प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · 1.º ao 9.º ano

35घन और घनाभ

चपटे पन्ने से बाहर: ठोस असली दुनिया के आकार हैं — पासे, अनाज के डिब्बे, टिन, गेंदें। यह अध्याय उन्हें नाम देना, उनके फलक और किनारे गिनना, उन्हें खोलकर जाल बनाना, और छोटे घन गिनकर उनका आयतन नापना सिखाता है। (आयतन के सूत्र अध्याय 43 में आते हैं।)

35.1 ठोसों का परिवार

परिभाषा 35.1 (ठोस और उनकी शब्दावली)

ठोस जगह घेरता है। उसकी चपटी सतहें फलक हैं; फलक किनारों पर मिलते हैं; किनारे शीर्षों पर मिलते हैं। परिवार के चित्र:

घन: $6$ वर्गाकार फलक, $12$ किनारे, $8$ शीर्ष;
घनाभ (आयताकार ठोस): $6$ आयताकार फलक, $12$ किनारे, $8$ शीर्ष;
बेलन: दो वृत्ताकार फलक और एक लिपटा हुआ फलक (टिन का डिब्बा);
पिरामिड: एक बहुभुज आधार और शिखर पर मिलने वाले त्रिभुज;
गोला: पूरी तरह गोल एक ही सतह, न फलक, न किनारा।

ठोसों का संग्रह। बिंदुदार रेखाएँ छिपे हुए किनारे दिखाती हैं — ठोस का पिछला भाग, उसके भीतर से देखा हुआ।

उदाहरण 35.2 (घन पर गिनती)

किसी पासे पर जाँचो: $6$ फलक (संख्याएँ $1$ से $6$ ), $8$ शीर्ष (कोने), $12$ किनारे (उन पर उँगली फिराओ: $4$ ऊपर, $4$ नीचे, $4$ खड़े)। और $6 + 8 = 12 + 2$ — यही अनोखा प्रतिरूप घनाभ और पिरामिड पर भी चलता है (उदाहरण 62.2 उस पर लौटता है)।

35.2 जाल

परिभाषा 35.3 (जाल)

किसी ठोस का जाल उसके सारे फलकों का ऐसा चपटा चित्र है, जिसमें फलक किनारों पर जुड़े हों और जिसे मोड़ने पर वही ठोस बन जाए — मानो ठोस को खोल दिया गया हो, जैसे गत्ते का डिब्बा चपटा कर दिया जाता है।

छह वर्गों की तीन सजावटें। पहली दो मुड़कर घन बनाती हैं; तीसरी नहीं — मोड़ने पर दो वर्ग एक ही फलक पर आ जाते हैं और घन खुला रह जाता है। इन्हें काटकर आज़माओ!

उदाहरण 35.4 (जाल पढ़ना)

पासे पर आमने-सामने के फलकों का योग $7$ होता है। जाल पर आमने-सामने के फलक वे होते हैं जिनके बीच पंक्ति में ठीक एक वर्ग हो (या जो कोने से घूमकर मिलें) — पड़ोसी नहीं! मोड़ने से पहले जाल पर जोड़े अंकित करना अंतरिक्ष को चपटा देखने का बढ़िया अभ्यास है।

35.3 आयतन: घन गिनना

परिभाषा 35.5 (गिनकर आयतन)

इकाई घनों से बने किसी ठोस का आयतन उसमें समाए घनों की संख्या है। मात्रक सेंटीमीटर घन (cm $^3$ ) या मीटर घन (m $^3$ ) हो सकता है।

उदाहरण 35.6 (घनाभ को परत-दर-परत गिनना)

एक घनाभ $4$ घन लंबा, $3$ चौड़ा, $2$ ऊँचा: सबसे नीचे की परत में $4 \times 3 = 12$ घन आते हैं, और परतें $2$ हैं:

12 \times 2 = 24 \text{ घन} .

परतों से गिनना हमेशा चलता है — और यह चुपचाप अध्याय 43 के सूत्र $V = L \times w \times h$ को सिद्ध कर देता है।

इकाई घनों का 4 × 3 × 2 घनाभ, परत-दर-परत गिना हुआ। — इकाई घनों का $4 \times 3 \times 2$ घनाभ, परत-दर-परत गिना हुआ।

उदाहरण 35.7 (वही घन, अलग आकार)

आठ इकाई घनों से $2 \times 2 \times 2$ का घन, $8 \times 1 \times 1$ की छड़ या $4 \times 2 \times 1$ का पटरा बनाया जा सकता है: तीन अलग ठोस, एक ही आयतन ( $8$ घन)। आयतन सामान गिनता है, आकार नहीं।

35.4 अभ्यास

अभ्यास 35.1 ★

इन आकारों की कोई असली चीज़ बताओ: घन; घनाभ; बेलन; गोला; पिरामिड।

हल

हल — अभ्यास 35.1.

जैसे: एक पासा (घन); अनाज का डिब्बा (घनाभ); एक टिन (बेलन); एक फुटबॉल (गोला); कुछ छतें या पुराने मक़बरे (पिरामिड)।

अभ्यास 35.2 ★

घनाभ के कितने फलक, किनारे और शीर्ष होते हैं? प्रतिरूप फलक $+$ शीर्ष $=$ किनारे $+ 2$ जाँचो।

हल

हल — अभ्यास 35.2.

घनाभ के $6$ फलक, $12$ किनारे, $8$ शीर्ष होते हैं — और $6 + 8 = 12 + 2$ । ✓

अभ्यास 35.3 ★

घनाभ के कौन-से फलक एक जैसे होते हैं? (छहों फलकों को जोड़ों में बाँटो।) घन के फलकों में ख़ास क्या है?

हल

हल — अभ्यास 35.3.

छहों फलक आमने-सामने के एक जैसे फलकों के तीन जोड़ों में आते हैं (ऊपर–नीचे, आगे–पीछे, बाएँ–दाएँ)। घन पर छहों फलक एक जैसे वर्ग होते हैं।

अभ्यास 35.4 ★

$2$ cm भुजा वाले घन का जाल बनाओ (इस अध्याय वाला क्रॉस-नमूना लो), उसे काटो और मोड़ो।

हल

हल — अभ्यास 35.4.

क्रॉस-जाल: पंक्ति में $2$ cm के चार वर्ग, दूसरे वर्ग के ऊपर एक और नीचे एक। चारों की अँगूठी मोड़ने पर बग़लें बनती हैं; बाक़ी दो वर्ग ऊपर और नीचे बंद कर देते हैं।

अभ्यास 35.5 ★

पासे के क्रॉस-जाल पर $1$ से $6$ तक संख्याएँ ऐसे रखो कि आमने-सामने के फलकों का योग $7$ हो। (पहले उदाहरण 35.4 से आमने-सामने के जोड़े ढूँढ़ो।)

हल

हल — अभ्यास 35.5.

क्रॉस-जाल पर (पंक्ति में चार वर्ग, दूसरे के ऊपर एक, नीचे एक) आमने-सामने के जोड़े हैं: पंक्ति के वर्ग $1$ और $3$ ; पंक्ति के वर्ग $2$ और $4$ ; ऊपर वाला और नीचे वाला वर्ग। एक सही नामांकन: पंक्ति $= 1, 2, 6, 5$ ; ऊपर $= 3$ ; नीचे $= 4$ — तब $1{+}6$ , $2{+}5$ , $3{+}4$ सबका योग $7$ है।

अभ्यास 35.6 ★

इकाई घन गिनो: $5$ लंबा, $2$ चौड़ा, $3$ ऊँचा घनाभ; $3$ भुजा वाला घन; $3 \times 2 \times 1$ के पटरे पर $1 \times 2 \times 1$ का पटरा रखकर बनी L-आकार की ढेरी।

हल

हल — अभ्यास 35.6.

घनाभ: हर परत में $5 \times 2 = 10$ , $3$ परतें: $30$ घन। घन: $3 \times 3 \times 3 = 27$ । L-ढेरी: $3 \times 2 \times 1 = 6$ और $1 \times 2 \times 1 = 2$ : $8$ घन।

अभ्यास 35.7 ★

एक घनाभ की एक परत में ठीक $12$ इकाई घन आते हैं। परत के दो संभव आकार ( $L \times w$ ) बताओ, और हर एक के लिए घनाभ का आयतन बताओ अगर उसमें ऐसी $3$ परतें हों।

हल

हल — अभ्यास 35.7.

$12$ की परतें: जैसे $4 \times 3$ या $6 \times 2$ (या $12 \times 1$ )। $3$ परतों के साथ हर हाल में आयतन $12 \times 3 = 36$ घन है।

अभ्यास 35.8 ★

$27$ इकाई घनों से कौन-सा घन बना सकते हो? $64$ से? (परतों की गिनती उलटी करके सोचो।)

हल

हल — अभ्यास 35.8.

$27 = 3 \times 3 \times 3$ : $3$ भुजा वाला घन। $64 = 4 \times 4 \times 4$ : $4$ भुजा वाला घन।

अभ्यास 35.9 ★★

$1$ cm भुजा वाले चीनी के घन ऐसे घनाभ में आते हैं जो भीतर से $10$ cm लंबा, $5$ cm चौड़ा और $4$ cm ऊँचा है। कितने चीनी के घन समाएँगे? कोई परिवार रोज़ $6$ घन इस्तेमाल करे, तो एक डिब्बा कितने दिन चलेगा (समझदारी से गोल करो)?

हल

हल — अभ्यास 35.9.

घनाभ में $10 \times 5 \times 4 = 200$ चीनी के घन आते हैं। रोज़ $6$ के हिसाब से: $200 = 6 \times 33 + 2$ , इसलिए डिब्बा $33$ पूरे दिन चलता है (और $34$ वें दिन की सुबह के लिए $2$ घन बचते हैं)।

अभ्यास 35.10 ★★

$3 \times 3 \times 3$ के एक घन को बाहर से लाल रँगकर $27$ इकाई घनों में काटा जाता है। कितने छोटे घनों पर ठीक $3$ फलकों पर रंग है? $2$ पर? $1$ पर? किसी पर नहीं? (जाँच: चारों गिनतियाँ मिलकर $27$ होनी चाहिए।)

हल

हल — अभ्यास 35.10.

$3$ फलकों पर रंग: कोनों वाले $8$ घन। $2$ फलकों पर: $12$ किनारों के बीच वाले: $12$ घन। $1$ फलक पर: $6$ फलकों के केंद्र वाले: $6$ घन। किसी पर नहीं: बीच में छिपा इकलौता घन: $1$ । जाँच: $8 + 12 + 6 + 1 = 27$ । ✓