48अक्षर-व्यंजक

हल — समस्या 48.1.

1. आकृति $1$ से $4$ तक को $4$, $7$, $10$, $13$ तीलियाँ चाहिए।

2. हर नया वर्ग पिछली आकृति के साथ एक भुजा बाँटता है, इसलिए उसकी $4$ भुजाओं में से सिर्फ़ $3$ नई तीलियाँ हैं। आकृति $4$ ($13$ तीलियाँ) से आगे छह और वर्गों का ख़र्च $6 \times 3 = 18$: आकृति $10$ को $13 + 18 = 31$ तीलियाँ चाहिए।

3. क़तार को बाएँ से पढ़ो: वह एक खड़ी तीली से शुरू होती है, और उसके बाद $n$ वर्गों में से हर एक ऊपर, नीचे और दाईं ओर की भुजा देता है — हर वर्ग के $3$ तीलियाँ। कुल: $3n + 1$; वह “$+1$” सबसे पहली खड़ी तीली है। जाँच: $n = 1, 2, 3, 4$ से $4$, $7$, $10$, $13$ मिलते हैं।

4. $4 + 3(n - 1) = 4 + 3n - 3 = 3n + 1$: आमिर का सूत्र फैलाने पर ठीक वही सरल रूप बनता है। पूरी सहमति।

5. लेना: $2n + (n + 1) = 3n + 1$ — फिर वही। देखने के तीन तरीक़े, सरल रूप एक। आकृति $100$: $3 \times 100 + 1 = 301$ तीलियाँ।

6. गिनतियाँ: $3$, $5$, $7$ तीलियाँ। हर नया त्रिभुज पहले से मौजूद एक भुजा पर टिकता है और सिर्फ़ $2$ तीलियाँ जोड़ता है, $3$ से शुरू करके: आकृति $n$ को $3 + 2(n - 1) = 2n + 1$ तीलियाँ चाहिए।

7. $2n + 1 = 49$ को उलटो: पहली तीली हटाने पर $48$ बचती हैं, और फिर हर त्रिभुज के हिस्से $2$ आती हैं: $48 \div 2 = 24$ त्रिभुज।

8. $n$ मेज़ों की क़तार में हर मेज़ अपनी ऊपर और नीचे वाली भुजा देती है ($2n$ जगहें), और दोनों सिरों की मेज़ें एक-एक भुजा और देती हैं ($+2$): $2n + 2$ जगहें। जाँच: $n = 1, 2, 3$ पर $4$, $6$, $8$।

9. एक क़तार: $2n + 2 \geq 30$ के लिए $2n \geq 28$ चाहिए, यानी $14$ मेज़ें। उन्हीं $14$ मेज़ों को सात-सात की दो क़तारों में बाँटो: हर क़तार में $2 \times 7 + 2 = 16$, दोनों मिलाकर $32$ — एक क़तार से दो ज़्यादा, क्योंकि हर नई क़तार दो नए सिरे लाती है। (हर बँटवारे से $2$ जगहें बढ़ती हैं; खानसामे यह जानते हैं।)

10. आकार $n$ की L में $n$ बिंदु ऊपर की ओर और $n$ बिंदु अगल-बग़ल जाते हैं, कोने वाला बिंदु दोनों में साझा: $n + n - 1 = 2n - 1$ बिंदु। आकृति $1$, $2$, $3$: $1$, $3$, $5$ बिंदु — यानी विषम संख्याएँ। एक के चारों ओर एक रखने पर ये L बिंदुओं का $n \times n$ वर्ग भर देती हैं: यही कहानी समस्या 57.1 में है।

11. $3(n + 2) - 5 = 3n + 6 - 5 = 3n + 1$: दावा सिद्ध सूत्र पर ही आ जाता है, इसलिए वह हर $n$ के लिए सही है — यह बीजगणित से तय हुआ, उदाहरणों से नहीं।

12. जाँच: $4 \geq 2$, $9 \geq 3$, $100 \geq 10$: सब सही निकलते हैं। पर $n = 0.5$ पर $n^2 = 0.25 < 0.5$: दावा टूट जाता है। तीन जाँचों ने सारी संख्याओं के बारे में कुछ भी सिद्ध नहीं किया (उन्हें बस कोई गड़बड़ी नहीं मिली); अकेला प्रति-उदाहरण उस आम दावे को ग़लत सिद्ध कर देता है (विधि 48.8)। अक्षर हर संख्या के लिए खड़ा होता है — दशमलव संख्याएँ भी उसमें शामिल हैं।

13. क्षेत्र: $2$ बिंदु $\to 2$; $3$ बिंदु $\to 4$; $4$ बिंदु $\to 8$; $5$ बिंदु $\to 16$। ढर्रा कान में कहता है “हर बिंदु गिनती दुगुनी कर देता है”: $6$ बिंदुओं के लिए $32$ क्षेत्र की उम्मीद।

14. ध्यान से गिनने पर $31$ क्षेत्र मिलते हैं — $32$ नहीं। दुगुना होने वाली अटकल मर गई: वह चार जाँचों में बची और पाँचवीं में गिर पड़ी। (यह प्रति-उदाहरण इतना मशहूर है कि उसका नाम है, “वृत्त-क्षेत्रों का धोखा”; बराबर दूरी पर बिंदु रखकर छोटा रास्ता मत लो — एक ही बिंदु पर मिलने वाली तीन जीवाएँ क्षेत्रों को मिला देंगी और गिनती बिगाड़ देंगी।)

15. प्रमाण के लिए ऐसा कोई रचनात्मक कारण चाहिए था जो बताता कि एक बिंदु जोड़ने से क्षेत्र दुगुने क्यों होते हैं — और ऐसा कोई कारण है ही नहीं: दुगुना होना छोटी स्थितियों का संयोग भर था। तीली वाले सूत्र इसलिए सुरक्षित थे कि हर सूत्र रचना में से ही पढ़ा गया था (हर वर्ग साफ़-साफ़ $3$ तीलियाँ माँगता है, हर मेज़ साफ़-साफ़ $2$ जगहें देती है): रचना, जाँच नहीं। सिद्ध भविष्यवाणी: $3 \times 2\,026 + 1 = 6\,079$ तीलियाँ।