प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · कक्षा 1–9

47भिन्नें: तुलना और जोड़

पिछले साल भिन्नें हिस्सों के रूप में और ठीक भागफलों के रूप में आई थीं (अध्याय 39)। यह अध्याय उनके साथ गणना करना सिखाता है: बराबर भिन्नें पहचानना, उनकी तुलना करना, उन्हें जोड़ना और घटाना — फ़िलहाल आसान हरों के साथ; आम स्थिति अध्याय 63 में आएगी।

47.1 बराबर भिन्नें

प्रमेय 47.1 (बराबर भिन्नें)

भिन्न का अंश और हर दोनों एक ही शून्येतर संख्या से गुणा कर दिए जाएँ, या भाग दे दिए जाएँ, तो भिन्न नहीं बदलती:

\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} .

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

उदाहरण 47.2

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} = \dfrac{15}{20}$ , और दूसरी दिशा में $\dfrac{42}{30} = \dfrac{42 \div 6}{30 \div 6} = \dfrac{7}{5}$ ( $6$ से सरल की हुई)।

यह जाँचने के लिए कि $\dfrac{8}{12}$ और $\dfrac{10}{15}$ बराबर हैं या नहीं, दोनों को सरल करो: $\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$ और $\dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}$ — हाँ, बराबर।

47.2 भिन्नों की तुलना

विधि 47.3 (दो भिन्नों की तुलना)

एक ही हर: अंशों की तुलना करो: $\frac{5}{9} < \frac{7}{9}$ ।
एक हर दूसरे का गुणज है: बड़े हिस्सों वाली भिन्न को दूसरे हर के साथ फिर से लिखो, फिर तुलना करो: $\frac{5}{6}$ बनाम $\frac{7}{12}$ : $\frac56 = \frac{10}{12} > \frac{7}{12}$ ।
जहाँ हो सके $1$ या $\frac12$ से तुलना करो: $\frac{9}{8} > 1 > \frac{7}{9}$ से $\frac98$ और $\frac79$ का मामला पल भर में तय हो जाता है।

जुड़वाँ पट्टियों पर 5/6 और 7/12 की तुलना: छठे हिस्सों को आधा-आधा काटने पर दिखता है कि 5/6 = 10/12, जो 7/12 से बड़ा है। — जुड़वाँ पट्टियों पर $\frac56$ और $\frac{7}{12}$ की तुलना: छठे हिस्सों को आधा-आधा काटने पर दिखता है कि $\frac56 = \frac{10}{12}$ , जो $\frac{7}{12}$ से बड़ा है।

47.3 जोड़ना और घटाना

प्रमेय 47.4 (एक ही हर)

एक ही हर वाली भिन्नों को जोड़ने (या घटाने) के लिए उनके अंश जोड़ (या घटा) दिए जाते हैं:

\frac{a}{d} + \frac{b}{d} = \frac{a + b}{d}, \qquad \frac{a}{d} - \frac{b}{d} = \frac{a - b}{d} .

क्यों. $\frac1d$ आकार के $a$ हिस्से और उतने ही आकार के $b$ हिस्से मिलकर उसी आकार के $a + b$ हिस्से बनाते हैं। ∎

विधि 47.5 (अलग-अलग हर)

जब एक हर दूसरे का गुणज हो:

छोटे हर वाली भिन्न को फिर से लिखो ताकि दोनों का हर बड़ा वाला हो जाए (प्रमेय 47.1);
अंशों को जोड़ो या घटाओ;
हो सके तो उत्तर को सरल करो।

उदाहरण 47.6

$\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8}$ की गणना, क़दम दर क़दम:

$8$ , $4$ का गुणज है: $\dfrac34 = \dfrac{3 \times 2}{4 \times 2} = \dfrac{6}{8}$ लिखो;
जोड़ो: $\dfrac{6}{8} + \dfrac{5}{8} = \dfrac{11}{8}$ ;
सरल करने को कुछ नहीं: उत्तर $\dfrac{11}{8}$ है, यानी $1 + \dfrac38$ ।

एक और: $2 - \dfrac{4}{5} = \dfrac{10}{5} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{6}{5}$ (पहले पूर्ण संख्या को हर $5$ के ऊपर लिख लो)।

उदाहरण 47.7 (एक जानी-पहचानी ग़लती)

$\dfrac12 + \dfrac13$ , $\dfrac{2}{5}$ नहीं है! अंशों और हरों को अलग-अलग जोड़ना ग़लत है — उत्तर $\frac25$ तो $\frac12$ से भी छोटा है, जो बेतुका है जब $\frac12$ में कुछ धनात्मक जोड़ा जा रहा हो। (सही योगफल $\frac56$ है, जिसके लिए उभयनिष्ठ हर $6$ चाहिए; आम तरीक़ा अध्याय 63 में है।)

47.4 भिन्न को किसी संख्या से गुणा करना

प्रतिज्ञप्ति 47.8 (भिन्न गुना संख्या)

किसी संख्या $k$ के लिए:

k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b} .

किसी राशि का $\frac ab$ भाग लेने का मतलब है उसे $\frac ab$ से गुणा करना।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

उदाहरण 47.9

$6 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{12}{3} = 4$ : दो-तिहाई का छह गुना चार पूरे होते हैं। और “ $60$ यूरो का $\frac34$ ” है $\frac34 \times 60 = \frac{180}{4} = 45$ यूरो — वही उत्तर जो $4$ से भाग देकर फिर $3$ से गुणा करने पर मिलता है (विधि 39.8)।

47.5 अभ्यास

अभ्यास 47.1 ★

पूरा करो: $\dfrac{2}{5} = \dfrac{?}{20}$ ; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{?}$ ; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{?}$ ; $\dfrac{?}{9} = \dfrac{20}{36}$ .

हल

हल — अभ्यास 47.1.

$\dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{20}$ ; $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3}{4}$ ; $\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{12}$ ; $\dfrac{5}{9} = \dfrac{20}{36}$ .

अभ्यास 47.2 ★

जितना हो सके सरल करो: $\dfrac{12}{16}$ ; $\dfrac{30}{45}$ ; $\dfrac{27}{36}$ ; $\dfrac{48}{12}$ .

हल

हल — अभ्यास 47.2.

$\dfrac{12}{16} = \dfrac34$ ; $\dfrac{30}{45} = \dfrac23$ ; $\dfrac{27}{36} = \dfrac34$ ; $\dfrac{48}{12} = 4$ .

अभ्यास 47.3 ★

क्या $\dfrac{15}{35}$ और $\dfrac{21}{49}$ बराबर हैं? और $\dfrac{16}{28}$ तथा $\dfrac{20}{36}$ ? सरल करके कारण बताओ।

हल

हल — अभ्यास 47.3.

$\dfrac{15}{35} = \dfrac37$ और $\dfrac{21}{49} = \dfrac37$ : बराबर।

$\dfrac{16}{28} = \dfrac47$ और $\dfrac{20}{36} = \dfrac59$ : तुलना के लिए $\frac47 = \frac{36}{63}$ और $\frac59 = \frac{35}{63}$ — बराबर नहीं।

अभ्यास 47.4 ★

तुलना करो (सिर्फ़ उत्तर नहीं, तर्क भी लिखो):

\frac{7}{11} \text{ और } \frac{9}{11}; \qquad \frac{5}{6} \text{ और } \frac{11}{18}; \qquad \frac{13}{12} \text{ और } \frac{19}{20}.

हल

हल — अभ्यास 47.4.

$\dfrac{7}{11} < \dfrac{9}{11}$ (एक ही हर)।

$\dfrac56 = \dfrac{15}{18} > \dfrac{11}{18}$ .

$\dfrac{13}{12} > 1$ जबकि $\dfrac{19}{20} < 1$ , इसलिए $\dfrac{13}{12} > \dfrac{19}{20}$ ।

अभ्यास 47.5 ★

हो सके तो सरल करते हुए गणना करो:

\frac{5}{9} + \frac{2}{9}, \qquad \frac{11}{7} - \frac{4}{7}, \qquad \frac{5}{8} + \frac{7}{8} .

हल

हल — अभ्यास 47.5.

$\dfrac59 + \dfrac29 = \dfrac79$ ; $\dfrac{11}{7} - \dfrac47 = \dfrac77 = 1$ ; $\dfrac58 + \dfrac78 = \dfrac{12}{8} = \dfrac32$ .

अभ्यास 47.6 ★

विधि 47.5 की मदद से गणना करो:

\frac{2}{3} + \frac{5}{6}, \qquad \frac{7}{10} - \frac{2}{5}, \qquad \frac{3}{4} + \frac{5}{12} .

हल

हल — अभ्यास 47.6.

$\dfrac23 + \dfrac56 = \dfrac46 + \dfrac56 = \dfrac96 = \dfrac32$ .

$\dfrac{7}{10} - \dfrac25 = \dfrac{7}{10} - \dfrac{4}{10} = \dfrac{3}{10}$ .

$\dfrac34 + \dfrac{5}{12} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{5}{12} = \dfrac{14}{12} = \dfrac76$ .

अभ्यास 47.7 ★

गणना करो:

3 - \frac{5}{4}, \qquad 1 + \frac{3}{8}, \qquad 2 - \frac{7}{6} .

हल

हल — अभ्यास 47.7.

$3 - \dfrac54 = \dfrac{12}{4} - \dfrac54 = \dfrac74$ ; $1 + \dfrac38 = \dfrac{11}{8}$ ; $2 - \dfrac76 = \dfrac{12}{6} - \dfrac76 = \dfrac56$ .

अभ्यास 47.8 ★

गणना करो:

5 \times \frac{3}{10}, \qquad \frac{7}{8} \times 4, \qquad 45 \text{ का } \frac{2}{3} .

हल

हल — अभ्यास 47.8.

$5 \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{15}{10} = \dfrac32$ ; $\dfrac78 \times 4 = \dfrac{28}{8} = \dfrac72$ ; $45$ का $\dfrac23$ है $\dfrac{2 \times 45}{3} = \dfrac{90}{3} = 30$ ।

अभ्यास 47.9 ★★

मार्क ने एक पिज़्ज़ा का $\frac14$ खाया और जूली ने उसी पिज़्ज़ा का $\frac38$ । दोनों ने मिलकर पिज़्ज़ा का कितना भाग खाया? कितना भाग बचा?

हल

हल — अभ्यास 47.9.

मिलकर: पिज़्ज़ा का $\dfrac14 + \dfrac38 = \dfrac28 + \dfrac38 = \dfrac58$ भाग। बचा: $1 - \dfrac58 = \dfrac38$ ।

अभ्यास 47.10 ★★

एक बोतल में $\frac34$ L रस है। लेआ दो बार $\frac16$ L उँडेलती है। कितना रस बचा? (उभयनिष्ठ हर: $12$ ।)

हल

हल — अभ्यास 47.10.

उँडेला गया: $2 \times \dfrac16 = \dfrac26 = \dfrac13$ L। बचा:

\frac34 - \frac13 = \frac{9}{12} - \frac{4}{12} = \frac{5}{12} \text{ L}.

अभ्यास 47.11 ★★

उदाहरण 47.7 वाले तर्क से समझाओ कि सही योगफल निकाले बिना ही क्यों $\frac35 + \frac12$ , $\frac{4}{7}$ नहीं हो सकता।

हल

हल — अभ्यास 47.11.

$\frac35$ में धनात्मक राशि $\frac12$ जोड़ने पर उत्तर $\frac35$ से बड़ा आना चाहिए। पर $\frac47 < \frac35$ (सचमुच $\frac47 = \frac{20}{35}$ और $\frac35 = \frac{21}{35}$ ): बताया गया योगफल अपने ही एक पद से छोटा है — असंभव।

अभ्यास 47.12 ★★★

योगफल

\frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac{1}{16}

की गणना क़दम दर क़दम (बाएँ से दाएँ) करो। आंशिक योगफलों का ढर्रा देखो: और-और पद $\frac{1}{32}, \frac{1}{64}, \dots$ जोड़ते जाने पर वे किस संख्या के पास पहुँचते हैं?

हल

हल — अभ्यास 47.12.

क़दम दर क़दम:

\frac12 + \frac14 = \frac34, \qquad \frac34 + \frac18 = \frac68 + \frac18 = \frac78, \qquad \frac78 + \frac1{16} = \frac{14}{16} + \frac1{16} = \frac{15}{16}.

आंशिक योगफल $\frac12, \frac34, \frac78, \frac{15}{16}, \dots$ हर बार $1$ तक की बची हुई दूरी आधी कर देते हैं: हर क़दम पर जो कमी रह जाती है वह आधी हो जाती है। ये योगफल $1$ के पास पहुँचते जाते हैं, पर उस तक कभी पहुँचते नहीं।

47.6 समस्या: संगीत के एक ताल-खंड में छिपी भिन्नें

समस्या 47.1

सप्ताहांत समस्या — स्वरों के मान ऐसी भिन्नें हैं जिनका योग ठीक-ठीक मिलना चाहिए, ताल गिनने में एक मशहूर श्रेणी छिपी है, और बाल्कन ताल पर सम-विषम का राज चलता है

संगीत भिन्नों में लिखा जाता है। पूरा स्वर $1$ ताल-खंड चलता है (आम “चार-चार” ताल में); आधा स्वर $\frac12$ चलता है; फिर आते हैं चौथाई स्वर $\frac14$ , आठवाँ स्वर $\frac18$ और सोलहवाँ स्वर $\frac{1}{16}$ । एक अटल नियम: एक ताल-खंड के भीतर की सारी अवधियों का योग ठीक उस खंड के कुल के बराबर होना चाहिए — चार-चार ताल में $1$ । नीचे का हर सवाल इसी अध्याय का गणित है (प्रमेय 47.4, विधि 47.5), संगीत में ढला हुआ; रास्ते में तुम्हें एक हज़ार साल पहले भारतीय विद्वानों की खोजी हुई एक गिनती-श्रेणी मिलेगी।

भाग I — ऐसे स्वर जिनका योग मिलना ही चाहिए।

जाँचो कि इनमें से हर ताल-खंड चार-चार ताल में सही है: (a) आधा $+$ चौथाई $+$ चौथाई; (b) चौथाई $+$ आठवाँ $+$ आठवाँ $+$ आधा।
एक नक़लनवीस ने लिखा: आधा $+$ चौथाई $+$ आठवाँ। ताल-खंड का कितना भाग लिखा गया, और कौन-सा एक स्वर उसे पूरा करेगा?
एक पूरे ताल-खंड में कितने सोलहवें स्वर आते हैं? एक आठवें स्वर में कितने सोलहवें?
किसी स्वर के बाद लगा बिंदु उसमें उसका आधा मान और जोड़ देता है: बिंदुदार आधा $\frac12 + \frac14$ है, और बिंदुदार चौथाई $\frac14 + \frac18$ । दोनों मान निकालो।
वाल्ट्ज़ तीन-चार ताल में लिखा जाता है: हर ताल-खंड का कुल $\frac34$ होना चाहिए। जाँचो कि अकेला बिंदुदार आधा एक वाल्ट्ज़ ताल-खंड भर देता है, और सिर्फ़ चौथाई तथा आठवें स्वरों से बने दो और सही वाल्ट्ज़ ताल-खंड लिखो।

भाग II — नक़लनवीस की कार्यशाला।

एक चार-चार ताल-खंड में है: बिंदुदार चौथाई $+$ आठवाँ $+$ चौथाई। क्या कम पड़ रहा है?
कौन ज़्यादा देर चलता है, बिंदुदार आठवाँ या चौथाई स्वर? सोलहवें स्वरों में गिनकर तुलना करो।
जोड़-रेखा कई अवधियों को आपस में चिपकाकर एक लंबी आवाज़ बना देती है: आठवें से जुड़ा हुआ आधा स्वर कितनी देर चलता है? वह कितने सोलहवें हुए?
एक ताल-खंड के स्वरों का योग $\frac{11}{16}$ है; बाक़ी सन्नाटा है (एक विराम)। विराम कितनी देर का है?
एक ढोलकिया एक चौथाई स्वर (ताल-खंड का $\frac{4}{16}$ ) सिर्फ़ आठवें ( $\frac{2}{16}$ ) और सोलहवें ( $\frac{1}{16}$ ) स्वरों से भरता है, और क्रम मायने रखता है: जैसे आठवाँ–सोलहवाँ–सोलहवाँ, या सोलहवाँ–आठवाँ–सोलहवाँ। जाँचो कि दोनों उदाहरण सही हैं, फिर सारी संभव लयें गिनाओ। वे कितनी हैं?

भाग III — एक हज़ार साल पुरानी श्रेणी, और एक विषम ताल।

आओ लंबे स्वरों के लिए ढोलकिये की लयें गिनें। हर लय या तो सोलहवें पर ख़त्म होती है या आठवें पर; समझाओ कि इससे यह नियम क्यों मिलता है: ( $n$ सोलहवें भरने वाली लयें) $=$ ( $n - 1$ भरने वाली लयें) $+$ ( $n - 2$ भरने वाली लयें)। एक सोलहवें के लिए $1$ लय और दो के लिए $2$ से शुरू करके $n = 8$ तक सारणी बनाओ: एक आधे स्वर को कितनी लयों में बजाया जा सकता है?
तुम्हें मिली संख्याएँ — $1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34$ — भारतीय विद्वान हेमचंद्र ने सन 1150 के आसपास ठीक ऐसी ही लयें गिनते हुए छापी थीं, इटली में फ़िबोनाच्ची के उन्हें लिखने से दो पीढ़ी पहले। उनके बनने का नियम एक वाक्य में लिखो, और अपनी सारणी की आख़िरी तीन प्रविष्टियों पर उसे जाँचो।
“स्विंग” शैली दो बराबर आठवें स्वरों की जगह एक लंबा–छोटा जोड़ा रख देती है: पहले $\frac16$ , फिर $\frac{1}{12}$ । उभयनिष्ठ हर $12$ लेकर जाँचो कि यह अदला-बदली सही है (कुल अवधि वही रहती है)।
त्रिक तीन बराबर स्वरों को एक चौथाई स्वर में ठूँस देता है। हर स्वर कितनी देर का हुआ (अपने उत्तर को $3$ से गुणा करके जाँचो, प्रतिज्ञप्ति 47.8)? वही सवाल एक आधे स्वर को भरने वाले तीन बराबर स्वरों के लिए।
बाल्कन नृत्य-संगीत सात-आठ ताल इस्तेमाल करता है: हर ताल-खंड का कुल $\frac78$ होता है। जाँचो कि बिंदुदार चौथाई $+$ चौथाई $+$ चौथाई इसे भर देता है। फिर समझाओ कि सिर्फ़ आधे और चौथाई स्वरों का कोई भी जोड़, चाहे कितने भी हों, सात-आठ ताल-खंड को कभी नहीं भर सकता। (आठवें स्वरों में गिनो और सम तथा विषम के बारे में सोचो।)

हल

हल — समस्या 47.1.

1. (a) $\frac12 + \frac14 + \frac14 = \frac24 + \frac14 + \frac14 = \frac44 = 1$ : सही। (b) $\frac14 + \frac18 + \frac18 + \frac12 = \frac28 + \frac18 + \frac18 + \frac48 = \frac88 = 1$ : सही।

2. $\frac12 + \frac14 + \frac18 = \frac48 + \frac28 + \frac18 = \frac78$ : एक आठवाँ स्वर कम है।

3. एक ताल-खंड $1 = \frac{16}{16}$ है: सोलह सोलहवें स्वर। एक आठवाँ $\frac18 = \frac{2}{16}$ है: दो सोलहवें।

4. बिंदुदार आधा: $\frac12 + \frac14 = \frac34$ । बिंदुदार चौथाई: $\frac14 + \frac18 = \frac28 + \frac18 = \frac38$ ।

5. बिंदुदार आधा $\frac34$ का है (सवाल 4): ठीक एक वाल्ट्ज़ ताल-खंड। भरने के और तरीक़े, जैसे: चौथाई $+$ चौथाई $+$ चौथाई ( $\frac14 + \frac14 + \frac14 = \frac34$ ), या चौथाई $+$ आठवाँ $+$ आठवाँ $+$ चौथाई ( $\frac14 + \frac18 + \frac18 + \frac14 = \frac{2 + 1 + 1 + 2}{8} = \frac68 = \frac34$ )।

6. $\frac38 + \frac18 + \frac14 = \frac38 + \frac18 + \frac28 = \frac68 = \frac34$ : एक चौथाई स्वर ( $\frac14$ ) कम है।

7. बिंदुदार आठवाँ: $\frac18 + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$ । चौथाई: $\frac{4}{16}$ । चौथाई ज़्यादा लंबा है।

8. $\frac12 + \frac18 = \frac48 + \frac18 = \frac58$ , यानी $\frac{10}{16}$ : दस सोलहवें।

9. ताल-खंड का $1 - \frac{11}{16} = \frac{16}{16} - \frac{11}{16} = \frac{5}{16}$ भाग सन्नाटा है।

10. दोनों उदाहरणों का कुल $\frac{2 + 1 + 1}{16} = \frac{4}{16}$ है: सही। $2$ और $1$ के टुकड़ों से चार सोलहवें भरने वाली सारी लयें:

2{+}2, \quad 2{+}1{+}1, \quad 1{+}2{+}1, \quad 1{+}1{+}2, \quad 1{+}1{+}1{+}1 :

पाँच लयें।

11. $n$ सोलहवें भरने वाली लय या तो सोलहवें पर ख़त्म होती है — और उससे पहले वाला हिस्सा $n - 1$ भरता है — या आठवें पर — और उससे पहले वाला हिस्सा $n - 2$ भरता है। हर लय इस तरह ठीक एक बार गिनी जाती है, इसलिए $\text{लयें}(n) = \text{लयें}(n-1) + \text{लयें}(n-2)$ । सारणी:

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
लयें	$1$	$2$	$3$	$5$	$8$	$13$	$21$	$34$

एक आधा स्वर ( $8$ सोलहवें) $34$ तरीक़ों से बजाया जा सकता है। ( $n = 4$ से सवाल 10 की पाँच लयें वापस मिल जाती हैं।)

12. हर संख्या अपने से पहले की दो संख्याओं का योगफल है: $3 + 5 = 8$ , $5 + 8 = 13$ , $8 + 13 = 21$ , $13 + 21 = 34$ — वही नियम जो सवाल 11 में सिद्ध हुआ, एक हज़ार साल पुराना और आज फ़िबोनाच्ची-नियम के नाम से जाना जाता है।

13. $\frac16 + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac14$ : वही अवधि जो दो सीधे आठवें स्वरों की है ( $\frac18 + \frac18 = \frac14$ )। स्विंग वाली अदला-बदली सही है।

14. त्रिक का हर स्वर $\frac{1}{12}$ चलता है: जाँच, $3 \times \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac14$ (प्रतिज्ञप्ति 47.8)। आधे स्वर के लिए: हर स्वर $\frac16$ चलता है, क्योंकि $3 \times \frac16 = \frac36 = \frac12$ ।

15. बिंदुदार चौथाई $+$ चौथाई $+$ चौथाई: आठवें स्वरों में $3 + 2 + 2 = 7$ आठवें $= \frac78$ : सही। आधे और चौथाई स्वर $4$ और $2$ आठवें के बराबर हैं — दोनों सम संख्याएँ। सम संख्याओं का कोई भी योगफल सम होता है, पर सात-आठ ताल-खंड को $7$ आठवें चाहिए, जो विषम संख्या है: असंभव। किसी विषम ताल-खंड को भरने के लिए कुछ विषम — एक आठवाँ या कोई बिंदुदार स्वर — आना ही चाहिए।