 \times 0.8 = 8$ cm। दो के बाद: $8 \times 0.8 = 6.4$ cm।

2. दूसरी बार का छोटा करना पहले से छोटी हो चुकी नक़ल पर लगता है, असली पर नहीं: गुणक आपस में गुणा होते हैं, $0.8 \times 0.8 = 0.64$ , इसलिए दो नक़लों के बाद आकार असली का $64\,\%$ रह जाता है — $60\,\%$ नहीं।

49.5 समस्या: एक डंडे से पृथ्वी नापना

समस्या 49.1

सप्ताहांत समस्या — परछाइयाँ एक समानुपात हैं, और एरातोस्थनीज़ ने 240 ईसा पूर्व में पृथ्वी की परिधि कैसे नाप ली

बाईस सदी पहले, बिना दूरबीन, बिना उपग्रह और बिना कैलकुलेटर के, सिकंदरिया के पुस्तकालयाध्यक्ष ने पृथ्वी नाप ली — एक डंडे, एक कुएँ, ऊँटों के एक क़ाफ़िले और इसी अध्याय के गणित से। यह समस्या उनके क़दमों पर चलती है: पहले परछाइयों का समानुपात, फिर वह मशहूर गणना, और आख़िर में यह कि उनका उत्तर इंसानी मापनी पर कैसा दिखता है।

भाग I — एक डंडे की परछाईं। सूरज इतनी दूर है कि उसकी किरणें हम तक एक-दूसरे के समांतर पहुँचती हैं। इसलिए किसी एक पल पर सारी खड़ी चीज़ें और उनकी परछाइयाँ समानुपाती होती हैं।

दोपहर में $1$ m के एक खड़े डंडे की परछाईं $0.4$ m पड़ती है, और एक पेड़ की परछाईं $3.2$ m नापती है। पेड़ कितना ऊँचा है (प्रमेय 49.3)?
उसी पल एक मीनार की परछाईं $26$ m है: मीनार कितनी ऊँची है? और $1.5$ m ऊँचे बच्चे की परछाईं कितनी लंबी होगी?
एक वाक्य में समझाओ कि ये सारी गणनाएँ दिन के एक ही पल पर ही क्यों सही होती हैं।
कहते हैं थेल्स ने बड़े पिरामिड को उस पल का इंतज़ार करके नापा जब उनकी अपनी परछाईं ठीक उनकी ऊँचाई जितनी लंबी थी। उस पल समानुपात गुणांक क्या है, और अगर पिरामिड की परछाईं का सिरा उसके शिखर के ठीक नीचे वाले ज़मीनी बिंदु से $147$ m दूर है तो पिरामिड कितना ऊँचा है?
भाग I का सार: किसी एक पल पर डंडे, पेड़, मीनार और पिरामिड — सबके लिए कौन-सी राशि एक जैसी रहती है (परिभाषा 49.1)?

भाग II — एरातोस्थनीज़ की गणना। एरातोस्थनीज़ दो बातें जानते थे। स्येने नगर में, ग्रीष्म संक्रांति की दोपहर, सूरज ठीक सिर के ऊपर रहता था: धूप गहरे से गहरे कुओं की तली तक पहुँच जाती थी, और खड़े डंडों की परछाईं बनती ही नहीं थी। ठीक उसी पल सिकंदरिया में, जो $800$ km सीधे उत्तर है, एक खड़े डंडे की परछाईं बनती थी, और सूरज की किरणें खड़ी दिशा से $7.2^\circ$ का कोण बनाती थीं।

समझाओ कि ये दोनों अवलोकन मिलकर क्यों सिद्ध करते हैं कि स्येने की ज़मीन और सिकंदरिया की ज़मीन समांतर नहीं हैं — यानी पृथ्वी की सतह मुड़ी हुई है। (चपटी पृथ्वी पर समांतर किरणें दो डंडों के साथ क्या करतीं?)
समांतर सूरज-किरणों के साथ गोल पृथ्वी का चित्र बनाओ: उसमें सिकंदरिया वाला $7.2^\circ$ पृथ्वी के केंद्र पर फिर से दिखता है, दोनों नगरों की दिशाओं के बीच के कोण की तरह। चित्र बनाओ और ख़ुद को समझाओ (साफ़ कारण अध्याय 51 के बराबर कोणों के जोड़ों से मिलता है)।
$7.2^\circ$ एक पूरे चक्कर का कितना भाग है?
स्येने से सिकंदरिया तक का चाप ( $800$ km) $7.2^\circ$ के बराबर है; पूरी परिधि $360^\circ$ के। समानुपात बनाओ और पृथ्वी की परिधि निकालो।
$\pi \approx 3.14$ लेकर (प्रतिज्ञप्ति 43.3) पृथ्वी का व्यास निकालो, और उसे नज़दीकी सौ किलोमीटर तक गोल करो। (आज का मान $12\,742$ km है — 240 ईसा पूर्व में एक डंडे वाला आदमी कितने पास पहुँचा?)

भाग III — इंसानी मापनी पर पृथ्वी।

एक भूगोलक $1 : 40\,000\,000$ मापनी पर बना है। सवाल 9 में मिली परिधि से दिखाओ कि भूगोलक की परिधि ठीक $1$ m है। उसका व्यास कितना है, नज़दीकी सेंटीमीटर तक?
मों ब्लां क़रीब $4.8$ km ऊँचा है। $4.8$ km को सेंटीमीटर में बदलो, $40\,000\,000$ से भाग दो, और भूगोलक पर उस पहाड़ की ऊँचाई मिलीमीटर में बताओ। इस उत्तर से पता चलता है कि पृथ्वी सचमुच कितनी “ऊबड़-खाबड़” है?
एक पैदल यात्री रोज़ $40$ km चलता है। इस रफ़्तार से एरातोस्थनीज़ की पूरी परिधि नापने में कितने दिन लगेंगे — और मोटे तौर पर वह कितने साल हुए?
साँस लेने लायक़ वायुमंडल ज़मीन से क़रीब पहले $10$ km में ही सिमटा है। यह पृथ्वी की त्रिज्या (क़रीब $6\,370$ km) का कितने प्रतिशत है (विधि 49.5)? प्रतिशत को दशमलव के एक अंक तक गोल करो।
इतिहासकार मानते हैं कि एरातोस्थनीज़ ने जो मान बताया था वह आज के मात्रकों में क़रीब $42\,000$ km रहा होगा। $40\,000$ km को सही मान मानकर उनकी ग़लती का प्रतिशत निकालो। डंडों, कुओं और समानुपात के बारे में एक वाक्य में नतीजा लिखो।

हल

हल — समस्या 49.1.

1. ऊँचाइयाँ और परछाइयाँ समानुपाती हैं, इसलिए तिरछे नियम से (प्रमेय 49.3), डंडे के स्तंभ $(1,\ 0.4)$ और पेड़ के स्तंभ $(h,\ 3.2)$ के साथ: $0.4 \times h = 1 \times 3.2$ , यानी $h = \frac{3.2}{0.4} = 8$ m।

2. मीनार: $\frac{26}{0.4} = 65$ m। बच्चे की परछाईं: $1.5 \times 0.4 = 0.6$ m (परछाईं $=$ ऊँचाई $\times$ उस पल का गुणांक $0.4$ )।

3. जैसे-जैसे सूरज आसमान में सरकता है, ऊँचाइयों को परछाइयों से जोड़ने वाला गुणांक बदलता जाता है; एक ही गुणांक सिर्फ़ उन्हीं नापों का होता है जो एक ही पल पर ली गई हों।

4. उस पल गुणांक $1$ है: ऊँचाई और परछाईं बराबर। इसलिए पिरामिड का शिखर $147$ m ऊँचा है — बड़े पिरामिड की ऊँचाई (शिखर के नीचे वाले बिंदु से नापा गया उसकी परछाईं का सिरा ही काफ़ी है)।

5. स्तंभ का भागफल $\frac{\text{परछाईं}}{\text{ऊँचाई}}$ — उस पल का समानुपात गुणांक — सारी खड़ी चीज़ों में एक ही रहता है: ठीक इसी से ऊँचाइयों और परछाइयों की सारणी एक समानुपात सारणी बन जाती है (परिभाषा 49.1)।

6. सूरज की किरणें समांतर आती हैं। चपटी पृथ्वी पर दो समांतर किरणें दो खड़े डंडों से एक ही कोण पर टकरातीं: दोनों की परछाइयाँ समानुपाती होतीं — या तो दोनों की कोई परछाईं नहीं, या दोनों की परछाईं। एक ही पल पर एक डंडे की परछाईं न बनना (स्येने) और दूसरे की बनना (सिकंदरिया) चपटी पृथ्वी पर असंभव है: दोनों खड़ी दिशाओं को अलग-अलग तरफ़ इशारा करना ही होगा — सतह मुड़ी हुई है।

7. चित्र में स्येने की खड़ी दिशा सीधे सूरज की ओर जाती है; सिकंदरिया की खड़ी दिशा उतनी झुकी है जितना केंद्र से देखने पर दोनों नगरों की दिशाओं के बीच का कोण है। किरणें समांतर हैं, इसलिए वह झुकाव ठीक वही $7.2^\circ$ है जो सिकंदरिया में किरण और डंडे के बीच नापा गया।

8. $\frac{7.2}{360} = \frac{72}{3600} = \frac{1}{50}$ : पूरे चक्कर का पचासवाँ भाग।

9. चापों की लंबाई कोणों के समानुपाती होती है: अगर $7.2^\circ$ — चक्कर का पचासवाँ भाग — $800$ km के बराबर है, तो पूरा चक्कर होगा

50 \times 800 = 40\,000 \text{ km}.

10. व्यास $= \frac{\text{परिधि}}{\pi} \approx \frac{40\,000}{3.14} \approx 12\,700$ km — आज के $12\,742$ km के सामने: एक डंडे से नापकर, एक प्रतिशत से भी कम की ग़लती।

11. $40\,000$ km $= 4\,000\,000\,000$ cm, और $4\,000\,000\,000 \div 40\,000\,000 = 100$ cm $= 1$ m परिधि। व्यास: $100 \div 3.14 \approx 32$ cm — मेज़ पर सजने लायक़ शानदार भूगोलक।

12. $4.8$ km $= 480\,000$ cm, और $480\,000 \div 40\,000\,000 = 0.012$ cm $= 0.12$ mm। आल्प्स का सबसे ऊँचा पहाड़ एक मीटर परिधि वाले भूगोलक पर मिलीमीटर का दसवाँ भाग है: धूल का एक कण। इस मापनी पर पृथ्वी ज़्यादातर पॉलिश की हुई गेंदों से भी चिकनी है।

13. $40\,000 \div 40 = 1\,000$ दिन, और $1\,000 \div 365 \approx 2.7$ : क़रीब तीन साल की पैदल यात्रा।

14. $\frac{10}{6\,370} \approx 0.0016$ , यानी क़रीब $0.2\,\%$ (और ठीक-ठीक $0.16\,\%$ ): वायुमंडल इस ग्रह पर काग़ज़ से भी पतली एक झिल्ली है।

15. ग़लती: $42\,000 - 40\,000 = 2\,000$ km, और $\frac{2\,000}{40\,000} = \frac{5}{100} = 5\,\%$ । एक वाक्य में: एक डंडे, एक कुएँ, एक नापी हुई सड़क और एक समानुपात से एरातोस्थनीज़ ने पूरा ग्रह कुछ प्रतिशत की ग़लती के भीतर नाप लिया — गणित बहुत थोड़े साज़-सामान पर बहुत दूर तक चला जाता है।