प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Cursos 1–9

16गुणा

सात-सात कंचों के तीन थैले: तुम $7 + 7 + 7$ जोड़ सकते हो, पर एक तेज़ रास्ता भी है — गुणा, यानी बार-बार जोड़ने की संक्रिया। यह अध्याय पहले चित्रों से पहाड़े बनाता है, फिर खानों वाला तरीक़ा सिखाता है।

16.1 गुणा का मतलब

परिभाषा 16.1 (गुणा)

गुणनफल $3 \times 7$ का मतलब है “तीन गुना सात”:

3 \times 7 = 7 + 7 + 7 = 21 .

चित्र में $3 \times 7$ बिंदुओं का एक आयत है: $7$ - $7$ बिंदुओं की $3$ पंक्तियाँ।

वही 21 बिंदु, पंक्तियों से गिनो या स्तंभों से: गुणनफल में क्रम से फ़र्क़ नहीं पड़ता। 3 × 7 पता हो तो 7 × 3 मुफ़्त में मिल जाता है — आधे पहाड़े ही याद करने हैं! — वही $21$ बिंदु, पंक्तियों से गिनो या स्तंभों से: गुणनफल में क्रम से फ़र्क़ नहीं पड़ता। $3 \times 7$ पता हो तो $7 \times 3$ मुफ़्त में मिल जाता है — आधे पहाड़े ही याद करने हैं!

प्रतिज्ञप्ति 16.2 (काम आने वाले नियम)

क्रम से फ़र्क़ नहीं पड़ता: $a \times b = b \times a$ ।
$1$ से गुणा करने पर कुछ नहीं बदलता; $0$ से गुणा करने पर $0$ मिलता है।
$10$ से गुणा करने पर एक शून्य जुड़ जाता है: $34 \times 10 = 340$ ; $100$ से, दो शून्य।
किसी पहाड़े को उसके पड़ोसियों से दोबारा बनाया जा सकता है: $6 \times 8 = 5 \times 8 + 8 = 40 + 8 = 48$ ।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

उदाहरण 16.3 (पहाड़ों का वर्ग)

सारे पहाड़े एक ही वर्ग में समा जाते हैं। $6 \times 7$ पढ़ने के लिए: पंक्ति $6$ , स्तंभ $7$ ।

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

यह वर्ग अपने विकर्ण के पार सममित है — यही नियम 1 का दिखाई देने वाला रूप है।

16.2 खानों में गुणा

विधि 16.4 (एक अंक की संख्या से गुणा)

$234 \times 6$ निकालने के लिए:

इकाई का गुणा: $4 \times 6 = 24$ : $4$ लिखो, $2$ हासिल;
दहाई का गुणा करके हासिल जोड़ो: $3 \times 6 + 2 = 20$ : $0$ लिखो, $2$ हासिल;
सैकड़े का गुणा करके हासिल जोड़ो: $2 \times 6 + 2 = 14$ : $14$ लिखो।

\begin{array}{r} 2\,3\,4 \\ \times \quad 6 \\ \hline 1\,4\,0\,4 \end{array}

जाँच के लिए अंदाज़ा: $234$ , $200$ के पास है, और $200 \times 6 = 1\,200$ : उत्तर $1\,404$ भरोसेमंद है।

उदाहरण 16.5 (मन-ही-मन गुणा के लिए तोड़ना)

खानों वाला तरीक़ा चुपके से संख्या को स्थानों के हिसाब से तोड़ता है। मन-ही-मन भी वही करो:

23 \times 4 = (20 + 3) \times 4 = 20 \times 4 + 3 \times 4 = 80 + 12 = 92 .

और मिलनसार पड़ोसी के साथ: $99 \times 5 = 100 \times 5 - 5 = 495$ ।

तोड़ना क्यों काम करता है: इकाई वर्गों का 23 × 4 आयत, 20 × 4 के हिस्से और 3 × 4 के हिस्से से बना है — 80 + 12 = 92 वर्ग। — तोड़ना क्यों काम करता है: इकाई वर्गों का $23 \times 4$ आयत, $20 \times 4$ के हिस्से और $3 \times 4$ के हिस्से से बना है — $80 + 12 = 92$ वर्ग।

16.3 समस्याओं में गुणा

उदाहरण 16.6

एक मिनीबस में $9$ यात्री बैठते हैं। $27$ मिनीबसों में कितने यात्री बैठ सकते हैं?

यह गुणा है: $9$ - $9$ के $27$ समूह।
$27 \times 9 = 243$ (खानों में, या $27 \times 9 = 27 \times 10 - 27 = 270 - 27$ )।
वाक्य: मिनीबसों में $243$ यात्री बैठ सकते हैं।

16.4 अभ्यास

अभ्यास 16.1 ★

गुणा के रूप में लिखो, फिर निकालो: $8 + 8 + 8 + 8$ ; $5 + 5 + 5$ ; $20 + 20 + 20 + 20 + 20$ ।

हल

हल — अभ्यास 16.1.

$8 + 8 + 8 + 8 = 4 \times 8 = 32$ ; $5 + 5 + 5 = 3 \times 5 = 15$ ; $20 \times 5 = 100$ ।

अभ्यास 16.2 ★

बोलो और पूरा करो: $6 \times 7$ ; $8 \times 4$ ; $9 \times 9$ ; $7 \times 8$ ; $6 \times 6$ ।

हल

हल — अभ्यास 16.2.

$42$ ; $32$ ; $81$ ; $56$ ; $36$ ।

अभ्यास 16.3 ★

$4 \times 6$ के लिए बिंदुओं का आयत बनाओ, फिर $6 \times 4$ के लिए। दोनों गिनतियों में क्या दिखाई देता है?

हल

हल — अभ्यास 16.3.

दोनों आयतों में वही $24$ बिंदु हैं — एक दूसरे को घुमाकर बना है: $4 \times 6 = 6 \times 4$ ।

अभ्यास 16.4 ★

प्रतिज्ञप्ति 16.2 के नियमों से निकालो: $56 \times 10$ ; $8 \times 100$ ; $73 \times 0$ ; $45 \times 1$ ; $30 \times 10$ ।

हल

हल — अभ्यास 16.4.

$560$ ; $800$ ; $0$ ; $45$ ; $300$ ।

अभ्यास 16.5 ★

खानों में निकालो: $132 \times 3$ ; $217 \times 4$ ; $408 \times 7$ ।

हल

हल — अभ्यास 16.5.

$132 \times 3 = 396$ ; $217 \times 4 = 868$ ; $408 \times 7 = 2\,856$ ।

अभ्यास 16.6 ★

तोड़कर मन-ही-मन निकालो (जैसे उदाहरण 16.5 में): $31 \times 5$ ; $42 \times 3$ ; $25 \times 6$ ।

हल

हल — अभ्यास 16.6.

$31 \times 5 = 30 \times 5 + 5 = 155$ ; $42 \times 3 = 120 + 6 = 126$ ; $25 \times 6 = 20 \times 6 + 5 \times 6 = 120 + 30 = 150$ ।

अभ्यास 16.7 ★

मिलनसार पड़ोसी की मदद से निकालो: $99 \times 7$ ; $101 \times 6$ ; $98 \times 5$ ।

हल

हल — अभ्यास 16.7.

$99 \times 7 = 700 - 7 = 693$ ; $101 \times 6 = 600 + 6 = 606$ ; $98 \times 5 = 500 - 10 = 490$ ।

अभ्यास 16.8 ★

पहले अंदाज़ा लगाओ, फिर निकालो: $389 \times 5$ ( $400$ से अंदाज़ा); $612 \times 8$ ( $600$ से अंदाज़ा)।

हल

हल — अभ्यास 16.8.

$389 \times 5$ : अंदाज़ा $400 \times 5 = 2\,000$ ; ठीक-ठीक $1\,945$ ।

$612 \times 8$ : अंदाज़ा $600 \times 8 = 4\,800$ ; ठीक-ठीक $4\,896$ ।

अभ्यास 16.9 ★

अंडों के एक डिब्बे में $6$ अंडे आते हैं। $38$ डिब्बों में कितने अंडे हैं? संक्रिया लिखो, निकालो, एक वाक्य में उत्तर दो।

हल

हल — अभ्यास 16.9.

$38 \times 6 = 228$ । डिब्बों में $228$ अंडे हैं।

अभ्यास 16.10 ★★

एक कक्षा में $4$ - $4$ डेस्कों की $8$ पंक्तियाँ हैं; हर डेस्क पर $2$ विद्यार्थी बैठते हैं। कमरे में कितने बैठ सकते हैं? (दो गुणा।)

हल

हल — अभ्यास 16.10.

डेस्क: $8 \times 4 = 32$ । विद्यार्थी: $32 \times 2 = 64$ । कमरे में $64$ विद्यार्थी बैठ सकते हैं।

अभ्यास 16.11 ★★

$24$ कुर्सियों को बराबर पंक्तियों में लगाने के सारे तरीक़े ढूँढ़ो ( $1$ - $1$ की पंक्तियाँ, $2$ - $2$ की, …)। कौन-कौन-सी सजावटें संभव हैं? (पहाड़ों के वर्ग में $24$ ढूँढ़ो।)

हल

हल — अभ्यास 16.11.

पहाड़ों के वर्ग में $24$ , $1 \times 24$ , $2 \times 12$ , $3 \times 8$ , $4 \times 6$ के रूप में दिखता है — और यही जोड़े उलटे भी। संभव सजावटें: $24$ की $1$ पंक्ति, $12$ - $12$ की $2$ पंक्तियाँ, $8$ - $8$ की $3$ , $6$ - $6$ की $4$ , $4$ - $4$ की $6$ , $3$ - $3$ की $8$ , $2$ - $2$ की $12$ , $1$ - $1$ की $24$ ।

अभ्यास 16.12 ★★

ज़ोई $47 \times 6$ ऐसे निकालती है: $40 \times 6 = 240$ , $7 \times 6 = 42$ , और फिर $240 + 42 = 282$ । लेआ ऐसे निकालती है: $47 \times 6 = 50 \times 6 - 3 \times 6 = 300 - 18 = 282$ । दोनों तरीक़े समझाओ। $38 \times 4$ के लिए तुम्हें कौन-सा पसंद है? उसे दोनों तरीक़ों से निकालो।

हल

हल — अभ्यास 16.12.

ज़ोई $47$ को $40 + 7$ में तोड़ती है (मन में वही खानों वाला तरीक़ा); लेआ $47$ की जगह मिलनसार $50$ रखती है और ज़्यादा गिने गए $3 \times 6$ को घटाकर सुधार लेती है। $38 \times 4$ के लिए: ज़ोई का तरीक़ा, $120 + 32 = 152$ ; लेआ का तरीक़ा, $40 \times 4 - 2 \times 4 = 160 - 8 = 152$ । दोनों काम करते हैं — यहाँ लेआ का तेज़ है, क्योंकि $38$ , $40$ के पास है।

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81

$\times$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$
$1$	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$2$	2	4	6	8	10	12	14	16	18
$3$	3	6	9	12	15	18	21	24	27
$4$	4	8	12	16	20	24	28	32	36
$5$	5	10	15	20	25	30	35	40	45
$6$	6	12	18	24	30	36	42	48	54
$7$	7	14	21	28	35	42	49	56	63
$8$	8	16	24	32	40	48	56	64	72
$9$	9	18	27	36	45	54	63	72	81