70ठोस और आयतन

हल — समस्या 70.1.

1. $V_{\text{बेलन}} = \pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3$।

2. $\dfrac{V_{\text{गोला}}}{V_{\text{बेलन}}} = \dfrac{\frac43 \pi r^3}{2 \pi r^3} = \dfrac23$। $\pi$ और $r^3$ दोनों कट जाते हैं: यह समानुपात सार्वभौम है — कंचे पर भी उतना ही सच, ग्रह पर भी। यह संख्याओं का नहीं, आकारों का रिश्ता है: ठीक वैसा सच जिसे पत्थर पर खुदवाया जाए।

3. गोला: $4\pi r^2$। बेलन: बग़ली सतह $2\pi r \times 2r = 4\pi r^2$, और उस पर दो ढक्कन $2 \times \pi r^2$: कुल $6\pi r^2$। अनुपात: $\frac{4\pi r^2}{6\pi r^2} = \frac23$ — वही दो तिहाई, इस बार सतहों के लिए। (और एक मुफ़्त की बात: गोले का क्षेत्रफल ठीक बेलन की बग़ली सतह के बराबर निकलता है।)

4. बची जगह: $2\pi r^3 - \frac43\pi r^3 = \frac23 \pi r^3$। और $r$ त्रिज्या तथा $r$ ऊँचाई वाले दो शंकु: $2 \times \frac13 \pi r^2 \times r = \frac23 \pi r^3$। बराबर।

5. गेंद: $\frac43 \pi \times 12^3 \approx 7\,200$ cm$^3$; डिब्बा: $2\pi \times 12^3 \approx 10\,900$ cm$^3$। ख़ाली: डिब्बे का एक तिहाई, यानी क़रीब $33\,\%$ — और यह सवाल 2 की गारंटी है, गेंद चाहे जितनी बड़ी हो।

6. गोले का आधा: $\frac12 \times \frac43 \pi \times 10^3 = \frac23 \pi \times 1\,000 \approx 2\,094$ cm$^3 \approx 2.1$ L।

7. शंकु: $\frac13 \pi \times 10^2 \times 10 = \frac{1\,000\pi}{3} \approx 1\,047$ cm$^3$। अर्धगोला: $\frac{2\,000\pi}{3} \approx 2\,094$ cm$^3$। बेलन: $1\,000\pi \approx 3\,142$ cm$^3$। अनुपात: $\frac{1000\pi}{3} : \frac{2000\pi}{3} : \frac{3000\pi}{3} = 1 : 2 : 3$, बिलकुल ठीक।

8. $\frac43 \pi \times 27 = \pi \times 9 \times h$ से $h = \frac43 \times 3 = 4$ cm, बिलकुल सही।

9. त्रिज्याएँ: $\frac{6\,371}{1\,737} \approx 3.67$। आयतन घन के हिसाब से बदलते हैं (प्रमेय 70.6): $3.67^3 \approx 49$। यानी क़रीब पचास चाँद धरती में समा जाएँगे।

10. सतहें वर्ग के हिसाब से बदलती हैं: $3.67^2 \approx 13.5$। किसी गुब्बारे की त्रिज्या दुगनी करने पर उसका आयतन $2^3 = 8$ गुना होता है, पर सतह सिर्फ़ $2^2 = 4$ गुना: चीज़ें जैसे-जैसे बड़ी होती हैं, आयतन (भार, समाई, बनी ऊष्मा) सतह (खाल, सामग्री, खोई ऊष्मा) से आगे निकल जाता है — यही वर्ग–घन नियम है।

11. भार: $\times 10^3 = 1\,000$ गुना। हड्डी की अनुप्रस्थ काट: $\times 10^2 = 100$ गुना। दाब — यानी हड्डी के प्रति क्षेत्रफल भार: $\times \frac{1000}{100} = 10$ गुना। आदमी भर के दाब के लिए बनी हड्डियों पर दस गुना दाब पड़ेगा: दानव का ढाँचा अपने ही भार से चटक जाएगा। दानव ज्यामिति के हिसाब से नामुमकिन हैं; बड़े जानवरों को अनुपात से कहीं ज़्यादा मोटी हड्डियाँ चाहिए होती हैं (हाथी की टाँगें हिरन की टाँगों से मिलाकर देखो)।

12. भार: $\div 100^3 = 10^6$ गुना कम। ताक़त (माँसपेशी की अनुप्रस्थ काट): $\div 100^2 = 10^4$ गुना कम। ताक़त-और-भार: $\times \frac{10^6}{10^4} = 100$ गुना बेहतर। अपने भार से पचास गुना उठा लेने वाली चींटी कोई महाबली नहीं है — वह बस छोटी है; चींटी के नाप तक सिकोड़ दिया गया आदमी भी यही कर लेता।

13. $\dfrac{S}{V} = \dfrac{4\pi r^2}{\frac43\pi r^3} = \dfrac{3}{r}$: $r = 1$ पर अनुपात $3$ है और $r = 2$ पर $1.5$ — यानी नाप आधी करने पर ऊष्मा बनाने वाले हर इकाई आयतन के हिस्से में दुगनी सतह आ जाती है। छोटे शरीर ऊष्मा बहा देते हैं: चूहे को लगातार खाना पड़ता है, भालू शीतनिद्रा ले सकता है, और नन्हा बच्चा — छोटा गोला, बड़ा $\frac SV$ — टोपी माँगता है।

14. $\left(\frac54\right)^3 = \frac{125}{64} \approx 1.95$: उतने ही दाम में बड़ा संतरा क़रीब दुगना फल देता है। पैसा त्रिज्या पर लगाओ।

15. खुदाई यह कहती है: गोला आयतन में बेलन का $\frac23$ है, और कुल सतह में भी उसका $\frac23$ — यानी दो बिलकुल सही, सार्वभौम समानुपात, जो सबसे गोल ठोस को सबसे सादे ठोस से बाँध देते हैं। सिसरो को जवाब: क्योंकि प्रमेय ही वह अकेली यादगार है जिसे न सेनाएँ मिटा पाती हैं, न सदियाँ — आर्किमिडीज़ की मशीनें सिरैक्यूज़ के साथ जल गईं, पर दो तिहाई आज भी ठीक दो तिहाई है।