प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · कक्षा 1–9

67रैखिक और एकघाती फलन

“तीन किलोग्राम की क़ीमत एक किलोग्राम से तीन गुनी होती है”: यही समानुपात है, दो राशियों के बीच का सबसे सादा रिश्ता। रैखिक फलन समानुपात को ही फलनों की भाषा में कहते हैं; एकघाती फलन उसमें एक तयशुदा शुरुआती राशि और जोड़ देते हैं। इनके आलेख सीधी रेखाएँ होते हैं, और उन रेखाओं को पढ़ना ही वह हुनर है जो यह अध्याय बनाता है।

67.1 समानुपात और रैखिक फलन

परिभाषा 67.1 (रैखिक फलन)

रैखिक फलन हर संख्या को एक तयशुदा संख्या $a$ से गुणा कर देता है:

f(x) = a x .

संख्या $a$ , $f$ का गुणांक कहलाती है। दो राशियाँ समानुपाती ठीक तभी होती हैं जब एक दूसरी का रैखिक फलन हो।

उदाहरण 67.2

अगर सेब $3$ प्रति किलोग्राम मिलते हैं, तो $x$ किलोग्राम की क़ीमत $f(x) = 3x$ है: दुगना ख़रीदने पर दाम दुगना, और $2.5$ kg की क़ीमत $f(2.5) = 7.5$ ।

और उलटे, अगर किसी रैखिक फलन के लिए $f(4) = 10$ हो, तो $a = \frac{10}{4} = 2.5$ और $f(x) = 2.5x$ : एक ही मान किसी रैखिक फलन को पूरी तरह तय कर देता है।

प्रतिज्ञप्ति 67.3 (रैखिक फलन का आलेख)

$f(x) = ax$ का आलेख मूल बिंदु से होकर जाती एक सीधी रेखा है। और उलटे, मूल बिंदु से होकर जाती हर वह रेखा जो खड़ी नहीं है, किसी रैखिक फलन का आलेख होती है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

दो रैखिक फलन: दोनों आलेख मूल बिंदु से होकर जाते हैं; गुणांक a वह ऊँचाई है जो x = 1 पर पहुँची जाती है। — दो रैखिक फलन: दोनों आलेख मूल बिंदु से होकर जाते हैं; गुणांक $a$ वह ऊँचाई है जो $x = 1$ पर पहुँची जाती है।

67.2 एकघाती फलन

परिभाषा 67.4 (एकघाती फलन)

एकघाती फलन इस रूप का होता है

f(x) = a x + b ,

जहाँ $a$ और $b$ तयशुदा संख्याएँ हैं। रैखिक फलन इसकी ख़ास हालत $b = 0$ हैं, और अचर फलन हालत $a = 0$ ।

उदाहरण 67.5

कोई व्यायामशाला $20$ का पंजीकरण शुल्क लेती है, फिर हर बार आने के $5$ : $x$ बार आने का कुल ख़र्च $f(x) = 5x + 20$ है। ख़र्च आने की गिनती के समानुपाती नहीं है ( $10$ बार आना $5$ बार आने से दुगना महँगा नहीं पड़ता), पर हर अतिरिक्त बार उतना ही, यानी $5$ , जोड़ता है।

प्रतिज्ञप्ति 67.6 (एकघाती फलन का आलेख)

$f(x) = ax + b$ का आलेख एक सीधी रेखा है:

$b = f(0)$ उसका $y$ -अंतःखंड है: रेखा खड़ी अक्ष को $(0, b)$ पर काटती है;
$a$ उसकी ढलान है: एक इकाई दाईं ओर बढ़ने पर $a$ इकाई ऊपर चढ़ना पड़ता है ( $a < 0$ हो तो उतरना); $a > 0$ पर फलन बढ़ता है और $a < 0$ पर घटता है;
किन्हीं दो संख्याओं $u \neq v$ के लिए $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ ।

आख़िरी बिंदु का प्रमाण. $f(v) - f(u) = (av + b) - (au + b) = a(v - u)$ ; अब $v - u$ का भाग दो। बाक़ी इस स्तर पर बिना प्रमाण के मान लिया जाता है (हाई-स्कूल खंड रेखाओं और उनके समीकरणों को पूरी तरह देखता है)। ∎

y = ax + b को उसके आलेख पर पढ़ना: रेखा y-अक्ष को ऊँचाई b पर काटती है, और दाईं ओर हर एक इकाई क़दम पर a चढ़ती है (यहाँ a = 1, b = 1)। — $y = ax + b$ को उसके आलेख पर पढ़ना: रेखा $y$ -अक्ष को ऊँचाई $b$ पर काटती है, और दाईं ओर हर एक इकाई क़दम पर $a$ चढ़ती है (यहाँ $a = 1$ , $b = 1$ )।

विधि 67.7 (दो मानों से एकघाती फलन निकालना)

$u \neq v$ के साथ $f(u)$ और $f(v)$ दिए हों, तो:

ढलान $a = \dfrac{f(v) - f(u)}{v - u}$ निकालो;
दोनों ज्ञात मानों में से एक को $f(x) = ax + b$ में रखकर $b$ निकालो;
दूसरे मान से जाँचो।

उदाहरण 67.8

वह एकघाती फलन निकालो जिसके लिए $f(2) = 7$ और $f(5) = 16$ हो।

a = \frac{16 - 7}{5 - 2} = \frac93 = 3 ,

फिर $f(2) = 3 \times 2 + b = 7$ से $b = 1$ मिलता है: $f(x) = 3x + 1$ । जाँच: $f(5) = 15 + 1 = 16$ ।

67.3 प्रतिशत

प्रतिज्ञप्ति 67.9 (प्रतिशत बदलाव)

किसी राशि को $t\,\%$ बढ़ाना उसे $1 + \dfrac{t}{100}$ से गुणा करना है, और $t\,\%$ घटाना उसे $1 - \dfrac{t}{100}$ से गुणा करना। प्रतिशत बदलाव रैखिक फलन होते हैं।

उपपत्ति. $x$ को $t\,\%$ बढ़ाने का मतलब है उसमें $\frac{t}{100}\,x$ जोड़ना:

x + \frac{t}{100}\,x = \left(1 + \frac{t}{100}\right) x .

घटाने के लिए वही गणना, बस ऋण चिह्न के साथ। ∎

उदाहरण 67.10

$80$ की क़ीमत $15\%$ बढ़ती है: नई क़ीमत $80 \times 1.15 = 92$ । $60$ की क़ीमत $30\%$ घटती है: $60 \times 0.7 = 42$ ।

एक के बाद एक लगे बदलाव अपने गुणकों को गुणा कर देते हैं। $20\%$ की बढ़त के बाद $20\%$ की कमी लगाने पर $1.2 \times 0.8 = 0.96$ मिलता है: कुल मिलाकर $4\%$ की कमी, न कि शुरुआत पर वापसी!

67.4 अभ्यास

अभ्यास 67.1 ★

इन फलनों में से कौन-से रैखिक हैं? कौन-से एकघाती? और कौन-से न वे, न ये?

f(x) = 4x, \qquad g(x) = 3x - 5, \qquad h(x) = x^2, \qquad k(x) = -\tfrac x2, \qquad m(x) = 7 .

हल

हल — अभ्यास 67.1.

रैखिक: $f$ और $k$ ( $ax$ रूप वाले)। एकघाती पर रैखिक नहीं: $g$ (ढलान $3$ , अंतःखंड $-5$ ) और $m$ (अचर, ढलान $0$ )। न वह, न यह: $h$ , वर्ग की वजह से।

अभ्यास 67.2 ★

मान लो $f(x) = 2x - 3$ है। $f(0)$ , $f(4)$ , $f(-1)$ निकालो, और वह संख्या $x$ ढूँढ़ो जिसके लिए $f(x) = 9$ हो।

हल

हल — अभ्यास 67.2.

$f(0) = -3$ ; $f(4) = 5$ ; $f(-1) = -5$ । और $f(x) = 9$ का मतलब $2x - 3 = 9$ , इसलिए $2x = 12$ और $x = 6$ ।

अभ्यास 67.3 ★

किसी रैखिक फलन के लिए $f(6) = 15$ है। उसका गुणांक निकालो, फिर $f(10)$ और $f(-2)$ निकालो।

हल

हल — अभ्यास 67.3.

$a = \frac{15}{6} = 2.5$ , इसलिए $f(x) = 2.5x$ । फिर $f(10) = 25$ और $f(-2) = -5$ ।

अभ्यास 67.4 ★

एक ही निर्देशांक जाल पर $f(x) = 2x$ , $g(x) = 2x + 3$ और $h(x) = -x + 4$ के आलेख खींचो। $f$ और $g$ के आलेखों के बारे में क्या कहा जा सकता है?

हल

हल — अभ्यास 67.4.

$f$ मूल बिंदु से होकर ढलान $2$ के साथ जाता है; $g$ की ढलान वही है पर वह $y$ -अक्ष को $3$ पर काटता है; $h$ घटता हुआ $(0, 4)$ से ढलान $-1$ के साथ चलता है। $f$ और $g$ के आलेख समांतर रेखाएँ हैं (एक ही ढलान, अलग-अलग अंतःखंड)।

अभ्यास 67.5 ★

वह एकघाती फलन निकालो जिसके लिए $f(1) = 5$ और $f(3) = 11$ हो; फिर वह जिसके लिए $g(0) = 4$ और $g(2) = 0$ हो।

हल

हल — अभ्यास 67.5.

$f$ के लिए: ढलान $\frac{11 - 5}{3 - 1} = 3$ , फिर $5 = 3 \times 1 + b$ से $b = 2$ : यानी $f(x) = 3x + 2$ ।

$g$ के लिए: ढलान $\frac{0 - 4}{2 - 0} = -2$ , और $g(0) = 4$ पहले से ही अंतःखंड है: यानी $g(x) = -2x + 4$ ।

अभ्यास 67.6 ★★

निकालो: $120$ पर $25\%$ की बढ़त के बाद की क़ीमत; $65$ पर $40\%$ की छूट के बाद की क़ीमत; और वह असली क़ीमत जिस पर $25\%$ छूट के बाद कोई चीज़ $69$ की पड़ती है।

हल

हल — अभ्यास 67.6.

$25\%$ की बढ़त: $120 \times 1.25 = 150$ ।

$40\%$ की छूट: $65 \times 0.6 = 39$ ।

असली क़ीमत $p$ , जिसके लिए $p \times 0.75 = 69$ : $p = \frac{69}{0.75} = 92$ ।

अभ्यास 67.7 ★★

फ़ोन की योजना A का दाम $10$ प्रति महीना और उसके ऊपर $0.05$ प्रति मिनट बात है; योजना B का दाम $25$ प्रति महीना है, बात जितनी मर्ज़ी।

योजना A का महीने का ख़र्च मिनटों की गिनती $x$ के फलन के रूप में लिखो।
महीने में कितने मिनट से आगे योजना B सस्ती पड़ती है?

हल

हल — अभ्यास 67.7.

1. $f(x) = 0.05x + 10$ ।

2. योजना B तब सस्ती पड़ती है जब $25 < 0.05x + 10$ हो, यानी $15 < 0.05x$ , यानी $x > 300$ । महीने के $301$ मिनट ( $5$ घंटे) से आगे योजना B जीत जाती है।

अभ्यास 67.8 ★★

$2000$ जीवाणुओं की आबादी हर घंटे $10\%$ बढ़ती है।

एक घंटे बाद कितने जीवाणु होंगे? और दो घंटे बाद?
समझाओ कि दो घंटे बाद का उत्तर $2400$ क्यों नहीं है।

हल

हल — अभ्यास 67.8.

1. एक घंटे बाद: $2000 \times 1.1 = 2200$ । दो घंटे बाद: $2200 \times 1.1 = 2420$ ।

2. दूसरी बढ़त $2200$ पर लगती है, $2000$ पर नहीं: दो बार $10\%$ बढ़ना $1.1^2 = 1.21$ से गुणा करना है, यानी $21\%$ की बढ़त, $20\%$ की नहीं।

अभ्यास 67.9 ★★

किसी एकघाती फलन का आलेख बिंदुओं $(2, 3)$ और $(6, 1)$ से होकर जाता है।

उसकी ढलान निकालो। फलन बढ़ता है या घटता है?
उसका व्यंजक बताओ, और वह संख्या निकालो जिस पर फलन का मान $0$ होता है।

हल

हल — अभ्यास 67.9.

1. ढलान: $\frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$ : यानी फलन घटता है।

2. $f(2) = 3$ के साथ $f(x) = -0.5x + b$ : $-1 + b = 3$ , इसलिए $b = 4$ और $f(x) = -0.5x + 4$ । मान $0$ : $-0.5x + 4 = 0$ से $x = 8$ ।

अभ्यास 67.10 ★★★

कोई दुकान पहले क़ीमत $t\,\%$ बढ़ाती है, फिर नई क़ीमत $t\,\%$ घटा देती है।

दिखाओ कि आख़िरी क़ीमत असली क़ीमत को $1 - \dfrac{t^2}{10000}$ से गुणा करने पर मिलती है।
इससे नतीजा निकालो कि आख़िरी क़ीमत हमेशा असली से कम रहती है ( $0 < t \leq 100$ के लिए), और $t = 10$ पर कुल प्रतिशत बदलाव निकालो।

हल

हल — अभ्यास 67.10.

1. दोनों बदलाव मिलकर क़ीमत को इससे गुणा करते हैं:

\left(1 + \frac{t}{100}\right)\left(1 - \frac{t}{100}\right) = 1 - \frac{t^2}{10000}

(तीसरी सर्वसमिका, $a = 1$ और $b = \frac{t}{100}$ के साथ)।

2. $0 < t \leq 100$ के लिए $\frac{t^2}{10000} > 0$ है, इसलिए गुणक $1$ से छोटा है: आख़िरी क़ीमत असली से कम रहती है। और $t = 10$ के लिए: गुणक $1 - \frac{100}{10000} = 0.99$ , यानी कुल मिलाकर $1\%$ की कमी।

67.5 समस्या: दो थर्मामीटर

समस्या 67.1

सप्ताहांत समस्या — सेल्सियस, फ़ारेनहाइट और रोज़मर्रा के एकघाती फलन: एक तापमान दोनों मापनियों पर एक ही अंक दिखाता है, और अचर ढलान ही सीधेपन की पहचान है

कहीं लोग “ $68$ डिग्री” सुनकर हल्के कपड़े पहन लेते हैं, कहीं वही सुनकर कोट उठा लेते हैं। दुनिया के दोनों थर्मामीटर एक एकघाती फलन से जुड़े हैं — और दो तथ्यों से उसे बना लेना ठीक वही हुनर है जो विधि 67.7 सिखाती है। यह समस्या वह रूपांतरण बनाती है, वह अजीब तापमान ढूँढ़ती है जिस पर दोनों मापनियाँ एक ही बात कहती हैं, फिर उसी चश्मे से टैक्सियाँ, झींगुर और मोमबत्तियाँ पढ़ती है, और उस जाँच पर ख़त्म होती है जो सीधेपन को ही पहचान लेती है।

भाग I — रूपांतरण बनाना। दो तथ्य फ़ारेनहाइट मापनी को बाँध देते हैं: पानी $32\,^\circ$ F पर जमता है और $212\,^\circ$ F पर उबलता है (यानी $0\,^\circ$ C और $100\,^\circ$ C पर)।

वह एकघाती फलन $F = f(C)$ निकालो जो सेल्सियस को फ़ारेनहाइट में बदलता है ( $f(0) = 32$ और $f(100) = 212$ मानों के साथ विधि 67.7)।
फ़ारेनहाइट में बदलो: $20\,^\circ$ C का सुहाना दिन; शरीर का $37\,^\circ$ C; और जमा देने वाला $-10\,^\circ$ C।
$C$ के लिए हल करके उलटा रूपांतरण बनाओ, और उसे $50\,^\circ$ F तथा $98.6\,^\circ$ F पर लगाओ।
क्या $f$ रैखिक फलन है (परिभाषा 67.1)? पहचान की निशानियाँ जाँचो: $f(0)$ क्या है, और सेल्सियस का पाठ दुगना करने पर फ़ारेनहाइट का पाठ दुगना होता है क्या? सही शब्द के साथ नतीजा निकालो (परिभाषा 67.4)।
मशहूर पहेली: क्या कोई ऐसा तापमान है जो दोनों मापनियों पर एक ही अंक दिखाता हो? $f(x) = x$ हल करो, और बताओ कि तुम्हारे हल का $f$ के आलेख पर क्या मतलब है (आलेख वहाँ किस रेखा को काटता है?)।

भाग II — खुले में एकघाती फलन।

टैक्सी A $3$ यूरो और उसके ऊपर $1.50$ प्रति km लेती है; टैक्सी B सीधे $2$ यूरो प्रति km। दोनों दाम-फलन लिखो और $4$ km तथा $8$ km की सवारी के लिए उनकी तुलना करो।
वह दूरी निकालो जिस पर दोनों टैक्सियाँ बराबर पड़ती हैं, और आलेख पर पूरी स्थिति बताओ (दो रेखाएँ — कटान-बिंदु पर, उससे पहले और उसके बाद क्या होता है?)।
प्रकृति देखने वालों का मोटा नियम: तापमान $T\,^\circ$ C पर झींगुर एक मिनट में क़रीब $N = 7T - 30$ बार बोलता है। $20\,^\circ$ C की शाम को कितनी बार? तुम एक मिनट में $82$ बार गिनते हो: झींगुर कौन-सा तापमान बता रहा है?
$600$ यूरो में ख़रीदा गया फ़ोन हर महीने $15$ यूरो क़ीमत खोता है: क़ीमत-फलन $v(t)$ लिखो, बताओ कि फ़ोन कब $240$ यूरो का रह जाएगा, और नमूने के हिसाब से कब उसकी कोई क़ीमत ही नहीं बचेगी। क्या उस तारीख़ के बाद भी सूत्र का कोई मतलब रह जाता है?
प्रतिशत वाली चालें रैखिक फलन हैं: $+25\,\%$ यानी $1.25$ से गुणा, और $-20\,\%$ यानी $0.8$ से (प्रतिज्ञप्ति 67.9)। इन्हें एक के बाद एक लगाओ: $+25\,\%$ की बढ़त के बाद $-20\,\%$ की कटौती क़ीमत के साथ क्या करती है? इस छोटे चमत्कार को समझाओ, और अभ्यास 67.10 से तुलना करो।

भाग III — सब कुछ ढलान है।

जलाते समय कोई मोमबत्ती $20$ cm की है और आधे घंटे बाद $17$ cm की। पिघलना एकघाती मानते हुए $h(t)$ निकालो (ऊँचाई cm में, $t$ मिनट में), और बताओ कि मोमबत्ती कब बुझ जाएगी।
दो साइकिल-सवार एक ही सड़क पर चलते हैं: पहले की दूरी $d_1(t) = 24t$ है ( $t$ घंटे बाद km में), दूसरे की $d_2(t) = 10 + 18t$ । किसने आगे से शुरुआत की, कौन तेज़ चलता है, और पहला दूसरे को किस समय तथा किस किलोमीटर पर पकड़ लेता है?
मान लो $f(x) = 2x + 3$ और $g(x) = -0.5x + 7$ हैं। $f(x) + g(x)$ निकालो और जाँचो कि वह फिर से एकघाती है। आम तौर पर किसी योगफल की ढलान और अंतःखंड क्या होते हैं?
समीकरण $mx + p = 0$ पर पूरी चर्चा करो: $m \neq 0$ पर कितने हल होते हैं (और कौन-सा)? $m = 0$ तथा $p \neq 0$ पर? और $m = 0$ तथा $p = 0$ पर? (हर हालत की एक आलेख वाली कहानी है: ढलान $m$ वाली रेखा आड़ी अक्ष को कहाँ काटती है?)
संरेखता की जाँच: क्या बिंदु $(1, 5)$ , $(3, 9)$ , $(7, 17)$ एक ही सीधी रेखा पर हैं? और $(1, 5)$ , $(3, 9)$ , $(6, 16)$ ? जोड़ों के बीच बदलाव की दर निकालो और फ़ैसला करो। सीख लिखो: बदलाव की अचर दर ही एकघाती फलनों की पहचान है — टेढ़े आलेख अपनी दर बदलते रहते हैं, और उसे नापना हाई-स्कूल खंड की कहानी है।

हल

हल — समस्या 67.1.

1. ढलान: $\frac{f(100) - f(0)}{100 - 0} = \frac{212 - 32}{100} = 1.8$ ; अंतःखंड $f(0) = 32$ । इसलिए

f(C) = 1.8\,C + 32 .

2. $f(20) = 68\,^\circ$ F (वही मशहूर सुहाना दिन); $f(37) = 98.6\,^\circ$ F; $f(-10) = 14\,^\circ$ F।

3. $F = 1.8C + 32$ से: $C = \frac{F - 32}{1.8}$ । तब $50\,^\circ$ F $\to \frac{18}{1.8} = 10\,^\circ$ C, और $98.6\,^\circ$ F $\to \frac{66.6}{1.8} = 37\,^\circ$ C।

4. $f(0) = 32 \neq 0$ है, और $f(20) = 68$ , $f(10) = 50$ का दुगना नहीं है: यानी रैखिक नहीं। आलेख एक सीधी रेखा है जो मूल बिंदु से चूक जाती है: $f$ एकघाती है, रैखिक नहीं।

5. $1.8x + 32 = x$ से $0.8x = -32$ , यानी $x = -40$ : चालीस नीचे पर दोनों थर्मामीटर $-40$ ही दिखाते हैं। आलेख पर $f$ की रेखा विकर्ण रेखा $y = x$ को ठीक वहीं काटती है।

6. $p_A(k) = 1.5k + 3$ और $p_B(k) = 2k$ । $4$ km के लिए: $9$ यूरो बनाम $8$ : B सस्ती। $8$ km के लिए: $15$ बनाम $16$ : A सस्ती।

7. $1.5k + 3 = 2k$ से $k = 6$ : छह किलोमीटर पर दोनों $12$ यूरो पड़ती हैं। आलेख पर B की रेखा (मूल बिंदु से होकर, ज़्यादा तीखी) A की रेखा से नीचे शुरू होती है और उसे $(6, 12)$ पर काटती है: छोटी सवारियों में B जीतती है, लंबी में A।

8. $N = 7 \times 20 - 30 = 110$ बार प्रति मिनट। और $82 = 7T - 30$ से: $T = \frac{112}{7} = 16\,^\circ$ C।

9. $v(t) = 600 - 15t$ । क़ीमत $240$ : $600 - 15t = 240$ से $t = 24$ महीने। क़ीमत $0$ : $t = 40$ महीने। $40$ महीने के बाद सूत्र ऋण हो जाता है — पर फ़ोन की क़ीमत शून्य पर रुक जाती है: हर एकघाती नमूने का एक दायरा होता है जिसके भीतर ही वह अर्थ रखता है।

10. एक के बाद एक: $\times 1.25$ फिर $\times 0.8$ का मतलब है $1.25 \times 0.8 = 1$ से गुणा: क़ीमत ठीक अपनी शुरुआत पर लौट आती है। इसमें चमत्कार कुछ नहीं: दोनों प्रतिशत अलग-अलग आधारों पर लगते हैं (कटौती बढ़ी हुई क़ीमत पर लगती है), और यहाँ दोनों गुणक संयोग से कट जाते हैं — आम कहानी, अपनी अंदरूनी कमी $1 - \frac{t^2}{10\,000}$ समेत, अभ्यास 67.10 है।

11. ढलान: $\frac{17 - 20}{30} = -0.1$ cm प्रति मिनट; यानी $h(t) = 20 - 0.1t$ । वह $h(t) = 0$ पर बुझती है: $t = 200$ मिनट — तीन घंटे बीस मिनट की रोशनी।

12. दूसरा $10$ km आगे से चला (अंतःखंड); पहला ज़्यादा तेज़ है ( $24 > 18$ km/h)। पकड़ने का पल: $24t = 10 + 18t$ से $6t = 10$ , यानी $t = \frac53$ h $= 1$ h $40$ min, और वह किलोमीटर $24 \times \frac53 = 40$ पर।

13. $f(x) + g(x) = (2 - 0.5)x + (3 + 7) = 1.5x + 10$ : फिर से एकघाती, जिसकी ढलान ढलानों का योगफल है और अंतःखंड अंतःखंडों का योगफल — $(mx + p) + (m'x + p')$ में एक जैसे पद इकट्ठे करने से यह साफ़ दिख जाता है।

14. अगर $m \neq 0$ हो: ठीक एक हल, $x = -\frac pm$ — आड़ी न होने वाली रेखा अक्ष को एक ही बार काटती है। अगर $m = 0$ और $p \neq 0$ हो: कोई हल नहीं — अक्ष के ऊपर या नीचे चलती आड़ी रेखा उसे कभी छूती ही नहीं। और अगर $m = 0$ तथा $p = 0$ हो: हर $x$ हल है — रेखा ख़ुद अक्ष ही है।

15. पहली तिकड़ी: दरें $\frac{9 - 5}{3 - 1} = 2$ और $\frac{17 - 9}{7 - 3} = 2$ : बराबर, यानी बिंदु संरेख हैं ( $y = 2x + 3$ पर)। दूसरी तिकड़ी: $\frac{9-5}{2} = 2$ पर $\frac{16 - 9}{3} = \frac73 \neq 2$ : संरेख नहीं। एकघाती फलन ठीक वही हैं जिनके बदलाव की दर अचर होती है — एक ही संख्या, यानी ढलान, पूरी कहानी कह देती है; टेढ़ी रेखाओं में दर ख़ुद बिंदु दर बिंदु बदलती है, और उसका पीछा करते-करते हाई-स्कूल खंड में अवकलज तक पहुँचा जाता है।